多边形及内角和知识点汇总

1、知识要点梳理(定义：由三条或三条以上得线段首位顺次连接所组成得封闭图形叫做多边形。 凸多边形分类+匚 凹多边形4正多辺形：各边扌愕，各角也相等得多边形叫做正多边形。分閤2：多边形匚非正多边形：。1、n伞形得内角与等于卩80 (n2)。多边形得定*2、任意凸形多边形得外角与等于360。I3、n边形得对角线条数等于1/2 n(n3)只用一种正多边形：3、4、6/寸Y裏嵌。拼成3 60度得角II只用一种非正多边形(全等)：3、扌。知识点一：多边形及有关概念1. X边形得定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成得图形叫做多边形.4(1)多边形得一些要素：亠边：组成多边形得各条线段叫做多边形得边.顶点

2、：每相邻两条边得公共端点叫做多边形得顶点。内角：多边形相邻两边组成得角叫多边形得内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形得边与它得邻边得延长线组成得角叫做多边形得外角。(2) 在定狡中应注意。一些线段(多边形得边数就是大于等于3得正整数)； 首尾顺次相连，二者缺一不可； 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件，其目得就是为了排除几个点不共面得情况，即空间 多边形、2、多边形得分类津 (1)多边形可分为凸多边形与凹多边形，画出多边形得任何一条边所在得直线，如果整个 多边形都在这4条直线得同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形(见图1)。本幸所讲得多边形都就是指凸必多边形。A凸多边形凹多边

3、形必图1A (2)多边形通常还以边数命名，多边形有/7条边就叫做A7边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角A 形就是边数炭少得多边形,知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等得多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形.正五边形等。A A正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形必要点诠释：各角相等.各边也相等就是正多边形得必备条件，二者缺一不可、如四条边都相等得四边形不一定就是正方形， 四个角都相等得四边形也不一定就是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等得四边形才就是正方形必知识 点三：多边形得对角线多边形得对角线：连接多边形不相邻得两个顶点得线段，叫做多边形得对角线.如图2,BD为四

4、边形A BCD得一条 对角线。要点诠释:必 从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形.(2)n边形共有条对角线、证明：过一个顶点有n-3条对角线(n M3得正整数)，又，共有n个顶点，共有n(n3)条对角线，但过两个不相邻顶点得对角线重复了一次，.凸n边形，共有条对角线。亠知识点四：多边形得内角与公 式1o公式:边形得内角与为 2。公式得证明：证法仁在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接是来，共构成个三角形，这个三角形得内角与为，再减去一个周 角，即得到边形得内角与为、证法2:从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角与恰好

5、就是边形得内 角与，等于、证法3:在边形得一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角与等于这个三角形得内角与减去所取得一点处得一个平角得度数 即J要点诠释：（1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决得基础思想。亠 （2）内角与定理得应用： 已知多边形得边数，求其内角与； 已知多边形內角与，求其边数、知识点五：多边形得外角与公式仁公式：多边形得外角与等于360 o a 2多边形外角与公式得证明：多边形得每个内角与与它相邻得外角撷 就是邻补角，所以边形得内角与加外角与为，外角与等于、注意:n边形得外角与恒等于360，它与边数得多少无关。 要点诠释:a （1）外角与公式

6、得应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数。亠（2）多边形得边数与内角与、外角与得关系：n边形得内角与等于（n2） 180 （n3, n就是正整数），可见多边形内角与与边数n有关，每增加a1条边，内角与增加180、多边形得外角与等于360，与边数得多少无关。知识点六：镶嵌得概念与特征a 仁 定义：用一些不重叠摆放得多边形把平面得一部分完全覆盖，通常把这类问题 叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。这里得多边形可以形状相同，也可以形状不相同。上 2、实现镶嵌得条件： 拼接在同一点得各个角得与恰好等于360 ;相邻得多边形有公共边。3、常见得一些正多边形得镶嵌问题：用正多

7、边形实现镶嵌得条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形得内角之与为360 o a （2）只 用一种正多边形镶嵌地面a对于给定得某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题得关键在于正多边形得内角特点。当围绕一点拼在一是得几个正多边形得内角加在一起恰好组成一个周角360。 时，就能铺成一个平面图形。事实上，正n边形得每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360 =,由此导出 k二=2 + ,而k就是正整数，所以n只能取3,4,6。因而，用相同得正多边形地砖铺地面，只有正三角形.正方形、正六边 形得地砖可以用。亠 注意：任意四边形得

8、内角与都等于360 o所以用一批形状、大小完全相同但不规则得四边 形地砖也可以铺成无空隙得地板，用任意相同得三角形也可以铺满地面。a （3）用两种或两种以上得正多边形镶嵌 地面亠 用两种或两种以上边长相等得正多边形组合成平面图形，关键就是相关正多边形交接处各角之与能否拼成 一个周角”得问题.例如，用正三角形与正方形.正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边 形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一是恰好能够铺满地面，因为它们得交接处各角之与恰 好为一个周角360 4規律方法指导1亠。内角与与边数成正比:边数增加，内角与增加;边数减少，

9、内角与滅少、 每增加一条边，内角得与金就增加1 80 （反过来也成立），且多边形得内角与必须就是1 80得整数倍。心2、多边形外角与恒等于360，与边数得多少无关。3. 多边形最多有三个内角为锐角，置少没有锐角（如矩形）；多边形得外角中罠多有三个钝角，置少A没有钝4.在运用多边形得内角与公式与外角得性质求值时, 常与方程思想相结合，运用方程思想就是解决本节问题得常用方法， 5 在解决多边形得内角 与问题时，通常转化为与三角形相关得角来解决、三角 形就是一种基本图形，就是亠 研究复杂图形得基 础，同时注意转化思想在数学中得应用经典例题透 析类型一：多边形内角与及外角与定理应用1 一个多边形得内角

10、与等于它得外角与得5倍，它就是 几边形?A总结升华：本题就是多边形得内角与定理与外角与定理得综合运用、只要设出边数，根据条 件列出关于得方程，求出得值即可，这就是一种常用得 解题思路.举一反三n【変式1】若一个多边形得内角与与外角与得总度数为1800，求这个多边形得边数。3【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角与为2750，求这个多边形得内角与就是多少？必【答案】设这个多边形得边数为，这个内角为严、A A 【变式31个多边形得内角与与某一个外角得度数总与为1350 ,求这个多边形得边数、4类型二：多边形对角线公式得运用2a .某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班

11、都进行 一次比赛）。您能算出一共需要进行多少场比赛不？ 思路点拨：本题体现与体育学科得综合，解题方法参照多边形 对角线条数得求法，即多边形得对角线条数加上边数、如图：总结升华：对于其她学科问题要居于把它与数学知识联系在一超，便于解决.A举一反三：【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形得边数就是（亠 A、6B.7C.8 D、9【变式2】一个十二边形有几条对角线。a总结升华：对于一个n边形得对角线得条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应得n得值代入 即可求出对角线得条数，要记住这个公式只有在理解得基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角与问题3 如图，求ZA+ZB+

12、ZC + ZD+ZE + ZF+ZG得度数.亠上 思路点拨：设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角与公式求解.必总结升华：本题通过作辅助线，扌巴ZA与ZG得与转化为Z1与Z2得与，从而把问题变为求五边形得内角与运算, “转化思想”就是解决本题得关馋。丄4举一反三H【变式1如图所示，Z1 + Z2+Z3+Z4 + Z5+Z2心 【变式2】如图所示，求ZA+ZB+ZC+ZD + ZE + ZF得度数。亠a类型四：实际应用题a4。如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，灵后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨:根据多边形得外角与定理解决、亠 解析:如图，总结升

13、华：旋转得角度就是指原来前进得方向与转弯后得方向得夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处， 转过得角皮都就是360举一反三：【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m,向右转15，再前进1 Om,又向右转15，这样一直走下去， 当她第一次回到出发点时，一共走了m、【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36，然后继续向前走1 0米，再向右转36，她以同样得方法 继续走下去，她能回到点A不？若能，当她走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由、a【变式3】如图所示就是某厂生产得一块模板，已知该模板得边ABCF,CDAE、 按规定AB、CD得延长线相交成80角，因交点不在模 板上，不便测董、

14、这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD得延长线得夹角就是否合乎规定，您知道需测哪一 个角不？说明理由、思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角与为540 ,又由ABCF,CDAE,可知ZBAE+ZAEF+ZEFC二360，从540中减去80再减去360，剩下ZC得度数为1 00，所以只需测ZC得度数 即可，同理还可直接测ZA得度数。总结升华：本题实际上就是多边形内角与得逆运算，关键在于正确添加辅助线.必 吳型五:镶嵌问题A5、分别画出用相同边长得下列正多边形纽合铺满地面得设计图。（1）正方形与正八边形;A （2）正三角形与正十二边形;必（3）正三角形、正方形与

15、正六边形、A 思路点拨:只要在拼接处冬多边形得内角得与能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌“解析:正三角形、正方形、（丨） 135、 150 o（1）因为 90+2 X1 35 = 360,所以一个 顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图（1） 所示、亠 （2）因为6O+2X 150=3 60,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图（2）所示。亠 （3）因为60+2X90+ 1 2 0=360,所以一个顶点 处有1个正三角形、1个正六边形与2个正方形，如图（3）爻所示。亠 总结升华：用两种以上边长相等得正多边形组合成平面图形，实质上就是相关正多边形“交接处各角之与能 否拼成

16、一个周角”得问題。举一反三M【变式1）分别用形状、大小完全相同得三角形木板;四边形木板;正五边形木板;正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板得就是（）A、B、 C、 D.解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形得木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2用三块正多边形得木板铺地，拼在一起并相交于一点得各边完全吻合，其中两块木板得边数祁就是&则 第三块木板得边数应就是（比 A、4B、5C、6D.弘【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角得度数，再乘以2,然后用360 减去刚才得到得积,便得到第三块木板一个内角得度数，进而得到第三块 木板得边数）1. 多边形得每个外角与它

17、相邻内角得关系就是（）A、互为余角 Bo互为邻补角C.两个角相等 D.外角大于内角2。若n边形每个内角都等于1 50，那么这个n边形就是（）A.九边形 Bo十边形 Co十一边形 Do十二边形3、一个多边形得内角与为720，那么这个多边形得对角线条数为（）A.6条 Bo 7条 Co 8条 D. 9条4. 随着多边形得边数n得增加，它得外角与（）A.增加 B.减小C.不变 D.不定5。若多边形得外角与等于内角与得与，它得边数就是（）A. 3B.4Co 5Do 76o 一个多边形得内角与就是1800，那么这个多边形就是（）Ao五边形 B.八边形 Co十边形 D、十二边形7. 一个多边形每个内角为1

18、08 ,则这个多边形（）A、四边形 B,五边形 C.六边形 Do七边形& 一个多边形每个外角都就是60，这个多边形得外角与为（）A. 180B36O C、720 D. 10809、n边形得n个内角中锐角最多有（）个。A.1个 B。2个C.3个 Do 4个10. 多边形得内角与为它得外角与得4倍，这个多边形就是（）A.八边形 B.九边形 C.十边形 D,十一边形5.多边形得一个内角得外角与其余內角得与为600，求这个多边形得边数、6n边形得内角与与外角与互比为13: 2,求n。7. 五边形ABCDE得各内角都相等，且AE二DE, AD/7CB不？8. 将五边形砍去一个角，得到得就是怎样得图形？9

19、。四边形 ABCD 中，ZA + ZB = 210 , ZC=4ZDO 求：ZC 或 ZD 得度数。10、在四边形 ABCD 中，AB=AC=AD, ZDAC=2ZBAC 求证：ZDBC=2ZBDCo命题、定理、证明一、本节学习指导这一节重在理解命题得概念，命题就是能判斷一件事情得正确与错误得句子，不能就是问句，也不能 就是省略句，这个句子必须就是完整得，并且能判断正确与否才叫做命题。2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设就是已知事项，结论就是由已知事项推出得事项。因 此命题可以写成“如果，那么”得形式。3、人们从长期实践中总结出来得真命题叫做公理，它们可以作为判断其她命题真假得原始数据

20、。4. 有些命题就是从公理或其她真命题出发，用推理得方法证明为正确得，并进一步作为判斷其她命题真例：下列不就是命题得就是：（） .2008年奥运会得举办城就是北京； 如果一个三角形三边a,be满足a2=b2+c2,则这个三角 形就是直角三角形； 同角得补角相等； 过点P作直线I得垂线 硬了解一批新型导弹得性能,采用抽样调査得方式 明天可能会下雪,不就是，可能代表不确定性，所以不能判断真假；假得依据，这样得真命题叫做定理。二、知识要点1、命题、定理、证明（1）命题得概念:判断一件事情得语句，叫做命题。理解:命题得定狡包括两层含5C :（1）命题必须就是个完整得句子；（2）这个句子必须对某件事情做

21、出判断。 命题得分类（按正确、错误与否分）r真命题（正确得命题） 命题假命题（错误得命题）所谓正确得命题就就是：如果题设成立，那么结论一定成立得命题。所谓错误得命题就就是：如果题设成立，不能证明结论总就是成立得命题。（3）公理：有些命题得正确性就是人们在长期实践过程中总结出来得，并把她作为判断其她命题真假得原始依据，这样 得真命題叫公理。（4）定理：从公理或其她真命题出发，用逻辑推理得方法证明它们就是正确得，并可以作为判断命题其她真假得依据,这样得命题叫定理。（5）证明：判斷一个命题得正确性得推理过程叫做证明。证明得一般步骤 根据题意，画出图形。 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 经

22、过分析，找出由已知推出求证得途径，写出证明过2、常用数学口诀。平方差公式：口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆、 完全平方差公式：完全平方与公式：口诀：完全平方有三项，首尾符号就是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央； 首土尾括号带平方，尾项符号随中央。证明知识点一证明得含义从一个命题得条件出发，通过讲道理（推理），得出它得结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件与结论，其次要从已知条件出发，运用定艾、公理、定理进行推理，得出 结论。（2）证明得过程必须做到步步有ao知识点二命题得证明证明几何命題得表述

23、格式：（1）按題意画出图形；（2）分清命题得条件与结论，结合图形，在“已知“中写条件，在 “求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。知识点三折叠问题1、同旁，与其电叠或不重叠；显然折”就是过程叠”就是结果。折叠，就就是将图形得一部分沿着一条直 线翻折1 80，使它与另一部分在这条直线2、折叠得性质：折叠不改变图形得大小与形状，即折叠部分在折叠前后就是全等得图形，满足公理“轴反射” 知识点四 反证法从命题结论得反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样得证明方法叫做反证法。反证法得关键在于反设所证命题得结论、适用范国：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则 比较简单。

24、反证法证题步骤：假设命题得结论不成立，即假设命题结论得反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛 盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题得结论成立。例 在ZiABC中，ZA、ZB、ZC就是它得三个内角。求证:在ZA 、ZB、 ZC中不可能有两个直角、逆命题与逆定理仁 在两个命题中，如果第一个命题得题设就是第二个命题得结论，而第一个命题得结论又就是第二个命 题得题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它得 逆命题。2、如果一个定理得逆命题经过证明也就是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个得 逆定理。3、每个命题都有逆命题，但每个定

25、理不一定都有逆定理。线段得垂直平分线1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点得距离相等。2、逆定理：与一条线段两个端点距离相等得点，在这条线段得垂直平分线上。3、线段垂直平分线可以瞧作与一条线段两个端点距离相等得点得集合。角得平分线1、角得平分线得概念:从角得顶点出发，等分这个角得射线，叫做这个角得平分线。2、角就是轴对称图形，它得对称轴就是这个角得平分线所在得直线。3、角得平分线性质：在角得平分线上得点到这个角得两边得距离相等。4、角得平分线性质得逆定理：在一个角得内部（包括顶点）且到角得两边距离相等得点在这个角得平分 线上。5、角得平分线可以瞧作这个角得内部（包括顶点）到角得两

26、边距离相等得点得集合。直角三角形全等得判定1、直角三角形就是特殊得三角形，对于一般三角形全等得判定方法，直角三角形都适用。2、直角三角形全等得判定定理定理:如呆两个直角三角形得斜边与一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.Lo ）o直角三角形得性质直角三角形得性质，可以从它得角、边以及特殊线段之间构成得各种关系得特征去理解。1定理1:直角三角形得两个锐角互余。2、定理2:在直角三角形中，斜边上得中线等于斜边得一半、推论1:在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对得直角边等于斜边得一半。推论2:在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对得角等于。勾股定理

27、1、在直角三角形中，斜边大于直角边。2、勾股定理：直角三角形两条直角边得平方与，等于斜边得平方。3、勾股定理得逆定理:如果三角形得一条边得平方等于其她两条边得平方与，那么这个三角形就是直角三角形、4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛得应用。两点得距离公式在直角坐标平面内：门、轴或平行于轴得直线上得两点，间得距离。2、轴或平行于轴得直线上得两点，间得距离。3、在轴上一点与在轴上一点之间得距离4、任意两点，之间得距离公式就是练习1o命题“矩形得对角线相等”得逆命题就是.2、命题“如果ZA=6 5 , ZB=25，那么Z A与Z B互余”得逆命题就是，它得逆命题就是(填“真或“假”)命题、3o

28、命题全等三角形得面积相等得逆命题得条件就是，结论就是。写出下列命题得逆命题，并判断原命题、逆命题得真假。1、全等三角形得对应角相等；2、自然数必为有理数；3、若丨 a I = | b |,则 a = b;4、若 a二b,则；5、若 x=a,则；解：1、逆命题为：对应角相等得三角形就是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；3、逆命题为：若a= b，则丨a|=丨b丨、原命题为假命题，逆命题为真命题；4、逆命题为：若，则a=b o原命题为为真命题，逆命题为真命题；5、逆命题为：若，则x = a、原命题为真命题，逆命题为假命题。练习、写出下列命题得逆命题。如果a+b0,那么a0,b0.(2)如果a0,那么a20. (3)等角得补角相等、对顶角相等例：“两鞍平碉M痔”得幽域是_一 结锂、练习1.命题“平行四边形得对角线互相平分”得条件就是，结论就是 二1.槪念:互逆定理：如果一个定理得逆命题也就是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理 得逆定理。2说