储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型

1、储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型摘要：本文研究储油罐的变位对罐容表的影响问题，利用微积分理论知识，采用截面面积积分求体积的方法，建立储油罐油量与油位高度之间的关系模型，运用matlab编程求解，从而分析、讨论储油罐变位前、后对罐容表的影响。首先研究问题中两端平头的小椭圆形储油罐，讨论其变位前、后对罐容表的影响。在变位前对储油罐沿着油面水平截面得到矩形，对矩形积分建立储油量与油位高度之间的关系模型I，即 ,代入几何参数，给出了正常的罐容表对应值，再将附件1所给的油位高度代入模型中，得到相应的储油量，并与实际的储油量相比，误差在0.35之内，从而检验模型的正确性；变为后，建立积分模型II，得

2、到纵向倾斜（）时的罐容表的修定值，与正常情况下的罐容表标定值相比较，分析变位对罐容表的影响，随着油位示数的增大，对体积的影响先增后减。然后研究问题中两端为球冠体的储油罐变为后对罐容表的影响。在储油罐无变位时，将储油罐分为两部分，中间的柱体部分在模型I的基础上求解，两端的球罐体沿水平方向积分求解，将各部分结果求和，得到无变位时储油量与油位高度的关系模型III；在发生变位（纵向倾斜 a和横向倾斜 b）后，考虑到，储油罐可能出现一端有油和两端有油的情况，我们将储油罐分为三部分，找到两种情况下油位示数的临界值，先考虑纵向变位，得到储油量与油位高度、变位参数 的关系，然后将油位示数与b 的关系代入其中，

3、得到模型IV，即 ，利用附件2中的数据确定变位参数得到,从而建立了变位后罐容表的修定值，由模型III得到罐容表正常情况下的标定值，与其进行比较。并且利用附件2中的数据对模型进行了检验，验证了模型的可行性。文中模型采用截面面积积分的方法具有一定的理论基础，而且针对不同的情况，采取不同的截法，方法简单、可行，可以应用于实际生活当中。最后文中提出了模型的改进方向，在实际生活中，可以考虑储油罐厚度对模型的影响，提高模型的准确性。关键词： 微积分模型 matlab 截面 变位1.问题重述1.1问题的实际意义通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和

4、油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。1.2要解决的问题用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小

5、椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2.问题分析

6、本题要研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。依据题意，考虑到无论是储油罐的变位识别还是罐容表的标定，都得从罐内储油量与油位高度的变化情况出发，也就是要建立两者之间的数学关系，并且分为变位前、后两种情况。由题中所给的示意图，并联系实际生活，我们采用截面面积积分法求油品体积。2.1关于问题（1）的分析首先，在无变位时，沿水平方向截油罐，运用微积分知识，建立模型。在变位（即纵向倾斜）时，沿垂直油罐的方法截油罐，建立微积分模型。然后，使用matlab软件积分求解，得到有无变位时油量与油位高度的表达式，结合附件1所给的数据，对模型进行检验。其次，将不同的代入模型、中，计算得到正常的罐容表对应值和变

7、位后罐容表的修正值。最后，根据罐容表正常的对应值和变位后的修正值，在matlab中建立直角坐标系，绘制储油量与油位高的关系曲线图，分析比较在纵向倾斜a时，对罐容表的影响。2.2关于问题（2）的分析题中要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型,寻找罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系。在问题的基础上，我们仍然建立微积分模型，采用截面面积积分法解决。第一步:考虑罐体无变位的情况，将罐体分为两部分，一部分为柱体，根据模型可以求解；另一部分是两端的冠球体，沿水平方向截取，将面积进行积分计算体积，再将两部分体积求和。第二步：考虑罐体纵向偏转a角度的情况，由于油罐可能出现两端有油和一端有油的情况，所以我

8、们将油罐分为三部分，左、右端的球冠体和中间的柱体，寻找各部分油位示数之间的关系，便可不必考虑上述问题。对于左、右两端都沿水平方向截取，分别对截面面积进行积分求得体积。中间柱体部分的油量与油位高度的关系可代入模型求得。同样将三部分体积求和，得到罐内实际储油量与纵向变位参数a和油位高度的关系模型III。第三步：考虑罐体同时纵向倾斜a角度和横向偏转b角度的情况，建立显示油高和b的关系式，将此关系式代入第二步最终结果，得到模型IV，即罐内实际储油量与纵向变位参数a、横向变位b和油位高度的关系。最后将附件2中的实际检测数据、代入模型IV中的结果，确定变位参数a、b的值，建立罐容表的标定值，再用模型，得到

9、的无变化情况下罐容表的标定值，进行分析比较，并利用附件2的实际检测数据，分析检验模型的正确性与方法的可靠性。3.符号说明符 号涵 义小椭圆油罐截面的长半轴小椭圆油罐截面的短半轴储油罐的长度罐内油品液面高度罐内油品体积罐内油品截面面积变位后油品截面高度圆柱体底面半径球体半径球冠体中圆柱的长度 4.模型假设 储油罐罐体变位仅由地基变形引起，不考虑罐体自身变形等因素； 同一储油罐在罐体变位前、后罐内油品的体积不变； 油品和油罐的体积不受压强、温度等多方面的影响； 液体的流速对液体体积的干扰很小，对数据的检测误差不大。5.模型建立与求解5.1储油罐油位高度与罐容表标定模型（第一问）1.储油罐罐体无变位

10、时的油位高度与罐容表标定模型I如图(1)所示，沿水平方向截油罐,截面如图为矩形xL 图 (1) 图 而椭圆柱底面示意图如图所示：图 则椭圆方程为：，解得：。设是截面矩形的面积，则对截面面积关于积分， 可得出油罐内油的体积， 即求解积分，从而得到油量与油位高度的表达式 给式代入不同的油位高度H,计算得到正常的罐容表对应值,如下表:正常情况下罐容表对应值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.015.294750.411240.5470.812951.8250.0214.938110.421282.0320.822992.5390.0327.373590.431323.7

11、450.833032.9660.0434.3580.441365.6730.843073.0910.0558.598260.451407.8020.853112.8990.0676.83110.461450.1190.863152.3740.0796.567580.471492.610.873191.4990.08117.67570.481535.2630.883230.2580.09140.0480.491578.0640.893268.6340.1163.5940.516210.93306.6080.11188.20.511664.060.913344.1620.12213.90850.5

12、21707.2290.923381.2780.13240.550.531750.4970.933417.9350.14268.10780.541793.850.943454.1140.15296.53390.551837.2750.953489.7930.16325.78440.561880.7620.963524.9490.17355.81920.571924.2970.973559.5610.18386.60110.581967.8690.983593.6030.19418.09570.592011.4650.993627.050.2450.27060.62055.07313659.875

13、0.21483.09590.612098.6811.013692.050.22516.54290.622142.2771.023723.5450.23550.58490.632185.8481.033754.3260.24585.19630.642229.3841.043784.3610.25620.3530.652272.871.053813.6120.26656.03170.662316.2961.063842.0380.27692.21040.672359.6491.073869.5960.28728.86790.682402.9161.083896.2370.29765.98360.6

14、92446.0861.093921.9090.3803.5380.72489.1451.13946.5520.31841.51210.712532.0821.113970.0980.32879.88760.722574.8831.123992.470.33918.64660.732617.5351.134013.5780.34957.77190.742660.0271.144033.3150.35997.24670.752702.3431.154051.5470.361037.0550.762744.4731.164068.1090.371077.180.772786.4011.174082.

15、7720.381117.6070.782828.1141.184095.2080.391158.320.792869.5981.194104.8510.41199.3050.82910.841.24110.1462.储油罐罐体变位（即纵向倾角为a）时的油位高度与罐容表标定模型II油罐纵向变位后如图所示： 图 图 沿垂直于油罐的方向截油罐，截得的截面如图所示，图中椭圆方程为，解得：。设为截面油的高度,为探针处截面油的高度(即显示油高)，则 ，将代入上式得: 设截面面积为，积分得出：，对截面面积关于积分，可得出油的体积，即 对上式两边积分得：将式代入上式中得： 给式代入不同的显示油高，计算得到纵向

16、变位后的罐容表对应值，如下表：纵向变位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.013.50.411004.950.812703.550.026.30.423468.290.822745.490.03100.431084.530.832787.220.0414.80.441124.790.842828.740.0520.70.451165.340.852870.020.0627.90.461206.160.862911.060.0736.30.471247.230.872951.830.0846.10.481288.560.882992.330.0957

17、.40.491330.110.893032.530.170.10.51371.880.93072.430.1184.40.511413.850.9131120.12100.30.521456.020.923151.230.13117.70.531498.350.933190.110.14136.90.541540.850.943228.610.15157.80.551583.50.953266.720.16180.30.561626.280.963304.420.172040.571669.190.973341.690.18228.90.581712.210.983378.510.19254.

18、90.591755.320.993414.860.2281.90.61798.5213450.720.21309.80.611841.81.013486.060.22338.50.621885.131.023520.870.23368.10.631928.511.033555.110.24398.50.641971.931.043588.770.25429.70.652015.371.053621.810.26461.50.662058.821.063654.20.274940.672102.281.073685.910.28527.10.682145.711.083716.920.29560

19、.90.692189.131.093747.170.3595.20.72232.51.13776.640.31630.10.712275.821.113805.270.32665.60.722319.081.123833.010.33701.50.732362.271.133859.820.347380.742405.371.143885.620.35774.90.752448.371.153910.330.36812.20.762491.261.163933.860.378500.772534.021.173956.060.38888.20.782576.641.183976.660.399

20、26.70.792619.121.193995.540.4965.70.82661.421.24012.745.2储油罐罐体变位后油位高度与罐容表标定模型（第二问）第一步：无变位时罐容表内的油的体积与显示油高之间的关系模型III 我们将罐体分为两部分，一部分为柱体，一部分为油罐两端的冠球体。设两端冠球体内的油量为，柱体内油量为,则储油罐内油量。1 先求因为无变位时两端冠球体的油量相等，所以我们只需计算一端的油量，则。（这里我们只计算右端冠球体如图所示），沿水平方向截球冠体，截面如图所示： 图 图 设探针显示高度为（即无变位时的油面高度），圆柱底面半径为，球冠体的半径为,截面所在圆的半径为，由图

21、可知 ， ，根据题意，如图可得出。将球体补全如图： 图 图 可得 （为冠球体的半径）截面面积 则2.求由于模型一是求无变位时椭圆柱内的油量与的关系，而现在要求圆柱体内油量与的关系，所以我们可以利用模型一得出：圆柱的截面面积 则 给式代入不同的显示油高，计算得到无变位时球冠体的罐容表对应值如下表：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1578.41.122852.60.21658.81.2258190.33127.61.328803.30.44911.71.431779.80.56961.81.534722.90.69237.61.637607.40.711703.71.740408.40

22、.814327.81.843100.90.917079.71.945660.2119930.5248061.5第二步：纵向变位后罐容表内的油的体积与显示油高之间的关系模型IV将罐体分为左端球冠体、右端球冠体与柱体三部分，设它们中的油量分别为、，则储油罐内油量1.求：左端球冠体如图所示： 设球冠内油高为，探针显示高度为，柱体底面半径为，则 沿水平方向截得截面如图所示（截面圆半径为）：则 ，截面面积 则将式代入上式中得：2.求：与左端球冠体方法相同，设球冠内油高为，探针显示高度为，截面圆半径为，则截面面积 将代入上式中得：3.求：由于模型二是求纵向变位后椭圆柱内油量与的关系，而现在要求圆柱内油量与

23、的关系，所以利用模型二得出： （是截面油的高度）截面面积 则，即纵向变位后油量与之间的关系如下：第三步：横向变位后, 与显示油高之间的关系设为显示高度，为实际高度，为圆柱底面半径 图 图当时，由图知：，当时，由图知: ，则可得出横向偏转后与之间的关系为：由第二、三步的结果得出显示高度与纵向偏转、横向偏转之间的关系模型：因为横向偏转不影响实际的油位高度，但是显示油高会变化，可以将横向偏转中的实际油高代入纵向偏转中，最后得出罐内油的体积与显示高度、之间的关系。（关系式见附录）将附件二中的数据代入上述关系式中可得出，。变位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1320.71.

24、119382.30.21031.31.221991.60.32216.31.324629.40.43737.51.427277.10.55511.51.529916.10.67490.61.632528.50.796391.735096.50.811927.11.837602.30.9143291.940028.4116821.3242357.26.模型结果分析与模型实验6.1利用附件1实际检测数据来分析实验模型I、II先计算出实际结果与模型结果的差值，再用差值与实际值的比分析误差，通过 MATLAB编程得到无变位时实际油量与计算油量的误差表，如下：油位高度/mm实际油量/L计算油量/L误差值

25、油位高度/mm实际油量/L计算油量/L误差值159.02312322.880.034872665.6722622340.90.034881176.14362374.630.03489677.6323122392.70.034905192.59412426.360.034854678.542315.832396.60.034877208.5462478.130.034913690.532365.832448.40.034901223.93512529.850.034863690.822367.062449.60.03487238.97562581.610.034893702.852417.062

26、501.40.034894253.66612633.350.034886714.912467.062553.10.034876268.04662685.080.034864727.032517.062604.90.034898282.16712736.850.034902739.192567.062656.60.03488296.03762788.580.034882751.422617.062708.30.034864309.69812840.330.034889763.72666.9827600.034878323.15862892.060.034872764.162668.832761.

27、90.034873336.44912943.80.034868776.532718.832813.70.034894349.57962995.540.034865788.992768.832865.40.034878362.5610121047.30.034881801.542818.832917.20.034897375.4210621099.10.034934814.192868.832968.90.034882388.1611121150.80.034892826.952918.833020.70.034901400.7911621202.60.03494839.832968.83307

28、2.40.034886413.3212121254.30.034901852.843018.833124.10.034871425.76126213060.0348658663068.833175.90.03489438.1213121357.80.034909879.323118.833227.60.034875450.413621409.50.034875892.823168.833279.40.034893462.6214121461.20.034844892.843168.913279.50.034898474.78146215130.034884906.533218.913331.2

29、0.034884486.8915121564.70.034854920.453268.913382.90.034871498.9515621616.50.034891934.613318.913434.70.034888510.9716121668.20.034864949.053368.913486.40.034875522.95166217200.034898963.83418.913538.20.034891534.917121771.70.034871978.913468.913589.90.034878546.8217621823.50.034904994.433518.913641.70.034894558.7218121875.20.0348791010.433568.913693.40.034882570.61186219270.0349091026.993618.913745.10.03487582.4819121978.70.0348851044.253668.913796.90.034885594.3519622030.40.0348621062.373718.91384