(完整版)半环上的具有区间值的直接模糊h-理想_毕业设计40设计41.doc

1、本科生毕业论文（设计）半环上的区间值直觉模糊h-理想院 系：数学学院专业：数学与应用数学2012年 6月2012 Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateInterval Valued Intuitionistic Fuzzy h-ideals of HemiringsDepartment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2008Student s Name: Shen TieTutor: Huan

2、g Xiaokun （lecturer ）June， 2012毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅

3、学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容保密的论文（设计）在解密后适用本规定作者签名：日期：指导教师签名：日期：沈铁 毕业论文（设计）答辩委员会( 答辩小组 ) 成员名单姓名职称单位备注李绍林副教授红河学院数学学院组长黄晓昆讲师红河学院数学学院组员何应辉讲师红河学院数学学院组员刘伟讲师红河学院数学学院组员摘要本文考虑区间值直觉模糊集理论与半环结构相结合的问题. 首先在半环上给出了具有区间边界值的区间值直觉模糊左（右、双）理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想的定义，并对它们的若干性质进行了研究 . 其次，通过对两个区间值直觉模糊集之间的普通包含关系进行了推广， 定义了一种更为

4、一般的关系 （），并通过此关系对半环上具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想进行了刻画. 本文所获得的有关结论在一定程度上完善和丰富了半环的不确定性理论体系.关键词：半环；区间值直觉模糊集；区间边界值；h-理想ABSTRACTIn this paper, the connection between an interval valued intuitionistic fuzzy sets and a hemiring is considered. The notion of an interval valued intuitionistic fuzzy left (resp. ri

5、ght, bi-) ideals and the notion of an interval valued intuitionistic fuzzy left (resp. right, bi-) h-ideals with interval valued thresholds of a hemiring are introduced and some related properties of them are investigated. Finally, as an important generalization of the relation between two interval

6、valued intuitionistic fuzzy sets, a new ordering relation between two interval valued intuitionistics fuzzy sets areintroduced. Using this relation, some equivalent theorems of interval valued intuitionistic fuzzy h-ideals with interval valued thresholds of a hemiring are obtained. Above work improv

7、ed the uncertainties of the theory of hemirings.Keywords： Hemirings; Interval valued intuitionistic fuzzy sets; Interval valued thres- holds; h-ideals目录第一章引言1第二章预备知识32.1 区间值直觉模糊集32.2 半环及其 h-理想4第三章半环上的区间值直觉模糊集的运算6第四章 半环上的区间值直觉模糊h-理想 .12第五章小结18参考文献19致谢21第一章引言半环的理论作为普通环的推广而被提出，目前已经应用到很多领域，比如说应用数学、信息科学等

8、诸多领域1, 2. 众所周知，理想在半环的结构理论中占有重要的地位，然而半环的理想与普通环的理想之间存在着较大的差异性，因而其应用也受到了一定的限制. 为解决这一问题， Henriksen在半环上定义了一种较为严格的理想k- 理想 3, 随后 Lizula 又给出了比 k-理想更为严格的 h-理想 4. 1965 年，美国计算机科学家 Zadeh 首先提出了模糊集的概念 5，Rosenfeld将模糊集理论与代数群相结合，给出了模糊子群的定义， 开创了一个新的数学分支模糊代数 6. 此后，很多学者在代数结构的模糊化方面做了大量的研究工作， 获得了大量有意义的成果，其中就包括了很多对于模糊半环的研

9、究. 1994 年，Dutta 介绍并研究了半环的模糊素理想 7，接着 Ghosh 又对半环的模糊 k-理想进行了研究， Jin 和 Zhan 则对半环的模糊 h-理想进行了深入的讨论 8, 9. 此外该领域的研究工作同样出现在其他的文献中 10-12.模糊集理论已被实践证明在刻画事物的模糊性方面有着不可替代的作用，它在诸多应用科学和理论科学中都取得了巨大地成功. 然而随着研究工作的不断深入，模糊集已经不能满足许多实际问题的需要. 由于客观事物的复杂性和不确定性，直觉模糊性事物中的隶属度和非隶属度有时很难用精确的实数值表示，而用区间数表示是比较合适的，为此，区间直觉模糊集早在 1975 年就被

10、人们作为模糊集的推广而引入13, 14. 从那时起，区间值模糊集被广泛的应用于数学、信息科学、医学、环境等诸多领域. 1989年，为了给出一种能够更为有效地处理直觉模糊性 ( Vagueness)事物的理论工具， Atanassov和 Gargov15又对直觉模糊集进行了推广，提出了区间值直觉模糊集的概念，并且定义了区间值直觉模糊集的一些基本运算法则及运算性质 .本文在此基础上，将区间值直觉模糊集应用到半环理论中，给出了半环上的具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想和直觉模糊双理想的定义，继而给出了具有区间边界值的区间值直觉模糊h-理想和区间值直觉模糊 h-双理想的定义，并对它们的相关性质进行了

11、讨论，重点介绍了具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想的若干等价定理 .本文共分为五个部分，第一部分为引言，主要介绍一些与本文有关的背景知识和研究现状；第二部分为预备知识，重点回顾一些在本节的讨论中将要使用的一些基本概念和性质；第三、第四部分为本文的核心部分，此两部分首先介绍了半环上的区间值直觉模糊集的运算，并对它的一些运算性质进行了讨论，其次介绍了半环上的区间值直觉模糊左理想与双理想，给出了它们的一些等价关系， 进而给出了半环上的区间值直觉模糊 h-左理想与区间值直觉模糊 h- 双理想的定义并讨论了它们的一些性质和等价关系 . 第五部分为小结，对本

12、文的工作进行了总结和反思，并对后继研究工作进行了展望 .第二章预备知识2.1 区间值直觉模糊集本文用表示单位闭区间，即.定义 2.1 16 令 I a a , a | aa , a ,aI，则将中的元素称为上的区间数 .对，规定，则显然有 .假设，是两个区间数，规定它们的运算及关系如下：(1)；(2)；(3)且；(4)且；(5)且；(6)；(7).定义 2.2 17 对于区间数，我们规定：(1)r maxai , bimax ai , bi ,max ai , bi ；(2)r minai , bimin ai ,bi ,min ai , bi ；(3)，.定义 2.3 16 设是一个经典集合

13、，映射称为上的一个区间值模糊集.定义 2.4 15 设是一个非空集合，则称Ax,A ( x), A ( x) | xX为区间值直觉模糊集，其中，且满足条件0A ( x)A ( x)1, xX在本文中，我们用符号表示上的所有区间值直觉模糊集全体构成的族 .定义 2.5 15 设 A1x,A ( x), A (x) | xX与11为两个区间值直觉模糊集，我们定义：(1)A1A2A1 ( x)A2(2) A1A2x, r minA1(3)A1A2x, r maxA1( x),A1( x)A2 ( x) ；( x),A( x), r maxA( x),A212(x),A( x), r minA( x)

14、,A212( x)| xX ；( x)| xX .将定义 2.5 的(2), (3)进行直接推广，可以得到如下的定义：设，则(1)Atx,tTAt(x),tTAttT(2)Atx,tTAt(x),tTAttT( x),TA( x),tTAttt( x),TA( x),tTAttt(x)| xX；(x)| xX.2.2 半环及其 h-理想定义 2.6 18 非空集和两个分别称为加法和乘法的二运算构成的代数系统称为一个半环，如果它满足：(1)和都是半群，且是交换半群；(2)和满足左右分配律，即， , ，, ；(3)有一个零元，对任意的均满足,.例 2.1设，规定它的加法和乘法的运算“”和“”如下：

15、容易验证，与代数运算和构成一个半环.定义 2.7 18 半环的子集称为的一个左（右）理想，如果. 半环的子集称为的一个双理想，如果. 半环的一个左理想称为一个 h-左理想，如果它满足：a,b A, x, z S, x a z b z x A.例 2.2考虑例 2.1 中的半环，则集合与集合分别是半环的h-理想与 h-双理想 .容易看出，半环的h-左理想和 h-右理想都是半环的h-双理想 .第三章半环上的区间值直觉模糊集的运算在下文中，为了简单起见，我们用符号表示一个区间值直觉模糊集，此外若无特别说明，总表示一个给定的半环.定义 3.1设, ,规定与的 h-积如下：，(i) 当可以表示为时，(A

16、hBAhB)( x)r supr minA (a1),A (a2 ),B (b1),B (b2 )xa1 b1 z a2b2z)( x)xr infr maxA (a1 ),A (a2 ),B (b1),B (b2 )a1 b1 z a2b2z(ii) 当不能表示为时，.性质 3.1设，则 A h BCA h BA h C .定义 3.2设，规定上的序关系如下：A(, )BxS, r maxB (x),r min A ( x),且r minB (x),r maxA ( x),.其中，11,1 .由定义 3.2 易知，及满足 . 则.引理 3.1设且满足 . 则(1)；(2)A(,)B, B(

17、,)C ,A(,)C ；(3)A(,)B, A( ,)C ,A(,)BC .证明(1)显然 xS, r maxA ( x),r minA (x),，r minA ( x),r max A ( x),.所以 .(2)对任意的，由和，得r maxB ( x),r minA (x),，r minB (x),r maxA ( x),，r maxC ( x),r minB (x),，r minC ( x),r maxB ( x),.于是r maxC (x),r minB ( x),r maxB ( x),，r minC (x),r maxB ( x),r minB ( x),r maxA ( x),.所

18、以 .(3)对任意的，由和，得r maxB ( x),r minA (x),，r minB (x),r maxA ( x),，r maxC ( x),r minA (x),，r minC ( x),r maxA ( x),.于是r max B C ( x),r maxr minB (x),C ( x),r minr maxB (x), r max C ( x), ，r minBC ( x),r minr maxB ( x), C ( x),r max r minB ( x), r minC ( x),.所以 .引理 3.2设满足且，且满足与, 则(1)；(2).证明 (1)对任意的，由和，得r

19、 maxC ( x),r minA (x),，r minC ( x),r maxA (x),，r maxD ( x),r minB (x),，r minD ( x),r maxB (x),.于是r maxCD ( x),r max r minC ( x), D ( x),r minr maxC ( x), r maxD ( x), r minr minA ( x), r minB ( x),r min r minA ( x), B (x),r min AB ( x),，r minC D ( x),r min r maxC ( x),D (x),r max r minC ( x), r minD

20、 ( x),r max r maxA(x), r maxB (x),r maxr maxA ( x),B(x),.所以 .(2)对任意的，(i) 当可表示为时 , 我们有r maxr supr minC (a1 ),C (a2 ),D (b1),D (b2 ),xa1b1z a2b2zr supr minr maxC (a1), r maxC (a2 ),x a b1 1za b22zr maxD (b1 ), r maxD (b2 ),r supr min r minA (a1), r maxA ( a2 ),x a1b1z a2 b2zr minB (b1 ), r maxB (b2 ),

21、r minr supr minA ( a1 ),A (a2 ),B (b1),B (b2 ),x a1b1z a2b2z，r minr infxa1b1z a2b2r maxzC (a1 ),C (a2 ),D (b1),D (b2 ),r infzr maxr minC (a1 ), r minC (a2 ),x a1b1 z a2 b2r minD (b1 ), r minD (b2 ),r infzr maxr maxA (a1), r maxA (a2 ),x a1b1 z a2 b2r maxB (b1), r maxB (b2 ),r maxr infr maxA ( a1 ),A

22、 (a2 ), B (b1),B (b2 ),x a1 b1z a2b2zr max ( AhB )( x),.所以 .(ii) 当不能表示为时，由定义有( C h D )( x)( Ah B )( x) 0 , ( C hD )( x)( A hB )( x)1 ，于是，不等式r max(ChD )( x),1r min(AhB )( x),与r min (ChD )( x),0r max( AhB )( x),显然成立 .所以 .注：引理 3.2 中的 (1)是引理 3.1 中的 (3)的推广 .定义 3.3设是一个半环且满足，我们定义上的二元关系：，且 .显然，序关系满足反身性、对称性和

23、传递性，因此是上的一个等价关系 .定义 3.4 19 设是半环且，定义的h-闭包如下：DxS | a, aD , zS, 使xazaz定义 3.5 设是的一个子集，称映射，为集合的区间值特征函数 .设是半环且 , 是的区间值特征函数，记, 其中，则是一个区间值直觉模糊集 .性质 3.2设是半环且 . 则(1)当且仅当对满足，均有；(2)；(3) .证明设是上的区间值特征函数, 是上的区间值特征函数，即， .(1)假设，则有r max E ( x),E ( x)D ( x)r minD ( x),，r min EC (x),EC ( x)DC (x)r maxDC ( x),所以 .(2)由定义

24、 2.5 与定义 3.5 立得 .(3), 若 , , 则有 , 使, 且 r min D (a1), D (a2 ), E (b1 ), E (b2 )1 , 即D (a1 )D ( a2 )E (b1 )E (b2 )1 ,DC ( a2 )EC (b1 )CE (b2 )0 ，于是 , 进而，即，. 因此且 , 即. 注意到上述过程都是可逆的，故也有成立，定理得证.最后给出区间值直觉模糊集的加法运算.定义 3.6设, ，规定的和如下(i) 当可以表示为时，(AhB )( x)r supb2r minA ( a1 ),A ( a2 ),B (b1),B (b2 )x a1b1za2z(Ah

25、B )( x)r infb2r maxA ( a1 ),A ( a2 ),B (b1 ),B (b2 )x a1b1za2z(ii) 当不能表示为时，,第四章半环上的区间值直觉模糊h-理想对有普通边界值的直觉模糊h-左（右、双）理想进行推广，将得到具有区间边界值 的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想 .定义 4.1 设且满足 . 称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想，如果对，有(A1) r maxA ( xy),r minA (x),A ( y),；(A2) r minA ( xy),r maxA (x),A ( y),；(A3) r maxA ( xy),r minA ( y),；(

26、A4) r minA ( xy),r maxA ( y),.例 4.1设，且，满足，考虑例2.1 中的半环，定义半环的区间值直觉模糊子集如下：， .不难验证是一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想.定义 4.2 设且满足 . 称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊双理想，如果对任意的，有(B1) r maxA ( xy),r minA (x),A ( y),；(B2) r minA ( xy),r maxA (x), A ( y),；(B3) r maxA ( xy),r minA ( x),A ( y),；(B4) r minA (xy),r maxA ( x),A ( y),；(B5)

27、r maxA ( xyz),r minA ( x),A (z),；(B6) r minA ( xyz),r maxA ( x),A ( z),.例 4.2 考虑例 4.1 中的定义，不难验证是一个具有区间边界值的区间值直觉模糊双理想 .定义 4.3 半环的一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想( 右理想、理想、双理想 ) 称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想( h-右理想、 h-理想、 h-双理想 ) ，如果满足(C1) xazbzr maxA ( x),r minA (a),A (b),且r minA (x),r maxA (a),A(b),.特别的，半环的一个具有区间边界值的

28、区间值直觉模糊h-左 ( 右、双 )理想被称为一个区间值直觉模糊h-左( 右、双 ) 理想 .引理 4.1设满足条件 (C1) , 满足，(1) 定义 4.1 中的条件 (A3)， (A4)等价于；(2) 定义 4.2 中的条件 (B5)，(B6)等价于；(3) 定义 4.1 中的条件 (A1)， (A2)等价于；(4) 定义 4.2 中的条件 (B3)，(B4)等价于 .证明 (1), 若不能表示为，则显然r min(Sh A )( x),0r maxA (x),r max (ShA )(x),1r minA ( x),若可以表示为时，则由定义4.1 中的条件 (A3)， (A4)及条件 (

29、C1)有r minr supr min r minA (b1 ), r minA (b2 ), ,xa1b1z a2b2zr minr supr min r maxA (a1b1), r maxA (a2b2 ), ,x a1b1z a2b2zr maxr supr minA (a1b1 ),A (a2 b2 ),xa1b1z a2 b2zr maxr supr maxA ( x),r maxA (x),，xa1b1za2b2zr maxr infxa1 b1za2b2r maxzr maxA (b1), r maxA (b2 ), ,r maxrxa1b1infza2b2r maxzr mi

30、nA (a1b1 ), r minA (a2b2 ), ,r minr infx a1b1z a2b2r maxzA (a1b1 ),A (a2b2 ),r minr infxa1b1z a2b2zr minA (x),r minA ( x),综上可得， .反之，假设成立 . 由于对，显然有，于是，我们有r maxA (xy),r min(ShA )( xy ),r minr supr minA (b1 ),A (b2 ),xa1b1z a2 b2z，r minA ( xy),r max (CShA )( xy ),r maxr infxa1b1za2 b2zr maxA (b1 ),A (b

31、2 ),因此定义 4.1 中的条件 (A3)，(A4) 成立 .(2), (3)和(4)的证明与 (1)类似 .定理4.1半环的区间值直觉模糊集是的一个具有区间边界值区间值直觉模糊 h-左 ( 右 ) 理想当且仅当满足条件(C1) 和(1)；(2) ().证明 由定义 4.1 与引理 4.1 立得 .定理4.2半环的区间值直觉模糊集是的一个具有区间边界值区间值直觉模糊 h-左理想当且仅当满足条件(C1)和(1)；(2)；(3) .证明 由定义 4.1 与引理 4.1 立得 .定理 4.3设是半环且，则(1)是的 h-左( 右) 理想当且仅当满足， 是的具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-左(

32、右 ) 理想；(2)是的 h-双理想当且仅当满足， 是的具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-双理想 .证明 我们仅证明 h-左理想的情况，其它情况可类似证明.(1)必要性 . 假设是的 h-左理想，以下分三步证明是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想 .(a)，考虑下列两种情形 .情形 I ：, 都属于，则有从而Cx y于是有D x y1,D0,r maxD ( x y),1r minD ( x),D ( y),r min DC ( xy),0r maxDC ( x),DC ( y),.情形 II ：与至少一个不属于，则r maxD (x y),0r minD ( x),D ( y),r

33、 min DC ( xy),1r maxDC ( x),DC ( y),.(b)，我们考虑下列两种情形 .情形 I ：, 则从而于是有r max D ( xy),1 r minD ( y), ,r minDC (xy ),0r maxDC ( y),.情形 II ：，则，于是r max D ( xy),0r minD ( y),r min DC (xy ),1r maxDC ( y),.(c)满足，考虑以下两种情形.情形 I ：，则，从而有，于是有r max D ( x),1r minD (a),D (b),r min DC (x),0r maxDC (a),DC (b),.情形 II ：若中

34、至少一个不属于，则r max D ( x),0r minD (a),D (b),r min DC ( x),1r maxDC (a),DC (b),.充分性 . 若是的具有边界值的区间值直觉模糊h-左理想，要证明是的h-左理想，我们证明以下三个条件成立.(a), 则D (x)D ( y)1,DC (x)DC ( y)0 .由条件 (A1) 可得r maxD ( xy),r minD (x),D ( x),，又因为，所以，即.(b)，则 . 由条件 (A3) 得r maxD ( xy),r minD ( y),，又因为，所以，即 .(c)满足，则，由条件 (C1) 可得r maxD ( x),r

35、 minD (a),D (b),，又因为，所以，即 .(2)的证明与 (1)类似 .定理 4.4 半环的每一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左( 右)理想都是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想 .证明 仅证明 h-左理想的情况， h-右理想的情况可类似证明.设是半环一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想，要证明是半环具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想，只需证明满足定理4.2中的条件 (2), (3). 由已知，满足条件定理 4.1 中的条件 (1), (2). 并注意到，于是根据引理 3.5，我们有且A h I Sh AA h (I Sh A)(,)A h A(,)A

36、.故是半环一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想 .第五章小结本文通过将区间值直觉模糊集概念应用到半环结构理论中，给出了半环的一些特殊的区间值直觉模糊理想，即具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-左( 右) 理想和 h-双理想，并对他们的一些性质进行了研究 . 此外，通过对两个区间值直觉模糊集之间的普通包含关系进行了推广，定义了一种更为广泛的关系，并利用此定义，对半环上具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-左( 右) 理想和 h-双理想的定义进行了描述， 给出了区间值直觉模糊左理想和双理想的几个等价条件 . 本文得到的一些新的结论表明，具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-理想是具有普通边界值

37、的直觉模糊 h-理想的推广，即具有普通边界值的直觉模糊 h-理想在一定范围内也满足具有边界值的直觉模糊 h-理想的相关条件 .然而，本文的工作是将具有普通边界值的直觉模糊 h-理想的外延进一步扩大，这在一定程度上丰富了直觉模糊半环理论，但对于具有区间边界值的区间值直觉模糊h-准理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-素理想，在本文中考虑不足；另外，能否利用具有区间边界值的区间值直觉模糊 h-理想来刻画半环的特征？这些方面还需要很多工作待于探讨. 因此，作者在以后的工作和学习中将致力于此方面的研究.参考文献1 K. Glazek. A Guide to the Literature on Sem

38、irings and their Applications in Mat-hematics and Information Sciences: With Complete Bibliography M. Kluwer A-.cad publ., Dodrecht, 2002.2 W. Wechler. The concept of fuzziness in automata and language theory M. Aka-demie Verlag, Belin, 1978.3 M. Henriksen. Ideals in semirings with commutative addit

39、ion J. Am. Math. Soc. Notces, 1958, 6: 3-21.4 K. Lizuka. On the Jacobson radical of a semiring J. Tohoku Math. J. 1959, 11(2):7 T. K. Dutta, B. K. Biswas. Fuzzy prime ideals of a semiring J. Bull. Malaysian Math. Soc, 1994, 17: 9-16.8 Y. B. Jun, M. A. Qzturk, S.Z. Song. On fuzzy h-ideals in hemirings J,Inform.9 J