数学分析傅里叶级数及系数课件

1、数学分析傅里叶级数及系数第第12章章 多变量函数多变量函数极限与连续极限与连续数学分析傅里叶级数及系数12.1 n维维 Euclid 空间空间12(,):,1,2, nniRxxxxR in 引引进进记记号号：nR定定 定定义义中中义义1 1加加法法和和数数乘乘1122121212(,),(,),(,)(,), ,.nnnnnnabab ababaaaaa aabb bbR a bR 这这里里a a，数学分析傅里叶级数及系数 , , ,1231,.na b cRRabbaabcabcababaaaaa 则则有有）交交换换律律：；）结结合合律律：；）分分配配率率：性性质质2nnRR在在中中定定义

2、义了了向向量量的的加加法法和和数数乘乘运运算算定定义义， 称称为为n n维维向向量量空空间间. .数学分析傅里叶级数及系数 12121 1221,(,),( ,).,nnnnnniiia bR aa aabb bba ba ba ba ba ba b ，定定义义内内积积运运算算：通通常常记记为为定定义义3 3 121212,1,0,=0=0,4,2,na b cRRa aa aaa bb aabca ba ca bca ba c ，）正正定定性性：2 2）对对称称性性：3 3）线线性性性性性性质质（内内积积的的运运算算性性质质：）：）分分配配率率数学分析傅里叶级数及系数nR在在n n维维向向量

3、量空空间间定定义义内内积积运运算算，称称为为欧欧几几里里得得（E Eu uc cl li id d定定义义3 3： ）空空间间. .1222212,( , , , ),( , )4nnna R aa aaaaaaaa 定定 义义 向向 量量 的的 长长 度度 （ 或或 者者 范范 数数 ）定定 义义：,3()1023na bRRaaaabab 则则）；性性质质范范）；）（三三角角数数性性质质 ：不不等等式式）数学分析傅里叶级数及系数12121 12 222222212122222( ,),( ,),2,2nnn nnnaa aabb bba ba ba ba baaabbba ba b a b

4、a aa bb baa bbab 证证明明3 3） 设设则则根根据据柯柯西西不不等等式式因因此此由由内内积积运运算算性性质质，因因此此结结论论得得证证。数学分析傅里叶级数及系数12121 1222222221212,(,),(,)cos( , )nnnnnnna bRaa aabb bba ba ba ba ba baaabbbab 任任意意不不为为零零向向量量，定定义义两两个个向向量量的的夹夹定定义义5 5( (向向量量内内积积为为运运算算) )：角角。数学分析傅里叶级数及系数12.2 中点集合的基本概念nR ;,;,;0,.nnonB A rXXAr X ARB A rXXAr X ARB

5、A rXXAr X AR ；引引记记号号：；入入几几个个数学分析傅里叶级数及系数 ,0,;nERrEB O rE 设设集集合合如如果果存存在在使使得得，则则定定义义1 1（集集合合有有界界）称称集集合合 有有界界. . ,0,;=nooERErB O rEEEEE 设设集集合合如如果果存存在在使使得得，则则称称 为为集集合合 的的内内点点. .E E的的所所有有内内点点的的集集合合记记为为定定义义2 2，如如果果，则则（开开集集合合）称称 为为开开集集合合. .,noERE 定定理理1 1 对对任任 意意集集合合为为开开集集. .数学分析傅里叶级数及系数11),;2),1,2,2(,)nIni

6、iiREIEEinE 为为开开集集定定理理开开集集运运算算性性合合设设为为开开集集合合族族, ,则则为为开开集集; ;3 3) )设设为为开开集集, ,则则质质为为开开集集. . 111:,;IIIXEEEXEB X rEEX 证明则证明则因此存在r0,使得因此存在r0,使得 ，因此 为内点，结论得证。因此 为内点，结论得证。数学分析傅里叶级数及系数 131;iBOOi 注：结论 ）只能有限个开集的交为开集合,例如：注：结论 ）只能有限个开集的交为开集合,例如： ,ncnEREREE 定定义义定定义义3 3（ 为为集集合合集集合合的的补补集集）的的集集. . 2222,.cEx yxyaEx

7、yxya例例集合集合补集为补集为数学分析傅里叶级数及系数(De Morgan);2 1)ccccIIIIIEEEE设 为指标设 为指标定理3定理定理3定理集合,则 集合,则 ,ncEREE 定定义义 为为开开集集, ,则则称称定定义义4 4（闭闭集集）为为闭闭集集. .1),(),2)IiiIEIEEE n ni i= =1 1设设 为为指指标标集集合合, ,则则 如如果果集集合合族族为为闭闭集集, ,则则为为闭闭集集; ;如如果果为为闭闭定定理理4 4 闭闭集集合合的的运运算算性性质质集集合合，则则为为闭闭集集. .数学分析傅里叶级数及系数 ,0,(;)nnoERARrBA rEAE 设设如

8、如果果对对任任意意中中总总有有 中中得得点点，则则称称 为为集集合合定定义义5 5 聚聚点点的的聚聚点点. .,(,).nEREEEEEEE 设设集集合合 所所有有聚聚点点的的集集合合称称为为 的的导导集集, ,记记为为集集合合为为集集合合 的的闭闭包包定定, ,义义6 6 导导集集闭闭记记为为和和包包 2222,Ex yxyaEEx yxya例设则例设则 2222,0,0,.Ex yxya xx yxya x 例例不不是是开开集集合合 也也不不是是闭闭集集合合数学分析傅里叶级数及系数nEREE为闭集的充分必要条件为为闭集的充分必要条件为定理5 定理5 . . nocEREEEE 设设为为集集合合 的的外外点点，外外点点的的全全体体称称为为集集合合 的的外外部部；既既不不是是内内点点也也不不定定义义7 7 （集集合合的的外外点点和和是是外外点点的的集集合合称称为为的的边边界界） 边边界界. . onocREEE成立:成立:数学分析傅里叶级数及系数定义定义6 (6 (区域区域) ) 集合E中任意两点之间可以有一条完全含于E的不间断曲线连接,则E是连通的. 进一步连通的开集称为(开)区域. 区域的闭包称为闭区域. 区域包括开区域、闭区域