2021年高中数学必修第一册４2.1《指数函数的概念》导学案（含答案）

1、 第四章 指数函数与对数函数 4. 2.1 指数函数的概念1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点)2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?提示规定a大于0且不等于1的理由：(1)如果a0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义(2)如果a0且a1.（一）、提出问题对于幂 ax(a0 ，我们已经把指数 x的范围拓展

2、到了实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法下面继续研究其他类型的基本初等函数（二）、探索新知问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票下表给出了，两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出，两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图问题当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减

3、（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1思考辨析(1)yx2是指数函数()(2)函数y2x不是指数函数()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方()（三）典例解析例1已知指数函数设f(x)ax(a0, 且a1),且f(3)=求f(0)，f(1)，f(-3)的值；跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f32=39，则f(2)_. 规律方法1在指数函

4、数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2求指数函数的解析式常用待定系数法例（1）在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间，两地旅游收入变化情况1下列函数一定是指数函数的是()Ay2x1Byx3Cy32x Dy3x2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）3已知函数f(x)(2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_4若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)_. 1、指数函数概念函数y = ax(a0，且a 1

5、)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .参考答案：二、学习过程（一）问题探究问题1：观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为万次）；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=3092781.11，2003年游客人次2002年游客人次=3443091.112

6、015年游客人次2014年游客人次=124411181.11做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量结果表明， 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-10.11，是一个常数像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，地景区的游客人次近似于指数增长显然，从年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：年后，游客人次是年的1.111倍；年后，游客人次是年的1.112倍；年后，游客人次是年的1.113倍；x年后，游客人次是年的1.11x倍如果设经过x年后的游客人次为年的y倍，那么y 1.11x （x，） 这是一

7、个函数，其中指数x是自变量 问题2： 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳含量为（1-p)1；死亡2年后，生物体内碳含量为（1-p)2 ；死亡3年后，生物体内碳含量为（1-p)3 ；死亡5730年后，生物体内碳含量为（1-p)5730 根据已知条件， （1-p)573012,从而1-p=(12)15730,所以p=1-(12)15730设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳含量为y，那么y=（1-p)x ，即y=(12)15730)x, （x，） 这也是一个函数，指数x是自变量死亡生物体内碳含量每年都以1-(12)157

8、30减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和(12)15730，那么函数y 1.11x 和y=(12)15730)x可以表示为y=ax的形式，（二）探究新知思考辨析答案(1)(2)(3)（三）典例解析例1.分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)ax的解析式即先求出a的值；解：因为 f(x)ax ,且 f(3)=,则a3 = ，解得 a=13 , 于是f(x)x3，所以f(0)=0=1，f(1)=13=3，f(-3)=1=1跟踪训练1 解析：设f(x)ax(a0且a1)，由f

9、得a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.例2.解：（）设经过x年，游客给，两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）1150（10x+600），g（x）10002781.11x利用计算工具可得，当x=0时，f（）g（）412000当x10.22时，f（10.22）g（10.22）结合图可知：当x10.22时，f（x）g（x），当x10.22时，f（x）g（x）当x14时，f（14）g（14）347303这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然f（x）g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）g（x），这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，f（x）g（x），游客给地带来的收入超过了地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，地的收