川大自动控制原理第十章

1、第十章非线性控制系统自动控制原理自动控制原理本章主要内容本章主要内容非线性控制系统概述非线性控制系统概述相平面法相平面法非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析描述函数法描述函数法非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析了解了解 熟悉熟悉 掌握掌握1. 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念l不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统；非线性系统；l非线性是宇宙间的普遍现象，实际系统都是非线性非线性是宇宙间的普遍现象，实际系统都是非线性系统，线性系统只是在特定条件下的近似描述；系统，线性系统只是在特定条件下的近似描述；l系统

2、的非线性程度比较严重，无法近似为线性系统系统的非线性程度比较严重，无法近似为线性系统时，只能用非线性系统的方法进行分析和设计；时，只能用非线性系统的方法进行分析和设计；l非线性系统的运动形式多样，种类繁多；非线性系统的运动形式多样，种类繁多；l有两种常见情况有两种常见情况: 系统中存在非线性元件；系统中存在非线性元件；为为了某种控制目的，人为引进的非线性。了某种控制目的，人为引进的非线性。 液位系统中，液位系统中，H为液位高度，为液位高度，Qi 为液体输入流量，为液体输入流量，Qo为液体输出流量，为液体输出流量，C为储液罐的截面积。为储液罐的截面积。 HkQ 0HkQQQdtdHCii0根据水

3、力学原理知根据水力学原理知 系统的输入输出动态方程为系统的输入输出动态方程为属于非线性微分方程。属于非线性微分方程。k 是取决于液体粘度的系数是取决于液体粘度的系数非线性系统的简单例子（见第二章）非线性系统的简单例子（见第二章） 非线性特性中，死区特性、饱和特性、间隙非线性特性中，死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性是最常见的，也是最简单的特性、继电特性是最常见的，也是最简单的。其中其中 和和 为非线性函数。为非线性函数。)(f)(g一个单输入单输出非线性特性的数学描述为一个单输入单输出非线性特性的数学描述为2. 2. 非线性系统的一般数学模型非线性系统的一般数学模型)t (ubdt)t (

4、udb)t (yadt)t (ydadt)t (yd0mmm01n1n1nnn 述述：比比较较线线性性系系统统的的数数学学描描)u,dtdu,dtud, t (g)y,dtdy,dtyd, t (fmmnn 3. 3. 常见的典型非线性特性常见的典型非线性特性 x z(1) 死区特性（不灵敏区特性）死区特性（不灵敏区特性）特征：特征：当输入信号较小时，系统没有输出当输入信号较小时，系统没有输出; ; 当输入信号大于某一数值时才有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出。测量元件、放大元件及执行测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区机构的不灵敏区。对系统性能的主要影响：对系统性能的主要影响：使使稳

5、态误差增大；稳态误差增大；产生产生时间滞后；时间滞后；优点是优点是能滤去小幅值的干扰信能滤去小幅值的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。号，提高系统的抗干扰能力。对液位误差设置死区，可防止执行机构频繁动作，对液位误差设置死区，可防止执行机构频繁动作，减少对执行机构的磨损，还可消除小幅度检测噪减少对执行机构的磨损，还可消除小幅度检测噪声的影响。声的影响。液位系统液位系统调节阀调节阀控制器控制器检测检测误差输入流量液位利用死区特性的应用例利用死区特性的应用例液位控制系统液位控制系统特点：特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。再随输

6、入信号变化而保持恒定。 x z放大器及执行机构受电放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。的限制导致饱和现象。(2) (2) 饱和特性饱和特性主要影响：主要影响：在大信号作用下，放大倍数减小在大信号作用下，放大倍数减小稳态稳态精度精度，快速性，快速性 ，但相对稳定性，但相对稳定性。（分析例见（分析例见p56） 当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时（输入饱和），水位就会下降，出水流量也量时（输入饱和），水位就会下降，出水流量也随之减小，达到平衡时水位会低于设定值。随之减小，达到平衡时水位会低于设定值。饱和特性

7、导致稳态误差的例子饱和特性导致稳态误差的例子水箱水位控制系统水箱水位控制系统+-PID控制器y出水阀门开度u误差 e进水水箱 电机系统在重载情况下，输入电压饱和，转速电机系统在重载情况下，输入电压饱和，转速会低于设定值（转速会低于设定值（转速使电流使电流、转矩、转矩）。）。电机电机系统系统功率功率放大器放大器PID转速转速调节器调节器转速检测转速检测误差输入电压转速饱和特性导致稳态误差的例子饱和特性导致稳态误差的例子电机调速系统电机调速系统如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。(3)(3)间隙（或滞环、回环）特性间隙（或滞环、回环）特性影响：影

8、响：通常会使系统的输出在相位上产生滞后，通常会使系统的输出在相位上产生滞后，导致稳定裕量减小、动态性能恶化，甚至产生自导致稳定裕量减小、动态性能恶化，甚至产生自持振荡。持振荡。i o bi o bb 理想继电器理想继电器 具有死区的继电器具有死区的继电器 y(t) x(t) y x y x00 MxyMx MxayMxa(4) (4) 继电器特性继电器特性例：开关型控制的电冰箱、电熨斗等例：开关型控制的电冰箱、电熨斗等 y x 具有滞环的继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器具有死区和滞环的继电器 x y y(t)ty(t)ty(t)tty(t)典型非线性环节的正弦响应典型非线性环节的正

9、弦响应4. 4. 非线性系统的特点非线性系统的特点不适用叠加原理不适用叠加原理（与线性系统的本质区（与线性系统的本质区别）别），没有一种通用方法来处理各种非，没有一种通用方法来处理各种非线线 性问题性问题稳定性等性能分析复杂而困难稳定性等性能分析复杂而困难 稳定性等不仅与系统的结构和参数有关，也稳定性等不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。l线性系统：只有一个平衡状态线性系统：只有一个平衡状态l非线性系统：可能有多个平衡状态非线性系统：可能有多个平衡状态例：线性系统例：线性系统 的稳定性和平衡点的稳定性和平衡点xx 为为初初始

10、始状状态态，解解为为0t0 xexx 无论初始状态为何值，都有无论初始状态为何值，都有 ， 系统系统稳定，只有一个平衡状态稳定，只有一个平衡状态 。0)t (x0)t (x)t (x tx(t)0 x0 x。x1xxlnt01x1exx1，1exx11x1x00t00t000 时时，即即时时，时时当当 (1)例：非线性一阶系统例：非线性一阶系统设系统的初始状态为设系统的初始状态为 x0 ，则解为，则解为ttexxextx0001)(令令 ，可知该系统存在两个，可知该系统存在两个平衡状态平衡状态0 x 1x,0 x 2xxx x(t) 如如 、 平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，平衡状

11、态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。而且与系统的初始条件有直接的关系。01exx11x1xt000 3时时）当）当（1)t (x1x0 时时，当当 (2)自持振荡自持振荡：指：指没有外界周期变化信号没有外界周期变化信号作用时，作用时，系统内部产生的具有系统内部产生的具有固定振幅固定振幅和和频率频率的稳定周的稳定周期运动。期运动。线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动，但其振幅并不固定，取决于初始状态，运动，但其振幅并不固定，取决于初始状态，所以不是自持振荡（参见所以不是自持振荡（参见p30）。）。可能存在自持振荡

12、（极限环）现象可能存在自持振荡（极限环）现象 在正弦输入下，线性系统的稳态输出是同频在正弦输入下，线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号；而非线性系统的输出则是周期率的正弦信号；而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。频率响应发生畸变频率响应发生畸变 非线性系统分析的重点：非线性系统分析的重点：某一平衡点是否稳定，如果不稳定或性能不好某一平衡点是否稳定，如果不稳定或性能不好应如何校正；应如何校正；系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅；和振幅；如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的如

13、何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。响应性能。 5. 5. 非线性系统的分析与设计方法非线性系统的分析与设计方法 非线性系统的基本研究方法：非线性系统的基本研究方法：p小范围线性近似法小范围线性近似法p逐段线性近似法逐段线性近似法p相平面法（时域法，相平面法（时域法，重点重点）p图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。 p描述函数法（频域法：描述函数法（频域法：只保留基波，近似为线性只保留基波，近似为线性）p适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。 p李雅普诺夫法（李雅普诺夫法（构造正定能量函

14、数，使其导数负定构造正定能量函数，使其导数负定）计算机仿真法计算机仿真法l 相平面法的基本概念相平面法的基本概念l 相轨迹的绘制相轨迹的绘制l 由相轨迹图求时间及时间响应由相轨迹图求时间及时间响应l 奇点与极限环的类型奇点与极限环的类型l 非线性控制系统的相平面分析非线性控制系统的相平面分析相平面：相平面：由系统某一变量及其导数构由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。成的用以描述系统运动状态的平面。一、相平面法的基本概念一、相平面法的基本概念针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统（也可针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统（也可用于线性）用于线性）: :相轨迹图：相轨迹图：相

15、平面相平面 + + 相轨迹簇相轨迹簇0)x,x(fx xx 为输出、误差等变量）为输出、误差等变量）（可取（可取 x相轨迹：相轨迹：系统变量及其导数从初始时刻所对应的系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点（状态点（ ）出发，随时间变化在相平面上描）出发，随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。绘出来的轨迹。00 x,x)1Ts( sK )s(R)s(E)s(Y1T,5K 例例: : 单位反馈系统单位反馈系统2236. 0TK21236. 2TKn 和和阻阻尼尼比比分分别别为为对对应应无无阻阻尼尼振振荡荡频频率率)t(1)t(r ）（箭箭头头沿沿时时间间增增大大方方向向可可得得到到对对应应的的相相

16、轨轨迹迹。由由系系统统的的时时间间响响应应曲曲线线yy y y属于绘制相属于绘制相轨迹图的解轨迹图的解析法之一析法之一0),( xxfx 考虑非线性系统方程：考虑非线性系统方程：(1)(1)相轨迹的斜率相轨迹的斜率( , )dxdx dxdxxxf x xdtdx dtdx 斜率表示相轨迹通过斜率表示相轨迹通过该点的运动方向该点的运动方向相轨迹的基本特征相轨迹的基本特征任一普通点有且只有一条相轨迹通过。任一普通点有且只有一条相轨迹通过。（其斜率唯一确定）其斜率唯一确定）(2)(2)相轨迹的普通点相轨迹的普通点）为为确确定定值值的的点点（包包括括斜斜率率 x)x,x(fdxxdxx xxxfdx

17、xd),(00 xx( , )00dxf x xdxx (3)(3)相轨迹的奇点相轨迹的奇点( (平衡点平衡点) )相轨迹上斜率不确定的点相轨迹上斜率不确定的点满足满足奇点一定在奇点一定在 x 轴上轴上 通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至有无穷多通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至有无穷多 条；条； 线性定常系统通常只有一个奇点（原点或线性定常系统通常只有一个奇点（原点或 x 轴上轴上 的其他点），而非线性系统则可能有多个奇点；的其他点），而非线性系统则可能有多个奇点； 当奇点连续时就构成奇线。当奇点连续时就构成奇线。有奇线的系统举例有奇线的系统举例0 x2x 设设系系统统的的微微分分方方程程为

18、为0)2dxxd(xx2dxxdx 则则有有02dxxd0 x 或或（构构成成奇奇线线）。轴轴上上的的所所有有点点都都是是奇奇点点表表示示时时x0 x0 x 相相同同。表表示示所所有有相相轨轨迹迹的的斜斜率率而而2dxxd xx 对应对应奇点奇点奇点以外奇点以外0 x (4) (4) 相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向上半平面上半平面: : 向右移动向右移动0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移动向左移动按顺时针运动按顺时针运动(5) (5) 相轨迹通过横轴的方向相轨迹通过横轴的方向( , )00f x xx 相轨迹以相轨迹以 9090穿越穿越 x 轴轴( , )dxf x xdxx x

19、x 横轴上的横轴上的普通点普通点(6) (6) 相轨迹的对称性相轨迹的对称性的的对对称称性性。迹迹的的对对称称性性，可可判判断断相相轨轨分分析析斜斜率率xxxfdxxd),(轴轴，则则对对称称于于若若xxxfxxf),(),(轴轴，则则对对称称于于若若xxxfxxf),(),( ，则则对对称称于于原原点点若若),(),(xxfxxfxx 1. 解析法解析法二、相轨迹的绘制二、相轨迹的绘制 若该式可以分解为若该式可以分解为( )( )g x dxh x dx两端积分两端积分00( )( )xxxxg x dxh x dx可解出可解出 和和 的关系式，（的关系式，（ ， ）为初始点。）为初始点。

20、xx 0 x0 x 1.解析法解析法 2.等倾线法等倾线法 3.圆弧法圆弧法 4.计算机绘制法计算机绘制法dx)x,x(fxdxx)x,x(fdxxd 或或可可得得的的关关系系式式与与解解出出xx)x,x(fx 设设例例: : 考虑二阶系统考虑二阶系统(1)(1) 导出相轨迹方程导出相轨迹方程xdxaxdx (2) (2) 两边积分得两边积分得222200 xaxxaxA0000 x)t (x,x)t (x,0a,0axx （线性系统，极点为（线性系统，极点为 ）aj axdxxdxdxxddtdxx 振幅不固定，振幅不固定，不是自持振荡不是自持振荡对称性对称性?( , )( , )( , )

21、dxdxf x xxf x xxf x xdxdxx2. 等倾线法等倾线法先确定相轨迹的等倾线（等斜率线），进而绘出先确定相轨迹的等倾线（等斜率线），进而绘出相轨迹的相轨迹的切线方向场切线方向场，然后从，然后从初始条件出发初始条件出发，沿，沿方向场方向场绘制相轨迹。绘制相轨迹。绘制步骤：绘制步骤：（1）导出）导出等倾线等倾线方程方程( , )0f x xx表示相平面上的一条曲线（表示相平面上的一条曲线（等倾线等倾线），），相轨迹经过相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等。 相轨迹的切线斜率相轨迹的切线斜率（常常数数）令令 x)x,x(fdxxd等倾线

22、法等倾线法 （2）取不同值取不同值时，画时，画出若干不同的等倾线，在出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示每条等倾线上画出表示斜斜率为率为的的小线段，构成相小线段，构成相轨迹的轨迹的切线方向场切线方向场（3）从相轨迹的）从相轨迹的初始状初始状态点态点按顺序将各小线段连按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的接起来，就得到了所求的相轨迹相轨迹 。等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确，但绘图等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确，但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。等倾线为直线的示意图等倾线为直线的示意图例：绘制下列二阶系统的相轨迹例：绘制下列二

23、阶系统的相轨迹 奇点为（奇点为（0 0，0 0）解：等倾线方程为解：等倾线方程为dxxxdxx() 0 xxx （线性系统，极点为（线性系统，极点为 ）3j5 . 0 1tgxx11x ，则则有有度度为为设设等等倾倾线线斜斜率率对对应应的的角角代表等倾线斜率代表等倾线斜率 等等倾倾线线的的切切线线斜斜率率代代表表相相轨轨迹迹过过 对称性对称性? 可以证明，可以证明，每一条相轨每一条相轨迹都是向心迹都是向心螺旋线，说螺旋线，说明系统衰减明系统衰减振荡振荡 所有的相所有的相轨迹都最轨迹都最终收敛到终收敛到奇点，系奇点，系统渐近稳统渐近稳定定320 xxx解：解：3232dxdxxxxxxdxdxx

24、 3232dxxxxxxdxx 23xx 例：绘制下列二阶系统的相轨迹例：绘制下列二阶系统的相轨迹 （1）导出等倾线方程）导出等倾线方程容易求出奇点为（容易求出奇点为（0 0，0 0）。）。（线性系统，极点为（线性系统，极点为-1，-2）对称性对称性? 2 2令令3 3 1 1时时1 12 2时时2 2；0-1-5-31-2-0.67-110-0.5-223xx 列出等倾线斜率列出等倾线斜率 与相轨迹切线斜率与相轨迹切线斜率的关系：的关系：两条特殊的等倾线：两条特殊的等倾线：两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点，两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点，其中一条是其中一条是相轨迹的渐近线（说明

25、见后）相轨迹的渐近线（说明见后）。说明说明1：两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点：两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点的的根根。知知系系统统极极点点为为特特征征方方程程由由0asas0 xaxax01201 0aaaaxaaxxxaxadxxd012101001 得得令令得得等等倾倾线线方方程程再再由由的解为系统极点。的解为系统极点。即即 注：复数极点时不存在这样的等倾线（注：复数极点时不存在这样的等倾线（ 为实数）为实数）说明说明2：一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线：一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线1)1(232,32 1112,012）（ 1 1112,0112）（2 1112,0101）（

26、3思路：分析思路：分析=1、2周围等倾线上相轨迹周围等倾线上相轨迹斜率斜率的变化情况，见下页图。的变化情况，见下页图。特殊等倾线为特殊等倾线为相轨迹渐近线相轨迹渐近线的示意图的示意图1 2 （1）（2）（3）xx 0斜率为斜率为-1-1的等倾线，其周的等倾线，其周围的相轨迹都趋向它，所围的相轨迹都趋向它，所以是渐进线；而斜率为以是渐进线；而斜率为-2-2的等倾线，其周围的相轨的等倾线，其周围的相轨迹都离开它，所以不是渐迹都离开它，所以不是渐进线。进线。) t (x ) t (x3, , 01, 5 . 0 0,67. 0 1 2 5, 1 ) t (x ) t (x3, 所有的相轨迹都所有的相

27、轨迹都最终收敛到奇点最终收敛到奇点, ,说明系统渐近稳说明系统渐近稳定；定；相轨迹都趋相轨迹都趋向于特殊的等倾向于特殊的等倾线，说明系统响线，说明系统响应为非振荡衰减应为非振荡衰减形式。形式。因为因为 ，设点，设点 的对应时间为的对应时间为 ，点点 的对应时间为的对应时间为 ，则，则/xdx dt),(11xx1t22(,)x x 2t将两点间的相轨迹取倒数，将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得计算阴影区面积，即可得 t 。三、由相轨迹图求时间及时间响应三、由相轨迹图求时间及时间响应（1）积分法）积分法xdx1ttt21xx12 1x 2x 2x 1/1x 1/2x1xxx 连续计算

28、多个点就可得到连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线系统的时间响应曲线 或或 。)t (x)t (x xdx1t1iixxi 图中：图中：求时间响应的示意图求时间响应的示意图1x 2x 2x 1/1x 1/2x1xxx x13x x3x4x5x4x 5x 5x 1/4x 1/3x 1/x(t)1t 2t 3t 4t (t)x tt1t 2t 3t 4t 特点：基于准确的时间算式，特点：基于准确的时间算式，但难以精确计算面积。但难以精确计算面积。BAABABxxxxtt 2ABABxxx 2()BAABABxxtxx 相轨迹相轨迹A-BA-B段的平均速度：段的平均速度： 相轨迹相轨迹A-BA-

29、B段所用的时间：段所用的时间： （2） 增量法增量法 连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或或 。)t (x)t (x 特点：基于近似的时间算式，但计算容易。特点：基于近似的时间算式，但计算容易。近似式近似式)1Ts( sK )s(R)s(E)s(Y的的根根。极极点点为为0KsTs)s(RKsTsK)s(Y22 例例: : 单位反馈系统单位反馈系统)t(y)t(x0)t(r 并并取取设设四、奇点与极限环的类型四、奇点与极限环的类型1. 1. 线性系统的奇点类型线性系统的奇点类型KrKyyyT 对对应应的的微微分分方方程程为为xTKxxdxxd0Kx

30、xxT 或或则则有有奇点为（奇点为（0, 0），根据特征根在），根据特征根在S平面上的分平面上的分布，相轨迹有不同的形态。布，相轨迹有不同的形态。 极点分布与奇点的类型极点分布与奇点的类型极点分布极点分布奇点奇点相轨迹图相轨迹图中心点中心点稳定稳定焦点焦点稳定稳定节点节点鞍点鞍点极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图不稳定不稳定焦点焦点不稳定不稳定节点节点2. 2. 非线性系统的奇点类型非线性系统的奇点类型分析思路与方法：分析思路与方法：将非线性系统在奇点处线性化，将非线性系统在奇点处线性化，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，进而确定奇点

31、附近相轨迹的运动形式。进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。0000( , )( , )f x xf x xxxxxxxxxxxxxx 非线性系统非线性系统 在奇点在奇点 处的线性化：处的线性化：( , )xf x x00(,)xx （按泰勒级数展开）（按泰勒级数展开）00000000( , )( , )( , )( ,)()()f x xf x xxf x xf x xxxxxxxxxxxxxxx忽略高忽略高次项次项例：例：已知非线性系统的微分方程为已知非线性系统的微分方程为 试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。 025 . 02xxxx xxxxdxxd

32、)25 . 0(200dxdx0011xx0222xx则求得系统的两个奇点则求得系统的两个奇点解：系统相轨迹微分方程为解：系统相轨迹微分方程为令令 特征根为特征根为 ，故奇点，故奇点(0, 0) 为稳定焦点。为稳定焦点。 39. 125. 02, 1js在奇点（在奇点（0，0）处）处 2),(00 xxxxxf5 . 0),(00 xxxxxf025 . 0 xxx 线性化方程为线性化方程为在奇点（在奇点（-2，0） 处处 2),(02xxxxxf5 . 0),(02xxxxxf线性化方程为线性化方程为025 . 0 xxx 故奇点故奇点（-2，0）为鞍点。为鞍点。非线性系统的运动非线性系统的

33、运动及其稳定性与初始及其稳定性与初始条件有关。条件有关。 69. 1,19. 121ss特征根为特征根为运用等倾线等方法可概略运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。绘制相轨迹图。3. 3. 极限环及其分类极限环及其分类 非线性系统的运动除了发散和收敛外，还有一非线性系统的运动除了发散和收敛外，还有一种运动模式种运动模式自持振荡，自持振荡在相平面上表自持振荡，自持振荡在相平面上表现为一个现为一个孤立的孤立的封闭轨迹线封闭轨迹线极限环极限环。 以范德波尔（以范德波尔（van der pol）方程为例，说明）方程为例，说明极限环的稳定性：极限环的稳定性： 0,0 xxx12x2 2102 xxxx 等

34、等价价阻阻尼尼比比得比较与下列线性微分方程相 注：线性系统不会产生极限环，参见注：线性系统不会产生极限环，参见p30例。例。时的极限环最后相轨迹进入相当于之减小,值也随，值的减小随着。幅不断衰减的阻尼运动振是方程所描述的系统,，则若初始值 0)t (xx01)t (x0 )x1(2 。卷向极限环将极限环内部的相轨迹都所以。时的极限环进入相当于也最后相轨迹，大的幅值越来越，则若初始值 0)t (x01)t (x0 。；反之为不稳定极限环环称为稳定极限环这种极限迹若均趋向于它,极限环内外两侧的相轨 b) a) 不稳定极限环稳定极限环 。一个不稳定的极限环知系统有可用相同的分析方法,，范德波尔方程改

35、为若 0 xxx12x2 极限环的极限环的3 3种类型种类型c)半稳定极限环半稳定极限环 d)半稳定极限环半稳定极限环a) 稳定的极限环稳定的极限环 b) 不稳定的极限环不稳定的极限环五、非线性控制系统的相平面分析五、非线性控制系统的相平面分析具有饱和特性的非线性反馈系统具有饱和特性的非线性反馈系统滞环继电型非线性反馈系统滞环继电型非线性反馈系统步骤：步骤： 将典型非线性特性用将典型非线性特性用分段的线性特性来分段的线性特性来表示。表示。 在相平面上选择合适的坐标，常用误差及其导数。在相平面上选择合适的坐标，常用误差及其导数。 根据分段的线性特性将相平面根据分段的线性特性将相平面分成若干区域分

36、成若干区域，在，在每个区域内都呈线性特性。每个区域内都呈线性特性。 确定每个区域的确定每个区域的奇点类别奇点类别和在相平面上的位置。和在相平面上的位置。 在各个区域内分别画出各自的相轨迹。在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。性系统的相轨迹。如何利用线性系统的相轨迹如何利用线性系统的相轨迹绘制简单非线性系统的相轨迹？绘制简单非线性系统的相轨迹？1 1. . 具有饱和特性的非线性系统具有饱和特性的非线性系统0rrTKueeTyre,KuyyT bebebe ，：相相平平面面可可分分为为三三个个区区域

37、域初初始始状状态态为为零零，设设, 0,)(1KTbMtRre)1s(TsK -Mbryub MbeMbeMbeeu， 000)/(KMeeTKMeeTebKMeeT 方程为对应于上述三个区域的CA(R,0)BDKMe ee ob-bKMe 区区区区区区在在区，区，奇点为原点，是稳定节点奇点为原点，是稳定节点或焦点，相轨迹都渐进收敛或按螺或焦点，相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点（见前面例）。旋线收敛到奇点（见前面例）。在在、区，区， eTKMedeed都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。1TKMe 渐渐近近线线）。对对应应条条特特殊殊等等倾倾线线

38、（KMe0 。可可绘绘制制相相轨轨迹迹图图由由0)0(e,R)0(e 相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。 注1注2注注1 1：关于渐近线的说明：关于渐近线的说明在在区，区， )eKM1(T1eTKMedeed0KMe0KMe 时时，；时时，说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。区亦如此。区亦如此。KMe ee ob-bKMe 返回返回注注2 2：关于：关于 (0)=0 (0)=0 的说明的说明)s(sY)0(y)s(sY)t(y 的的拉拉氏氏变变换换为为初值不为零的例：初值不为零的例：Y(s)/

39、U(s)=K/(Ts+1)Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)K(as+1)/(Ts+1)2 2 时时e)1s(TsK -Mbryub sM)1Ts( sK)s(Y 式式中中01TsKMlim)s(sYslim)0(yss 由由初初值值定定理理得得0)0(y)0(r)0(e 返回返回区奇点为稳定节点的相轨迹区奇点为稳定节点的相轨迹A(R,0)KMe ee ob-bKMe 渐近线渐近线第第一一种种情情况况。交交点点的的上上方方，所所以以只只有有分分区区线线区区渐渐近近线线与与在在对对于于该该例例，由由于于等等倾倾线线beKMeI容易证明：设渐近线斜率为容易证明：设渐近线斜率为-a，则一定有，则一定有 KM abSimulink仿真结构图仿真结构图），极极点点（），极极点点（并并设设初初值值为为零零2, 5 . 025. 14 . 0 968. 0 j25. 025. 02 , 5 . 0),( 12, 12, 1sTKsTKbMtRr 情况的相轨迹情况的相轨迹e eR=1R=2R=5情况的仿真结果情况的仿真结果R=2R=2时的时的u uR=1R=1