【全程复习方略】(全国通用)2018高考数学 10.2 排列与组合课件

1、第二节排列与组合【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)排列与组合的概念排列与组合的概念: :名称名称定义定义排列排列从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素按照一定的顺序按照一定的顺序_组合组合合成一组合成一组排成一列排成一列(2)(2)排列数与组合数的概念排列数与组合数的概念: :名称名称定义定义排列数排列数从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个个元素的所有不同元素的所有不同_的个数的个数组合数组合数_的个数的个数排列排列组合组合(3)(3)排列数公式排列数公式: : =_=_;

2、=_=_; =_. =_.(4)(4)组合数公式：组合数公式： =_=_=_.=_.mnAnnAn(n-1)(n-2)(n-m+1)n(n-1)(n-2)(n-m+1)n!nm !n!n!mmnnmmACAn n1n2nm1m!n!m! nm !(5)(5)组合数的性质组合数的性质: : =_. =_. =_. =_. mnCmm 1nnCCn mnCmn 1C2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记与组合数相关的几个公式与组合数相关的几个公式: :(1) (1) (全组合公式全组合公式).).(2)(2)(3)(3)01nnnnnCCC2mmmmm 1nn 1m 1mn 1CC

3、CCC.kk 1nn 1kCnC.3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :元素分析法元素分析法( (优先考虑特殊元素优先考虑特殊元素) )、位置分析法、位置分析法( (优先考优先考虑特殊位置虑特殊位置) )、直接法、间接法、直接法、间接法( (排除法排除法) )、等机会法、插空法、捆绑、等机会法、插空法、捆绑法等法等. .(2)(2)数学思想数学思想: :分类讨论、转化与化归分类讨论、转化与化归. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :相邻元素捆绑法相邻元素捆绑法, ,相离问题插空法相离问题插空法, ,定序问题属组合定序问题属组合, ,定元、定位优

4、先排定元、定位优先排, ,至多、至少间接法至多、至少间接法, ,选排问题先选后排选排问题先选后排, ,部分符合淘汰法部分符合淘汰法. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(.() )(2)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(.() )(3)(3)若组合式若组合式 , ,则则x=mx=m成立成立.(.() )(4)(4)组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数.(

5、.() )xmnnCC(5)(5)排列定义规定给出的排列定义规定给出的n n个元素各不相同个元素各不相同, ,并且只研究被取出的元素并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也各不相同的情况. .也就是说也就是说, ,如果某个元素已被取出如果某个元素已被取出, ,则这个元素就则这个元素就不再取了不再取了.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .由排列与组合的定义可知由排列与组合的定义可知, ,所有元素完全相同的两所有元素完全相同的两个组合是相同组合个组合是相同组合, ,而排列则不一定是相同的排列而排列则不一定是相同的排列, ,与它们的顺序还有与它们的顺序还有关系关系. .(2)(2)

6、正确正确. .由组合的概念可知由组合的概念可知, ,该问题是正确的该问题是正确的. .(3)(3)错误错误. .由组合数的性质可知当由组合数的性质可知当 时时,x=m,x=m或或x=n-m.x=n-m.(4)(4)错误错误. .组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数, ,阶乘形式阶乘形式常用于对含有字母的组合数的式子进行变形常用于对含有字母的组合数的式子进行变形, ,所以该说法错误所以该说法错误. .xmnnCC(5)(5)正确正确. .由定义易知由定义易知, ,取出的元素各不相同取出的元素各不相同, ,因此取了的不能再取了因此取了的不能再取了.

7、.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(选修选修2-3P28T162-3P28T16改编改编) )现有现有6 6人分乘两辆不同的出租车人分乘两辆不同的出租车, ,每辆车最每辆车最多乘多乘4 4人人, ,则不同的乘车方案数为则不同的乘车方案数为( () )A.70A.70B.60B.60C.50C.50D.40D.40【解析】【解析】选选C.C.先将先将6 6人分成两组人分成两组, ,有两种情况有两种情况:(4,2),(3,3),:(4,2),(3,3),然后再分然后再分配到两辆车上共有配到两

8、辆车上共有 =50=50种种. .423626C AC(2)(2)(选修选修2-3P40T22-3P40T2改编改编) )用用0,1,2,90,1,2,9十个数字组成五位数十个数字组成五位数, ,其中含其中含3 3个奇数与个奇数与2 2个偶数且数字不重复的五位数有个偶数且数字不重复的五位数有个个. .【解析】【解析】分两类：第一类，含分两类：第一类，含0 0的：有的：有 种；第二类，不含种；第二类，不含0 0的：有的：有 种种. .共有共有 =11 040=11 040个个. .答案：答案：11 04011 04031415444C C A A325545C C A31413255444545

9、C C A AC C A3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2015(1)(2015贵阳模拟贵阳模拟) )有有6 6个座位连成一排个座位连成一排, ,现有现有3 3人就座人就座, ,则恰有两个则恰有两个空座位相邻的不同坐法有空座位相邻的不同坐法有( () )A.36A.36种种B.48B.48种种C.72C.72种种D.96D.96种种【解析】【解析】选选C.C.恰有两个空座位相邻恰有两个空座位相邻, ,相当于两个空座位与第三个空位相当于两个空座位与第三个空位不相邻不相邻, ,先排三个人先排三个人, ,然后插空然后插空, ,从而共有从而共有 =72=72种坐法种坐法.

10、 .3234A A(2)(2015(2)(2015长春模拟长春模拟) )只用只用1,2,31,2,3三个数字组成一个四位数三个数字组成一个四位数, ,规定这三规定这三个数必须同时使用个数必须同时使用, ,且同一数字不能相邻出现且同一数字不能相邻出现, ,这样的四位数有这样的四位数有( () )A.6A.6个个 B.9B.9个个 C.18C.18个个 D.36D.36个个【解析】【解析】选选C.C.题设中要求题设中要求, ,一是三个数字必须全部使用一是三个数字必须全部使用, ,二是相同的数二是相同的数字不能相邻字不能相邻, ,选四个数字共有选四个数字共有 =3=3种方法种方法, ,即即1231,

11、1232,1233,1231,1232,1233,而每而每一种选择有一种选择有 =6=6种排法种排法, ,所以共有所以共有3 36=186=18种不同情况种不同情况, ,即这样的即这样的四位数共有四位数共有1818个个. .13C2223A C(3)(2014(3)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )有有6 6名男医生、名男医生、5 5名女医生名女医生, ,从中选出从中选出2 2名男名男医生、医生、1 1名女医生组成一个医疗小组名女医生组成一个医疗小组, ,则不同的选法共有则不同的选法共有( () )A.60A.60种种 B.70B.70种种 C.75C.75种种 D.150D.150种种

12、【解析】【解析】选选C.C.由题意由题意, ,从从6 6名男医生中选名男医生中选2 2人人,5,5名女医生中选名女医生中选1 1名组成一名组成一个医疗小组个医疗小组, ,不同的选法共有不同的选法共有 =75=75种种. .2165C C(4)(2014(4)(2014北京高考北京高考) )把把5 5件不同产品摆成一排件不同产品摆成一排, ,若产品若产品A A与产品与产品B B相邻相邻, ,且产品且产品A A与产品与产品C C不相邻不相邻, ,则不同的摆法有则不同的摆法有种种. .【解析】【解析】设这设这5 5件不同的产品分别为件不同的产品分别为A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,先把产品先

13、把产品A A与产品与产品B B捆捆绑有绑有 种摆法种摆法, ,再与产品再与产品D,ED,E全排有全排有 种摆法种摆法, ,最后把产品最后把产品C C插空有插空有 种摆法种摆法, ,所以共有所以共有 =36=36种不同摆法种不同摆法. .答案答案: :363622A33A13C231233A A C考点考点1 1 排列问题排列问题【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014四川高考四川高考) )六个人从左至右排成一行六个人从左至右排成一行, ,最左端只最左端只能排甲或乙能排甲或乙, ,最右端不能排甲最右端不能排甲, ,则不同的排法共有则不同的排法共有( () )A.192A.192种种B

14、.216B.216种种C.240C.240种种D.288D.288种种(2)(2)在数字在数字1,2,31,2,3与符号与符号“+”“-”+”“-”这五个元素的所有全排列中这五个元素的所有全排列中, ,任意任意两个数字都不相邻的全排列方法共有两个数字都不相邻的全排列方法共有种种. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)分两种情况进行讨论分两种情况进行讨论: :最左端排甲最左端排甲. .最左端排乙最左端排乙. .(2)(2)由于题设中任意两个数字不相邻由于题设中任意两个数字不相邻, ,因此可用插空法解决问题因此可用插空法解决问题. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.若最左端排甲若

15、最左端排甲, ,排法有排法有 =120=120种种; ;若最左端排若最左端排乙乙, ,排法有排法有 =96=96种种, ,故不同的排法共有故不同的排法共有120+96=216120+96=216种种. .(2)(2)本题主要考查某些元素不相邻的问题本题主要考查某些元素不相邻的问题, ,先排符号先排符号“+”“-”,+”“-”,有有 种排列方法种排列方法, ,此时两个符号中间与两端共有此时两个符号中间与两端共有3 3个空位个空位, ,把数字把数字1,1,2,3“2,3“插空插空”, ,有有 种排列方法种排列方法, ,因此满足题目要求的排列方法共因此满足题目要求的排列方法共有有 =12=12种种.

16、 .答案答案: :121255A1444C A22A33A2323A A【互动探究】【互动探究】本题本题(1)(1)增加乙不能在中间两个位置增加乙不能在中间两个位置, ,则不同的排法共则不同的排法共有有种种. .【解析】【解析】当甲在最左端时当甲在最左端时, ,乙有乙有3 3种排法种排法, ,剩余剩余4 4人有人有 =24(=24(种种) )排法排法, ,此时共有此时共有3 =723 =72种排法种排法; ;当甲不在最左端时当甲不在最左端时, ,乙必须在最左端乙必须在最左端, ,且甲且甲也不在最右端也不在最右端, ,有有 =4=424=96(24=96(种种) )排法排法, ,共计共计72+9

17、6=168(72+96=168(种种) )排法排法. .答案答案: :16816844A44A114144A A A【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(2)(2)有三点容易出错有三点容易出错: :(1)(1)先排先排3 3个数字出现个数字出现4 4个空位个空位, ,再将符号再将符号“+”“-”+”“-”从这从这4 4个空中选两个空中选两个插空个插空. .(2)(2)先排列两个符号先排列两个符号, ,再将再将3 3个数字插空个数字插空, ,但没有考虑排列问题但没有考虑排列问题, ,造成结造成结论错误论错误. .(3)(3)想将想将3 3个数字全排列个数字全排列, ,中间有中间有2 2个

18、空位个空位, ,将两个符号插空将两个符号插空, ,但没有考虑但没有考虑顺序顺序, ,造成结论错误造成结论错误. .【规律方法】【规律方法】求解排列问题的主要方法求解排列问题的主要方法直接法直接法把符合条件的排列数直接列式计算把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先法优先安排特殊元素或特殊位置优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法捆绑法相邻问题捆绑处理相邻问题捆绑处理, ,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列素进行排列, ,同时注意捆绑元素的内部排列同时注意捆绑元素的内部排列插空法插空法不相邻问题插空处理不相邻问题插空处理, ,即先考虑不受限制的元素的排列

19、即先考虑不受限制的元素的排列, ,再将不再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中相邻的元素插在前面元素排列的空中除法除法对于定序问题对于定序问题, ,可先不考虑顺序限制可先不考虑顺序限制, ,排列后排列后, ,再除以定元素的再除以定元素的全排列全排列间接法间接法正难则反正难则反, ,等价转化的方法等价转化的方法【变式训练】【变式训练】(2015(2015北京模拟北京模拟) )有有3 3张标号分别为张标号分别为1,2,31,2,3的红色卡片的红色卡片, ,3 3张标号分别为张标号分别为1,2,31,2,3的蓝色卡片的蓝色卡片, ,现将全部的现将全部的6 6张卡片放在张卡片放在2 2行行3 3列的列

20、的格内格内( (如图如图).).若颜色相同的卡片在同一行若颜色相同的卡片在同一行, ,则不同的放法种数为则不同的放法种数为.(.(用数字作答用数字作答) )【解析】【解析】由题意可知由题意可知, ,不同的放法共有不同的放法共有 =6=66 62=72(2=72(种种).).答案答案: :7272332332A A A【加固训练】【加固训练】某小区有排成一排的某小区有排成一排的7 7个车位个车位, ,现有现有3 3辆不同型号的车需辆不同型号的车需要停放要停放, ,如果要求剩余的如果要求剩余的4 4个车位连在一起个车位连在一起, ,那么不同的停放方法的种那么不同的停放方法的种数为数为( () )A

21、.8 B.16 C.24 D.32A.8 B.16 C.24 D.32【解析】【解析】选选C.C.本题主要考查排列组合知识本题主要考查排列组合知识, ,题中情境富有生活气息题中情境富有生活气息, ,根根据捆绑法即可解决问题据捆绑法即可解决问题, ,同时考查考生利用所学知识分析问题、解决同时考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力问题的能力. .利用捆绑法利用捆绑法, ,先将先将4 4个连在一起的车位捆绑看成一个元素个连在一起的车位捆绑看成一个元素, ,然后将然后将3 3辆车辆车放在余下的放在余下的3 3个车位个车位, ,共有共有 =24=24种方法种方法. .44A考点考点2 2 组合问题

22、组合问题【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015南昌模拟南昌模拟) )将将5 5名学生分到名学生分到A,B,CA,B,C三个宿舍三个宿舍, ,每个每个宿舍至少宿舍至少1 1人人, ,至多至多2 2人人, ,其中学生甲不到其中学生甲不到A A宿舍的不同分法有宿舍的不同分法有( () )A.18A.18种种 B.36B.36种种 C.48C.48种种 D.60D.60种种(2)20(2)20个不加区别的小球放入个不加区别的小球放入1 1号号,2,2号号,3,3号的三个盒子中号的三个盒子中, ,要求每个盒要求每个盒内的球数不小于它的编号数内的球数不小于它的编号数, ,则不同的放法种数为则

23、不同的放法种数为. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)三个宿舍的人数只能是三个宿舍的人数只能是2,2,1,2,2,1,分情况讨论即可分情况讨论即可. .(2)(2)由于由于2020个小球是不加区别的个小球是不加区别的, ,因此是一个组合问题因此是一个组合问题, ,解决办法是先解决办法是先在在2 2号中放号中放1 1个小球个小球, ,再在再在3 3号中放号中放2 2个小球个小球, ,然后利用挡板法求解然后利用挡板法求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由题意知由题意知A,B,CA,B,C三个宿舍中有两个宿舍分到三个宿舍中有两个宿舍分到2 2人人, ,另一个宿舍分到另一个宿

24、舍分到1 1人人. .若甲被分到若甲被分到B B宿舍宿舍: :A A中中2 2人人,B,B中中1 1人人,C,C中中2 2人人, ,有有 =6=6种分法种分法; ;A A中中1 1人人,B,B中中2 2人人,C,C中中2 2人人, ,有有 =12=12种分法种分法; ;A A中中2 2人人,B,B中中2 2人人,C,C中中1 1人人, ,有有 =12=12种分法种分法, ,即甲被分到即甲被分到B B宿舍的分法有宿舍的分法有3030种种, ,同样甲被分到同样甲被分到C C宿舍的分法也有宿舍的分法也有3030种种, ,所以甲不到所以甲不到A A宿舍一共有宿舍一共有6060种分法种分法. .24C2

25、142C C2142C C(2)(2)先在编号为先在编号为2,32,3的盒内分别放入的盒内分别放入1 1个个,2,2个球个球, ,还剩还剩1717个小球个小球, ,三个盒三个盒内每个至少再放入内每个至少再放入1 1个个, ,将将1717个球排成一排个球排成一排, ,有有1616个空隙个空隙, ,插入插入2 2块挡板块挡板分为三堆放入三个盒中即可分为三堆放入三个盒中即可, ,共有共有 =120(=120(种种) )方法方法. .答案答案: :120120216C【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)有两点容易出错有两点容易出错: :(1)(1)分类讨论时分类讨论时, ,极易少讨

26、论一种或二种情况极易少讨论一种或二种情况; ;(2)(2)在每一种情况中在每一种情况中, ,也可能少讨论一种或二种情况也可能少讨论一种或二种情况. .【规律方法】【规律方法】1.1.组合问题的常见题型及解题思路组合问题的常见题型及解题思路(1)(1)常见题型常见题型: :一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等组问题等. .(2)(2)解题思路解题思路: :分清问题是否为组合问题分清问题是否为组合问题; ;对较复杂的组合问题对较复杂的组合问题, ,要要搞清是搞清是“分类分类”还是还是“分步分步”, ,一般是先整体分类一般是先整体分

27、类, ,然后局部分步然后局部分步, ,将将复杂问题通过两个原理化归为简单问题复杂问题通过两个原理化归为简单问题. .2.2.含有附加条件的组合问题的常用方法含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法通常用直接法或间接法, ,应注意应注意“至少至少”“”“最多最多”“”“恰好恰好”等词的含等词的含义的理解义的理解, ,对于涉及对于涉及“至少至少”“”“至多至多”等词的组合问题等词的组合问题, ,既可考虑反面既可考虑反面情形即间接求解情形即间接求解, ,也可以分类研究进行直接求解也可以分类研究进行直接求解. .提醒提醒: :区分一个问题是排列问题还是组合问题区分一个问题是排列问题还是组合

28、问题, ,关键在于是否与顺序有关键在于是否与顺序有关关. .【变式训练】【变式训练】1.(20151.(2015重庆模拟重庆模拟) )有甲、乙、丙三项任务有甲、乙、丙三项任务, ,甲需甲需2 2人人承担承担, ,乙、丙各需乙、丙各需1 1人承担人承担, ,从从1010人中选派人中选派4 4人承担这三项任务的不同人承担这三项任务的不同选法有选法有( () )A.1 260A.1 260种种B.2 025B.2 025种种C.2 520C.2 520种种D.5 040D.5 040种种【解析】【解析】选选C.C.按分步乘法计数原理考虑按分步乘法计数原理考虑: :第一步安排甲任务有第一步安排甲任务有

29、 种方种方法法, ,第二步第二步, ,安排乙任务有安排乙任务有 种方法种方法, ,第三步安排丙任务有第三步安排丙任务有 种方法种方法, ,所以总共有所以总共有 =2520=2520种方法种方法. .210C18C17C2111087C C C2.2.在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyzO-xyz中有中有8 8个点个点:P:P1 1(1,1,1),P(1,1,1),P2 2(-1,1,1),(-1,1,1),P P7 7(-1,-1,-1),P(-1,-1,-1),P8 8(1,-1,-1)(1,-1,-1)(每个点的横、纵、竖坐标都是每个点的横、纵、竖坐标都是1 1或或-1),-1),以

30、以其中其中4 4个点为顶点的三棱锥一共有个点为顶点的三棱锥一共有个个( (用数字作答用数字作答).).【解析】【解析】这这8 8个点构成正方体的个点构成正方体的8 8个顶点个顶点, ,此题即转化成以正方体的此题即转化成以正方体的8 8个个顶点中的顶点中的4 4个点为顶点的三棱锥一共有多少个个点为顶点的三棱锥一共有多少个. .从正方体的从正方体的8 8个顶点中个顶点中任取任取4 4个个, ,有不同取法有不同取法 种种, ,其中这四点共面的其中这四点共面的(6(6个对角面、个对角面、6 6个表面个表面) )共共1212个个, ,所以这样的三棱锥有所以这样的三棱锥有 -12=58-12=58个个.

31、.答案答案: :585848C48C【加固训练】【加固训练】1.1.两人进行乒乓球比赛两人进行乒乓球比赛, ,先赢先赢3 3局者获胜局者获胜, ,决出胜负为决出胜负为止止, ,则所有可能出现的情况则所有可能出现的情况( (各人输赢局次的不同视为不同情况各人输赢局次的不同视为不同情况) )共共有有( () )A.10A.10种种 B.15B.15种种 C.20C.20种种 D.30D.30种种【解析】【解析】选选C.C.采用分类讨论法求解采用分类讨论法求解. .由题意知比赛局数至少为由题意知比赛局数至少为3 3局局, ,至多为至多为5 5局局. .当为当为3 3局时局时, ,情况为甲或乙连赢情况

32、为甲或乙连赢3 3局局, ,共共2 2种种. .当为当为4 4局时局时, ,若甲赢若甲赢, ,则前则前3 3局中甲赢局中甲赢2 2局局, ,最后一局甲赢最后一局甲赢, ,共有共有 =3(=3(种种) )情况情况; ;同理同理, ,若乙赢也有若乙赢也有3 3种情况种情况. .共有共有6 6种情况种情况. .当为当为5 5局时局时, ,前前4 4局局, ,甲、乙各赢甲、乙各赢2 2局局, ,最后最后1 1局胜出的人赢局胜出的人赢, ,共有共有2 =2 =12(12(种种) )情况情况. .由上综合知由上综合知, ,共有共有2020种情况种情况. .23C24C2.(20152.(2015南昌模拟南

33、昌模拟) )某大学的某大学的8 8名同学准备拼车去旅游名同学准备拼车去旅游, ,其中大一、大其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名二、大三、大四每个年级各两名, ,分乘甲、乙两辆汽车分乘甲、乙两辆汽车. .每车限坐每车限坐4 4名名同学同学( (乘同一辆车的乘同一辆车的4 4名同学不考虑位置名同学不考虑位置),),其中大一的孪生姐妹需乘同其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车一辆车, ,则乘坐甲车的则乘坐甲车的4 4名同学中恰有名同学中恰有2 2名同学来自同一年级的乘坐方名同学来自同一年级的乘坐方式共有式共有( () )A.24A.24种种 B.18B.18种种 C.48C.48种种 D.36D.3

34、6种种【解析】【解析】选选A.A.甲车的人员一旦确定甲车的人员一旦确定, ,乙车的人员也随之确定下来乙车的人员也随之确定下来. .第一第一类类: :大一的孪生姐妹乘坐甲车大一的孪生姐妹乘坐甲车, ,则另外两人的选择有则另外两人的选择有 222 2=12=12种种; ;第第二类二类: :大一的孪生姐妹乘坐乙车大一的孪生姐妹乘坐乙车, ,则甲车的人员选择有则甲车的人员选择有 222 2=12=12种种. .根据分类加法计数原理可得乘坐方式共有根据分类加法计数原理可得乘坐方式共有12+12=2412+12=24种种. .23C13C考点考点3 3 分组分配问题分组分配问题知知考情考情分组分配问题是排

35、列组合综合问题分组分配问题是排列组合综合问题, ,也是常考问题也是常考问题. .解题思想是先解题思想是先分组后分配分组后分配, ,有平均分组与不平均分组两类有平均分组与不平均分组两类, ,经常以选择题、填空题形经常以选择题、填空题形式出现式出现. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:平均分配问题平均分配问题【典例【典例3 3】(2015(2015重庆模拟重庆模拟) )将将2 2名教师名教师,4,4名学生分成名学生分成2 2个小组个小组, ,分别安分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动排到甲、乙两地参加社会实践活动, ,每个小组由每个小组由1 1名教师和名教师和2 2名学生组名学生组成成, ,不

36、同的安排方案共有不同的安排方案共有( () )A.12A.12种种 B.10B.10种种 C.9C.9种种 D.8D.8种种【解题提示】【解题提示】由题意由题意2 2名教师名教师,4,4名学生分到甲、乙两地名学生分到甲、乙两地, ,每地每地1 1名教师名教师2 2名学生是平均分配问题名学生是平均分配问题. .【规范解答】【规范解答】选选A.A.将将4 4名学生均分为名学生均分为2 2个小组共有个小组共有 =3=3种分法种分法; ;将将2 2个小组的同学分给个小组的同学分给2 2名教师共有名教师共有 =2=2种分法种分法, ,最后将最后将2 2个小组的人员分配到甲、乙两地有个小组的人员分配到甲、

37、乙两地有 =2=2种分法种分法. .故不同的安排方案共有故不同的安排方案共有3 32 22=122=12种种. .224222C CA22A22A命题角度命题角度2:2:不平均分配问题不平均分配问题【典例【典例4 4】(2015(2015成都模拟成都模拟) )某地发生了某地发生了7.07.0级地震级地震, ,现派一支由现派一支由5 5人组人组成的先锋救援队到该市成的先锋救援队到该市3 3所学校进行紧急救灾所学校进行紧急救灾, ,若每所学校至少若每所学校至少1 1人人, ,则则不同的安排方案共有不同的安排方案共有种种( (用数字作答用数字作答).).【解题提示】【解题提示】5 5人分到人分到3

38、3所学校所学校, ,每校至少每校至少1 1人是不平均分配人是不平均分配, ,具体方案具体方案有有2,2,12,2,1和和3,1,13,1,1两种情况两种情况. .【规范解答】【规范解答】先把五名志愿者分成三堆先把五名志愿者分成三堆, ,有有2,2,12,2,1和和3,1,13,1,1两种情况两种情况, ,再分配到再分配到3 3所学校所学校. .前一种有前一种有 =15=15种种, ,后一种有后一种有 =10=10种种. .所以总所以总共有共有(15+10)(15+10) =150 =150种种. .答案答案: :150150225322C CA35C33A悟悟技法技法1.1.分组、分配问题的求

39、解策略分组、分配问题的求解策略(1)(1)分组问题属于分组问题属于“组合组合”问题问题, ,按组合问题求解按组合问题求解, ,常见的分组问题有常见的分组问题有三种三种: :完全均匀分组完全均匀分组, ,每组的元素个数均相等每组的元素个数均相等; ;部分均匀分组部分均匀分组, ,应注意不要重复应注意不要重复, ,若有若有n n组均匀组均匀, ,最后必须除以最后必须除以n!;n!;完全非均匀分组完全非均匀分组, ,这种分组不考虑重复现象这种分组不考虑重复现象. .(2)(2)分配问题属于分配问题属于“排列排列”问题问题, ,可以按要求逐个分配可以按要求逐个分配, ,也可以分组后也可以分组后再分配再

40、分配. .2.2.分组分配问题的解题方法分组分配问题的解题方法(1)(1)相同元素的相同元素的“分配分配”问题问题, ,常用的方法是采用常用的方法是采用“挡板法挡板法”. .(2)(2)不同元素的不同元素的“分配分配”问题问题, ,利用分步计数原理利用分步计数原理, ,分两步完成分两步完成, ,第一步第一步是分组是分组, ,第二步是发放第二步是发放. .(3)(3)限制条件的分配问题采用分类法求解限制条件的分配问题采用分类法求解. .通通一类一类1.(20151.(2015沈阳模拟沈阳模拟) )某校高三年级六个班某校高三年级六个班, ,现从外地转入现从外地转入4 4名学生安名学生安排在其中两个

41、班排在其中两个班, ,每班每班2 2名名, ,则不同的安排方案种数为则不同的安排方案种数为( () )A.6 B.24 C.180 D.90A.6 B.24 C.180 D.90【解析】【解析】选选D.D.先把先把4 4名学生平均分成两组有名学生平均分成两组有 =3=3种种, ,再将两组分到再将两组分到六个班的两个班中有六个班的两个班中有 =30=30种种, ,所以共有所以共有3 330=9030=90种不同方案种不同方案. .224222C CA26A2.(20142.(2014兰州模拟兰州模拟) )某校从某校从8 8名教师中选派名教师中选派4 4名教师同时去名教师同时去4 4个边远地个边远

42、地区支教区支教( (每地每地1 1人人),),其中甲和乙不同去其中甲和乙不同去, ,甲和丙只能同去或同不去甲和丙只能同去或同不去, ,则不则不同的选派方案共有同的选派方案共有( () )A.150A.150种种 B.300B.300种种 C.600C.600种种 D.900D.900种种【解析】【解析】选选C.C.分两步分两步, ,第一步第一步, ,先选先选4 4名教师名教师, ,又分两类又分两类: :第一类第一类, ,甲去甲去, ,则丙一定去则丙一定去, ,乙一定不去乙一定不去, ,有有 =10=10种不同的方法种不同的方法, ,第二第二类类, ,甲不去甲不去, ,则丙一定不去则丙一定不去,

43、 ,乙可能去也可能不去乙可能去也可能不去, ,有有 =15=15种不同的种不同的方法方法, ,所以不同的选法有所以不同的选法有10+15=2510+15=25种种. .第二步第二步, ,四名教师去四名教师去4 4个边远地个边远地区支教区支教, ,有有 =24=24种方法种方法, ,最后由分步乘法计数原理最后由分步乘法计数原理, ,共有共有252524=24=600600种不同的方法种不同的方法. .25C46C44A3.(20153.(2015张掖模拟张掖模拟) )将将5 5位志愿者分成位志愿者分成3 3组组, ,其中两组各其中两组各2 2人人, ,另一组另一组1 1人人, ,分赴青奥会的三个

44、不同场馆服务分赴青奥会的三个不同场馆服务, ,不同的分配方案有不同的分配方案有种种( (用数字作答用数字作答).).【解析】【解析】先将先将5 5位志愿者分成位志愿者分成3 3组共有组共有 种方法种方法, ,再分到三个不同再分到三个不同场馆共有场馆共有 种方法种方法, ,所以不同的分配方案有所以不同的分配方案有: =90: =90种种. .答案答案: :9090225322C CA33A22353322C CAA巧思妙解巧思妙解11 11 巧用正难则反原则解排列组合应用题巧用正难则反原则解排列组合应用题【典例】【典例】安排安排3 3名支教教师去名支教教师去4 4所学校任教所学校任教, ,每校至多每校至多2 2人人, ,则不同的分则不同的分配方法共有配方法共有种种.