5.3 齐次方程

1、 5.3 齐次方程齐次方程1小结小结 作业作业5.3 齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程第第5 5章章 微分方程微分方程可化为齐次的方程可化为齐次的方程应应 用用 5.3 齐次方程齐次方程2一、齐次一、齐次方程方程如果一阶微分方程可以写成如果一阶微分方程可以写成 xygxydd齐次方程齐次方程. .即即,uxy 得到得到 u 满足的方程满足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作变量代换作变量代换 xydd 代入代入则称之为则称之为 uxxudd 可分离变量的方程可分离变量的方程,)(ddxuugxu ,d)(dxxuugu 分离变量分离变量两边积分两边积分求出通解后求出通解后

2、, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.所以所以,d)(d xxuugu 5.3 齐次方程齐次方程3微分方程微分方程解解121dd13 xyxyxyxy满满足足,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为 xuxudd分离变量分离变量xxuud21d13 两边积分两边积分Cxuln21ln21212 可分离变量方程可分离变量方程xyu 321uu 得得Cxuln12 ue, C.ln1xxy 方程的特解为方程的特解为的特解为的特解为 y =考研数学三考研数学三, 四填空四填空 4分分 xygxydd:齐齐次次方方程程.ln1xx 例例 5.3 齐次方

3、程齐次方程4 解方程解方程解解 将方程写为将方程写为22ddyxxyxy 齐次方程齐次方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为21dduuxuxu 即即xxuuud1d132 积分得积分得Cxuu lnln21221 xyxy可分离变量方程可分离变量方程uuxyu xygxydd. 0d)(d22 yyxxxy 5.3 齐次方程齐次方程5分析分析解解 yxdd,yxu 令令,uyx 则则,ddddyuyuyx 方程变为方程变为 yuyudd)1(e11 uu 齐次方程齐次方程可分离变量方程可分离变量方程 yxfyxdd)1(e11 yxyx把把x看作看作y的函数的

4、函数, 求解比较方便求解比较方便.d)(d)e1(的的通通解解求求方方程程yyxxyyx 例例 5.3 齐次方程齐次方程6两边积分两边积分即即Cuyu )e(得通解得通解.eCyxyx 分离变量分离变量yyuuuud1dee1 yuyudd)1(e11 uuCyuulnln)eln( 5.3 齐次方程齐次方程7,11时时当当bbaa 作变换作变换kYyhXx ,dd,ddYyXx 则则原方程原方程 YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 可解出可解出 h, k YbXaYbXaXY11dd 齐次方程齐次方程( h, k为待定常数为待定常数), 二、二、可化为齐次的方程可化为

5、齐次的方程111ddcybxacbyaxxy 形如形如为齐次方程为齐次方程.,01时时当当 cc否则为非齐次方程否则为非齐次方程.化为化为 0得得 (1)求出其解后求出其解后, ,代入代入将将kyYhxX 即得原方程的解即得原方程的解. 5.3 齐次方程齐次方程8,11时时当当bbaa 原方程可化为原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy xybaxvdddd 则则1ddcvcvbaxv 可分离变量方程可分离变量方程上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy )0(212 cc)0( b注注111ddcybxacbyaxxy

6、,byaxv 令令,11 bbaa令令h, k无法求得无法求得. (2) 5.3 齐次方程齐次方程9例例 解方程解方程. 0d)1()d3( yyxxyx解解03 kh再令再令 01 kh1,2 kh得得XXuuudd112 uarctan)1(ln212u XCln ,13dd yxyxxy原方程化为原方程化为 作变换作变换,kYyhXx ,dd,ddYyXx 则则YXYXXY dd齐次方程齐次方程 XYdd3 khYX原方程为原方程为 01 khYX 得得,XYu uuXuXu 11dd分离变量分离变量两边积分两边积分 5.3 齐次方程齐次方程1021arctan xy 2211ln21x

7、y| )2(|ln xC若方程改为若方程改为 ,13dd yxyxxy如何求解如何求解? 提示提示:. yxv 令令, 1,2 yYxX回代回代 uarctan)1(ln212u XCln ,XYu |ln1ln21arctan2CXXYXY 得得回代回代 得原方程的通解得原方程的通解:1,2 khkYyhXx , 5.3 齐次方程齐次方程11例例 探照灯反射镜的设计探照灯反射镜的设计. .在在xOy平面上有一曲线平面上有一曲线L, 曲线曲线L绕绕x轴旋转一周轴旋转一周,形成一形成一旋转曲面旋转曲面. 假设由假设由O点发出的光线经此点发出的光线经此旋转旋转曲面形状的凹曲面形状的凹镜反射后都与镜

8、反射后都与x轴平行轴平行(探照灯内的探照灯内的凹凹镜就是这样的镜就是这样的), 求求曲线曲线L的方程的方程.解解 如图如图, 设设 O点点发发 ML出的某条光线经出的某条光线经L上一点上一点M (x, y)反射后是一条与反射后是一条与又设过点又设过点M的切线的切线AT与与x轴的倾角是轴的倾角是. 由题意由题意,. SMTxyO TAS x轴平行的直线轴平行的直线MS.三、应三、应 用用 5.3 齐次方程齐次方程12另一方面另一方面,OMA 是是入射角入射角的余角的余角,SMT 是是反射角反射角的余角的余角,于是由光学中的于是由光学中的反射定律反射定律, SMTOMA有有从而从而,OMAO 但但

9、OPAPAO OPPM cot而而.22yxOM 于是得微分方程于是得微分方程,22yxxyy 即即.d)(d22yyxxxy MLxyO TAS PN,xyy 入射角入射角 = 反射角反射角齐次方程齐次方程 5.3 齐次方程齐次方程13为方便求解为方便求解,yyxxxyd)(d22 视视y为自变量为自变量, x为未知函数为未知函数,yxv 令令则则,yvx 有有,dddvyyvx 代入上式得代入上式得.d)1|()dd(2yvyyvvyyvy 由曲线由曲线L的对称性的对称性, 不妨设不妨设y 0, ,上式上式为为,d)1()dd(2yvvyvyyvy 化简得化简得,d1d2yvvy .d1d

10、2yyvv 分离变量分离变量可分离变量的方程可分离变量的方程 5.3 齐次方程齐次方程14.d1d2yyvv 两边积分两边积分得得,lnln)1ln(2Cyvv 即即.12Cyvv 由上式可得由上式可得, 122 vvCy即即, 1222 CyvCy以以yxv 代入上式代入上式, 得得.222 CxCy 这就是这就是曲线曲线L的方程的方程, 它是以它是以x轴为对称轴轴为对称轴, 焦点在原点的焦点在原点的抛物线抛物线. 5.3 齐次方程齐次方程15例例已知生产某种产品的总成本已知生产某种产品的总成本C由可变成本与由可变成本与固定成本两部分构成固定成本两部分构成.假设可变成本假设可变成本y是产量是

11、产量x的函数的函数,且且y关于关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之的变化率等于产量平方与可变成本平方之和和)(22yx 除以产量与可变成本之积的两倍除以产量与可变成本之积的两倍);2( xy固定成本为固定成本为1;. 3,1 yx时时求总成本函数求总成本函数C = C(x).解解xyyxxy2dd22 xyxy212齐次方程齐次方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd uu212 5.3 齐次方程齐次方程16xuxudd uu212 可分离变量方程可分离变量方程分离变量分离变量xxuuud1d122 两边积分两边积分由此可得由此可得Cux )1(2uxy 将将代入上式代入上式, 得通解得通解Cxxy 2因成本因成本, 0 y故上式根号前取正号故上式根号前取正号., 3,1 yx时时由由可得可得. 8 C于是于是, 可变成本为可变成本为,82xxy 总可变成本函数为总可变成本函数为 )(xC y1.812xx Cxulnln)1ln(2 5.3 齐次方程齐次方程17四、小结四、小结齐次方程齐次方程xyu 令令)(xyfy 可化为齐次的方程可化为齐次的方程,11时时当当bbaa 作变换作变换kYyhXx ,( h,