高等数学之多元函数积分学课件

1、高等数学之多元函数积分学第六节第六节一、格林公式一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式、平面曲线积分与 路径无关的条件 第九章 高等数学之多元函数积分学 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、格林公式一、格林公式1. 1. 单连通域与复连通域单连通域与复连通域高等数学之多元函数积分学定理定理1 12

2、、格林公式、格林公式高等数学之多元函数积分学连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, 区区域域 D 总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD高等数学之多元函数积分学便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.LDyQxPyxyPxQdddd高等数学之多元函数积分学例例1. . 计算计算解解: 令令故故2221(2 )().3Lxy dxyxdy L 为以为以1,2

3、xyxyx和和 为边的三角形的正向闭曲线为边的三角形的正向闭曲线.22212 ,.3PxyQyx2,2 .PQxyx 120( 22)2(1)xLxDxdxdydxxdy 11220012(1)2().3xxxydxxx dx x0y12yx2yx高等数学之多元函数积分学例2. 计算计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye机动 目录

4、 上页 下页 返回 结束 高等数学之多元函数积分学例例3 3 计计算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L为为一一条条无无重重点点, ,分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点的的连连续续闭闭曲曲线线, ,L的的方方向向为为逆逆时时针针方方向向. .则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,高等数学之多元函数积分学L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内

5、内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应用格林公式应用格林公式,得得yxo高等数学之多元函数积分学 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20高等数学之多元函数积分学格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.计算平面面积计算平面面积例如例如, 椭圆20,

6、sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab高等数学之多元函数积分学Gyxo 1LQdyPdx 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关. .二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件高等数学之多元函数积分学定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑

7、闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 高等数学之多元函数积分学yx说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可

8、用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx),(00及动点及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之多元函数积分学例例4. 计算计算2232(32)d(2)d ,

9、ABx yxyxx yxy其中其中22(0, 0),(1,1),(1)1ABABxy解解: 由于由于因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知为圆周为圆周 在第一在第一象限内的弧段象限内的弧段. . y2x1(1, 0)C(1,1)BA(0, 0)223232,2,Px yxy Qx yx262,QPx yxxy.ABACBACCB因为在因为在 上，上，0,0,ACydy2232(32)d(2)d0.ABx yxyxx yxy高等数学之多元函数积分学y2x1(1, 0)C(1,1)BA(0, 0)因为在因为在 上，上，1,0,CBxdx2232(32)d(2)

10、dABx yxyxx yxy2232(32)d(2)dABx yxyxx yxy11200(21)()2.ydyyy022.高等数学之多元函数积分学yAxoL例例5. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 为上半为上半24xxy从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则648.3高等数学之多元函数积分学例例6. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP则则xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之多元函数积分学内容小结内容小结1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等