高数第二学期期中考前辅导课件

1、高数第二学期期中考前辅导2009年高数第二学期年高数第二学期期中考前指导期中考前指导高数第二学期期中考前辅导2009年高数第二学期期中考试考点年高数第二学期期中考试考点1、多元函数微分（1）多元复合函数求微分（包括2阶偏导）；（2）隐含数求偏导；（3）会利用全微分求偏导；（4）多元函数极值求解（无条件极值和有条件极值）；（5）会求切平面和法线方程，会求切线与法平面方程；2、重积分（1）直角坐标系下计算二重三重积分；（2）二三重积分交换积分次序（3）极坐标、柱面坐标、球坐标下计算二重三重积分；（4）计算曲面面积、质量、重心坐标、引力、转动惯量；高数第二学期期中考前辅导2009年高数第二学期期中考

2、试考点年高数第二学期期中考试考点3、线面积分（1）第一二类曲线积分的直接计算；（2）利用第一类和第二类曲线之间的关系计算题目；（3）格林公式；（4）曲线积分与路径无关条件；（5）第一二类曲面积分的直接计算；（6）两类曲面积分之间的关系计算题目；（7）高斯公式；高数第二学期期中考前辅导多元多元复合函数微分法复合函数微分法)(),().1 (xxfz定理1 设 和 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 在点x可导,且)(xv)(),(xxfz)(xudxdvvfdxduufdxdz注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.全导数2. 因为多元复合函数类型复杂,所以

3、不要死记公式,要学会用 复合关系图（ 结构示意图）.uzvx结构示意图高数第二学期期中考前辅导例如:)(),(),(),(xhwxvxuwvufzdxdwwfdxdvvfdxduufdxdz),(),().2(yxyxfz定理2 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且),(yxv),(yxu),(),(yxyxfzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyzzuvwxzuvxy高数第二学期期中考前辅导复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数例fxyyxfz),(22具有二阶连续偏导数,求yxzxz222,xyvyxuvuf

4、z,),(22xvvzxuuzxz212yfxf 注意:),(1vuffu),(2vuffv2222211211122xvfxufyxvfxufxfxz222121121442fyxyffxf结构示意图遗传性高数第二学期期中考前辅导全微分形式不变性全微分形式不变性dxxvvzxuuz)(dyyvvzyuuz)(),(vufz ),(yxv),(yxu若:),(),(yxyxfz则对dyyzdxxzdz)()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz全微分形式不变性高数第二学期期中考前辅导注：可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数.例vdvevdueveddzuuuco

5、ssin)sin(解)cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxyxdyydxxyddu)(dydxyxddv)(dxyxyxyexy)cos()sin(dyyxyxxexy)cos()sin(,sinyxvxyuvezu求yzxz,高数第二学期期中考前辅导方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）高数第二学期期中考前辅导

6、梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),( , ),( gradyxfyxffyx 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.（注意梯度是一个向量）.),(最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数yxf高数第二学期期中考前辅导将二元函数z = f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图： （1）有定义 （2）有极限 （3）连续 （4）偏导存在 （5）方向导数存在 （6）偏导连续 （7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）七框图七框图问题：

7、箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。高数第二学期期中考前辅导多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一一. 空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面切线当M 沿曲线L趋向于 时,割线 的极限位置0MMM0.0TM0MMT法平面0MTM0过 而垂直于切线 的平面1.设曲线).(),(),(:tztytx导数不全为零),(00000zyxMtt),(0000zzyyxxMttt:0MMzzzyyyxxx000即tzzztyyytxxx000高数第二学期期中考前辅导00tMM:0TM)()()(000000tzztyytxx)(),(),(000tttT切向量切线方程法平面方程0)()()

8、(000000zztyytxxt2.设曲线).(),(:xzxy).(),(,:xzxyxx将x视为参数,切线方程)()(100000tzztyyxx法平面方程0)()()(00000zztyytxx高数第二学期期中考前辅导二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.0M切平面过 且与切平面垂直的直线0M法线1.设曲面方程为0),(zyxF,),(0000zyxM),(zyxF在该点偏导数连续且不全为零.),( ),( ),( 000000000zyxFzyxFzyxFnzyx切平面的法向量0)(,( )(,( )(,( 000000000000z

9、zzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切平面),( ),( ),( 000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx法线高数第二学期期中考前辅导多元函数的极值多元函数的极值定义: 设z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义,如果在该邻域内),(00yx),(),(),(),(0000yxyxyxfyxf),(00yx则称z=f(x,y)在点 有极大值 ;),(00yxf反之,为极小值.极值极值点高数第二学期期中考前辅导定理1(极值必要条件) 设z=f(x,y)在点 具有偏导数且有极值,则),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yx驻点注:(1).由

10、偏导数及一元函数极值易证;(2).0),(, 0),(0000yxfyxfyx(3).驻点不一定是极值点.高数第二学期期中考前辅导定理2 ( 极值充分条件 ) 设 z=f(x,y)在点 的某邻域内具有二阶连续偏导数且),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx记则0).1 (2 ACB时,),(00yxf是极值,且A0时极小.0).3(2 ACB时,不一定是极值.0).2(2 ACB时,不是极值;高数第二学期期中考前辅导指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd

11、 d例1 函数)ln(22zyxu提示31,32,32则cos,cos,cosAxu1x,21yd dAyu0y,0(96考研), ) 1 ,2,2(AB0ABl 21Azucoscoscoszuyuxulu1 12 2ln(x1)ln(x1) 2 2l ln n( (1 1y y1 1) ) 1 12 2 高数第二学期期中考前辅导.161. 1, 0)()()().0, 0, 0(),(000000000000000000zyxVzzyyxxzzzyyyxxxzyxzyx所求体积为即则切平面方程为设切点为小，求切点坐标。所围的四面体的体积最坐标面的切平面，使得与三个在第一卦限作1. 2222

12、zyx高数第二学期期中考前辅导.,31,021021021),1(1),(000222222取得最小值此时解得则设VzyxzxyzFyzxyFxyzxFzyxxyzzyxFzyx高数第二学期期中考前辅导曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）曲线积分与曲面积分高数第二学期期中考前辅导 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim)

13、,( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)高数第二学期期中考前辅导与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(Q

14、dyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题高数第二学期期中考前辅导 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关) 一代一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,

15、dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,高数第二学期期中考前辅导定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式(二)、各种积分之间的联系高数第二学期期中考前辅导1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式 理论上的联系 高数第二学期期中考前辅导3.三重积分与曲面积分的联系三重

16、积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式高数第二学期期中考前辅导.例31)(81)(2)()(等于),(所 围围区域，1, 0是由其中,),(),(且,连续),(设2xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD高数第二学期期中考前辅导利用对称性（轮换对称性）化简二重，三重，线面积分高数第二学期期中考前辅导利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应

17、注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于相应变量的、被积函数在积分区域上的关于相应变量的奇偶性奇偶性则则上上的的连连续续函函数数为为面面对对称称的的有有界界闭闭区区域域中中关关于于为为若若,),(,3 zyxfxoyR.1面上方的部分面上方的部分在在为为其中其中xoy ;0d),(,),(Vzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当z 1d),(d),(,),( VzyxfVzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当z2高数第二学期期中考前辅导解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的

18、奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz高数第二学期期中考前辅导例5 设有一物体，占有空间 在点 处的密度为 ，求该物体的质量. 01,01,01xyz( , , )x y z( , , )x y zxyz()Mxyz dvxdvydvzdv1110003332xdxdydzxdxdydz, ,x y zxdvydvzdv三重积分的轮换对称性，当 对 可以轮换时，解高数第二学期期中考前辅导注注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选

19、择球面坐标系.)(222zyxf(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;)(22yxf高数第二学期期中考前辅导解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0d)(Vyzxy, 高数第二学期期中考前辅导同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0d Vxz由由对对称称性性知知 VyVxdd22, 则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx高数第二学期期中考前辅导在在柱柱面面坐坐标标下下：,20, 10,222z, 122 y

20、x投影区域投影区域 xyD：2222222010d)cos2(ddzz).89290(60注：注：.此题不宜采用球面坐标此题不宜采用球面坐标dxdydzzx)2(22.,sin,coszzyx高数第二学期期中考前辅导例例7 7.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证证明明 证证：方法一：方法一思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx0vutDvtDx

21、高数第二学期期中考前辅导例例7 7.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明证明方法二方法二.)()(2102 xdttftx udttfuF0)()(令令duuFdudttfvvu 000)()( vvduuFuuuF00)()( vduuufvvF0)()( vduuufvG0)()(令令 xvudvdudttf000)( xxdvvGdvvvF00)()( xxxxdvvGvvvGdvvFvvFv000202)()()(2)(2 xxdvvfvxxGdvvfvxFx02022)()()(2)(2高数第二学期期中考前辅导对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性

22、简化计算设L 关于 x 轴对称若 f( x ,y ) 关于 y 是奇函数，即),(),(yxfyxf则 Ldsyxf0),(若 f( x ,y ) 关于 y 是偶函数，即),(),(yxfyxf LLdsyxfdsyxf1),(2),(则其中L1 是位于对称轴一侧的部分高数第二学期期中考前辅导对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性简化计算设L 关于 y 轴对称若 f( x ,y ) 关于 x 是奇函数，即),(),(yxfyxf则 Ldsyxf0),(若 f( x ,y ) 关于 x 是偶函数，即),(),(yxfyxf LLdsyxfdsyxf1),(2),(则其中L1 是位于对称轴一侧

23、的部分高数第二学期期中考前辅导例例8 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa高数第二学期期中考前辅导LsyxxyayxL._d)432(， 则，其周 长其134为椭圆设2222Lsxyd122原式LLssxyd12d2asxyL12d2. 0d Lsxy由对称性知.12a故原式a1222143xy223412xy解解由 知例例9高数第二学期期中考前辅导zoyx1 例 10 计算其中由平面 y = z 截球面22yx

24、提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd)cos1 (cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z若顺时针方向又如何？高数第二学期期中考前辅导例11 (06,一,二)设在上半平面 D= 内,函数 具有连续偏导数,且对任意的t0都有 ,0 x yy ,f x y2( ,)( , )f tx tytf x y对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有证明: 2,0yf x y dxxf x y dy 2( ,)( , )f tx ty

25、tf x yt两边对 求导( ,)( ,)2 ( , )xyxf tx tyyftx tytf x y 得1t 令 ，得( , )( , )2 ( , )xyxfx yyfx yf x y 证明: 高数第二学期期中考前辅导再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为 令要求 成立,只要上式我们已经证明. 于是结论成立。( , )( , )xQf x yxfx yx ( , )( , )yPf x yyfx yyQPxy( , )( , )2 ( , )xyxfx yyfx yf x y QPxyQPxy( , ),( , )Pyf x yQxf x y 高数第二学期期中考前辅导例例12 计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz高数第二学期期中考前辅导例例13. 设S 是球面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz