基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计教材

1、基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计摘要随着信息时代和数字世界的到来， 数字信号处理已成为当今一门极其重要的 学科和技术领域。在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字 滤波器( DF，Digital Filter)。数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。 实现 IIR 滤波器 的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤 波器的优良特性，因此应用很广。 Matlab 软件以矩阵运算为基础，把计算、可 视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，

2、 并且为数字滤波的研究和应用提 供了一个直观、高效、便捷的利器。尤其是 Matlab 中的信号处理工具箱使各个 领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。本次主要利用 matlab 的信号处理工具箱设计一个数字高通 IIR 滤波器，并 用此滤波器处理一段音频信号。 此报告重点介绍了用双线性不变法设计 IIR 数字 滤波器的基本流程， 比较了各种设计方法的优缺点， 总结了模拟滤波器的性能特 征。最后以双线性不变法设计了一个高通巴特沃斯 IIR 数字滤波器， 介绍了设计 步骤，然后在 Matlab 环境下进行了仿真与调试，实现了设计目标。关键字 IIR 数字滤波器 巴特沃斯 高通 双线性

3、变换 MATLAB基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计AbstractWith the information era and the advent of the digital world, digitalsignal processing has become one of the important fields of science and technology. In the digital signal processing plays an important role and has been widely applied in the digital filter

4、. Digital filter is a discrete time signal is used to filter the digital system,through the mathematical processing of sampling data to reach the goal of frequency domain filterin. Implementation of IIR filter order is low, less storage unit, with high efficiency, high precision, and can keep some s

5、imulation characteristics of filter , so a very wide application. Matlab software based on matrix computation, the calculation,visualization and program design of organic integration to interactiveenvironment, and providesan intuitive, efficient, convenienttool for the research andapplication of dig

6、ital filter .The main use of signal processing toolbox of MATLAB to design a digital high-passIIR filter , and an audio signal with the filter . This report focuses on the basic process of using the bilinearinvariant IIR digital filter design, compares the advantages and disadvantages of various des

7、ign methods, summarizes thecharacteristics of the analogfilter .Finally, by bilinear invariant to design a high Butterworth IIR digitalfilter, introducesthe design steps, andthen in the Matlab environment for thesimulation anddebugging, achieves the design goal.Keywords IIR Butterworth high-pass bil

8、inear transform MATLABdigital filterII基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计目录摘 要 . IAbstract . II1 数字滤波器 . 11.1数字滤波器介绍 . 11.2IIR 数字滤波器设计原理 . . 21.2.2 双线性变换法 . 32数字滤波器设计实现 . 62.1典型模拟滤波器比较 . 62.2设计步骤 . 62.3程序流程图 . 72.4音频信号部分程序 . . 82.5仿真结果 . 82.5.1 滤波器性能仿真 . 92.5.2 滤波器除噪性能 . 103总结 . 10致谢 . 11参考文献 . 12附 录 . 13基于双线性变

9、换法的 IIR 数字高通滤波器设计1 数字滤波器1.1数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置 , 其输入、输出均 为数字信号 , 实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基 本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换 , 改变输入序列 的频谱或信号波形 ,让有用频率的信号分量通过 ,抑制无用的信号分量输出。 数字 滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念 , 根据其频率响应特性可分为低通、高 通、带通、带阻等类型 , 与模拟滤波器相比 , 数字滤波器除了具有数字信号处理的 固有优点外 ,还有滤波精度高 (与系统字长有关 ) 、稳定性好(仅运行

10、在 0与 l 两个 电平状态 ) 、灵活性强等优点。时域离散系统的频域特性 :Yejw X ejw H ejw ，其中Yejw ，X ejw 分别 是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性 (或称为频谱特性) ， H ejw 是 数字滤波器的单位取样响应的频谱， 又称为数字滤波器的频域响应。 输入序列的 频谱 X ejw 经过滤波后 X e jw H ejw 。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处 理信号的目的， 适当选择 H ejw ，使得滤波后的 X ejw H ejw 满足设计的要求， 这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性， 可分为两种， 即无限长冲激响

11、应 (IIR) 数字滤波器和有限长冲激响应 (FIR) 数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征 是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型NN 来实现，其差分方程为： y n aix n ibi y n ii 0 i 1Mbrzr系统函数为： H zr 0N1akz kk1设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数 H(z) ，使其频 率响应H(z) 满足所希望得到的频域指标， 即符合给定的通带截止频率、 阻带截止 频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计1.2 IIR 数字滤波器设计原理IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为

12、Mbk z kHzk0Nk1ak zk1YzXz假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个 IIR 的子系统和一个 (M-N)的FIR 子系统的级联。 IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 ak和bk ，它是 数学上的一种逼近问题， 即在规定意义上 (通常采用最小均方误差准则) 去逼近 系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器； 如果在z平面上去逼近， 就得到数字滤波器。设计通数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。图 1-1 数字带通滤波器设计的两种方法方法 1: 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的 模拟高通滤波器，最后再使用冲激不变法或双

13、线性变换成相应的数字高通滤波 器。方法 2: 先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线 性变换法将它转换成数字原型低通滤波器， 最后通过频率变换把数字原型低通滤 波器变换成所需要的数字高通滤波器。本课程设计采用第一种设计方法， 先构造一个巴特沃斯模拟低通滤波器， 然 方法 1方法 2后将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器， 最后利用双线性变换将模拟高通滤 波器转换成数字高通滤波器。S平面2tanT21T基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计1.2.2 双线性变换法为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真， 这是因为从 S 平面到 平面是多值的映射关系所造成的。

14、为了克服这一缺点， 可以采用非线性频率压 缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 -/T/T 之间，再用 z=esT转换 到 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个 S平面压缩映射到 S1平面的 -/T / T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=es1T 将此横带变换到整个 Z 平面 上去。这样就使 S平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性， 也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 1-3为了将 S平面的整个虚轴 j 压缩到 S1平面 j 1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现式中, T仍是采样间隔。当1由-/T经过 0变化到/T时，由-经过 0 变化到

15、+，也即映射 了整个 j 轴。将式（ 1-9 ）写成j2 ej 1T/2 ej 1T /2jT ej 1T/2 e j 1T /2将此关系解析延拓到整个 S平面和 S1平面，令 j =s，j 1=s1，则得2 es1T /2e s1T /22s1T2 1e s1Ts sT /2 sT/2 tanh sTT es1T /2e s1T /2T2T 1e s1T再将 S1平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z=es1T从而得到 S平面和 Z 平面的单值映射关系为：j图 1-3 双线性变换的映射关系21 z 1T1 z 11 T s2T1s22sT2sT2j2其次，将 s jw 代入，得2 ta

16、nT基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计这两个关系式是 S平面与 Z 平面之间的单值映射关系， 这种变换都是两个线 性函数之比，因此称为双线性变换 首先, 把z ejw可得21 e j2s j j tanT 1 e jT即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。2jz T2jjTj因此由此看出，当 0 时，| z|0 时，| z|1 。也就是说， S平面的左 半平面映射到 Z 平面的单位圆内， S平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外， S平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换 后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点： 双线性变换法

17、与脉冲响应不变法相比， 其主要的优点 是避免了频率响应的混叠现象。 这是因为 S平面与 Z平面是单值的一一对应关系。 S平面整个 j 轴单值地对应于 Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。 这个关系重写如下：上式表明， S平面上与 Z平面的成非线性的正切关系，如图 1-4 所示基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计由图 1-4 看出，在零频率附近， 模拟角频率 与数字频率 之间的变换关系接近于线性关系；但当 进一步增加时， 增长得越来越慢，最后当 时， 终止在折叠频率 =处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，图 1

18、-4 所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线 性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器， 不再保持原 有的线性相位了； 其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段 常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数 （这正是一般典型的低通、 高通、带通、带阻型滤波器的响应特性） ，不然变换所产生的数字滤波器幅频响 应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 1-5 所示。对于分段常数的滤波器， 双线性变换后， 仍得到幅频特性为分段常数的滤波 器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变， 可以通过频 率的预畸来加以校

19、正。 也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好 映射到所需要的数字频率上。基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计2数字滤波器设计实现2.1典型模拟滤波器比较1、Butterworth 巴特沃斯滤波器：它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫滤波器：在通带或阻带等波纹，可提高选择性。3、Bessel 贝塞尔滤波器：在通带内有较好的线性相位特性。4、Ellipse 椭圆滤波器：其选择性相对前三种是最好的。此处选择巴特沃斯主要是想获得最平稳的幅频响应。而不计较相位特性，而 用双线性变换法也会将线性相位变为非线性相位。2.2设计步骤根据以上 IIR 数字

20、滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于 MATLAB设 计一个 IIR 高通滤波器。(1)确定性能指标在设计高通滤波器之前 , 首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标 : 通带 截止频率 fp=3200Hz；阻带截止频率 fs=3000Hz；阻带最小衰减 As=100dB和通带 最大衰减 Ap=1dB(2)把频率转化为数字角频率wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;(3)频率预畸变以及模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标用=2/T*tan(w/2) 对高通数字滤波器 H(z) 的数字边界频率预畸变 , 得到高 通模拟滤波器 H(s) 的边界频率主要是通带截止频率 Wp;阻

21、带截止频率 Ws的转换。 抽样频率 Fs=44100Hz 。通带截止频率 Wp2=(2/T)*tan(wp/2)阻带截止频率 Ws2=(2/T)*tan(ws/2)(4)归一化处理Wp2 1 1 ；p 1 ； p1；p Wp2 p p61N 12lgH(z)=H(s) |1zH aL ( p) |1zpc1z1z基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计Ws2Wp2由式2-3 ，2-4 ，2-5计算出 N，查表可得模拟低通滤波器的阶数，从而由下式 确定模拟高通滤波器的参数H z H s 1 z 1 s1 z 1(5)模拟低通滤波器的构造 借助巴特沃斯滤波器模型得到模拟低通滤波器的传输函数

22、Ha(s) N,Wn=buttord(wp2,ws2,Ap,As,s);z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);G1=tf(Bap,Aap);(6)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。 Bbs,Abs=lp2hp(Bap,Aap,Wn);(7)模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器 利用双线性变换法将模拟高通滤波器 Ha(s) 转换成数字高通滤波器 H(z) Bbz,Abz=bilinear(Bbs,Abs,FS);2.3程序流程图首先确定性能指标， 把频率转化为数字角频率， 进而在进行频率预畸变， 用 =

23、2/T*tan(w/2) 对高通数字滤波器 H(z) 的数字边界频率预畸变 , 得到高通模拟 滤波器 H(s) 的边界频率主要是通带截止频率 Wp;阻带截止频率 Ws的转换。抽样 频率 Fs=44100Hz。上述准备工作做好之后，就先把模拟高通性能指标转换成模拟低通性能1sAs10 10 1指 标，然后设计模拟低通滤波器， 借助巴特沃斯滤波器模型得到模拟低通滤波器的 传输函数 Ha(s) 。然后将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。最后利用双线 性变换法将模拟高通滤波器 Ha(s) 转换成数字高通滤波器 H(z) 。开始基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计读入数字滤波器技术指标将指标

24、转换成归一化模拟低通滤波器的指标设计归一化的模拟低通滤波器阶数 N和 3db 截止频率模拟低通滤波器变换成模拟高通滤波器模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器结束图 2-1 程序流程图2.4音频信号部分程序1)写入声音信号fnose =10;T=length(x)/fs; t=T/length(x):T/length(x):T;j=1:1:length(x);2)产生噪声并加到声音中nose =sin(2*pi*fnose*T*j); y=x+5*nose; b,a=butter(N,Wn,high);Y=fft(y) ;2.5仿真结果基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计2.5.1 滤波

25、器性能仿真源程序设计了模拟低通滤波器、 模拟高通滤波器与数字高通滤波器， 对数字 高通滤波器的性能仿真如下：92.5.2 滤波器除噪性能为了实现滤波器的应用， 程序中加入了有噪声的音频信号， 通过对其滤波处理，来显示数字高通滤波器的功能， 下面显示未加入噪声， 加入噪声和滤波后的 频谱波形图。基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计10基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计3总结这次课设下来， 对设计高通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握， 懂得了 设计滤波器的基本方法， 对双线性变换法， 巴特沃斯滤波器有了一定了解， 同时 呢也熟悉了 MATLAB的环境，巩固了相关知识。 初步

26、掌握了 MATLAB语言在数字信 号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用； 熟悉了滤波器设计的一 般原理，对滤波器有了一个感性的认识； 学会了数字高通滤波器设计的一般步骤； 加深了对滤波器设计中产生误差的原因以及双线性变换法优缺点的理解和认识。 总之，使理论联系了实际， 滤波前加噪信号的波形和频谱滤波后信号的波形和频谱巩固并深化了对课本基本知识的认识和理解， 使理论 得以升华。在做本次课程设计的过程中， 我深深地感受到了自己所学到知识的有限， 明 白了只学好课本上的知识是不够的， 要通过图书馆和互联网等各种渠道来扩充自 己的知识。 在实验过程中我们曾经遇到过问题。 但是从中我们学习到

27、了如何对待 遇到的困难， 进一步培养了我们一丝不苟的科学态度和不厌其烦的耐心。 所有的 这些心得会对我以后的学习和工作有帮助作用， 忠心感谢学校给我们提供这次实 验机会。致谢本设计过程中得到老师的悉心指导，设计过程中老师多次帮我分析思路， 开拓视角， 在我遇到困难想要放弃的时候给予我最大的支持和鼓励。 老师那严谨 求实的治学态度、 踏实坚韧的工作精神， 将使我终身受益； 另外同学和朋友的热 心帮助也使我学到了不少的知识。 再多华丽的语言也显得苍白， 在此，谨向老师 和同学们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 因为他们我对这次课程设计有了深刻的 印象，虽然只有短暂的一周，但在这期间，却让我受益匪浅，我

28、深刻地认识到了 “理论联系实际”这句话的重要性与真实性。11基于双线性变换法的 IIR 数字高通滤波器设计参考文献1程佩青，数字信号处理 . 北京：清华大学出版社 ,2007.22景振毅，张泽兵，董霖 . 北京：中国铁道出版社， 2008.123从玉良 .数字信号处理原理及其 MATLAB 实现M. 北京：电子工业出版社.2009.74胡广书.数字信号处理理论、 算法与实现 M. 北京：清华大学出版社 .2003,85刘波 MATLAB信号处理北京：电子工业出版社， 20066施阳等 MATLAB语言工具箱西安：西北工业大学出版社， 19997丁玉美数字信号处理西安电子科技大学出版社 第二版8倪养华数字信号处理与实现上海：上海交通大学出版社， 19989张葛祥，李娜 MATLAB仿真技术与应用北京：清华大学出版