初中图形计算器校本教材

1、第一讲 幂函数我们将学到什么通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法；为什么学习本讲内容学会分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；能够培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程.也在学习的过程中体会信息技术让研究有了落脚点，信息技术让数学更加真实有趣。问题一： 阅读教材p77的具体实例（1）-（5），思考下列问题子问题1：它们的对应法则分别是什么？子问题2：以上问题中的函数有什么共同特征？子问题3：共同辨析这种新函数与指数函数的有什么不同？子问题4：给新函数命名，明确研究对

2、象。问题二：幂函数的共同规律是什么？（一）动手操作，初次探究:在这个环节中引导学生先共同研究引例中的幂函数，讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。利用图形计算器通过画图，探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中，在研究过程中， 分别记录它们的图象与性质，分析归纳总结其中之间联系，并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索. （二） 深入探究，归纳分类在这一环节中教师请学生尝试不同的幂函数，小组为单位，分类的方式，将他们研究的幂函数从形态上看不同的图象分别画到黑板上，在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下，最终得到了九种不同形态的图象.由教师补充了学生遗漏的y=x的图象，最后

3、黑板上一共展示了十种不同形态的幂函数的图象. 心理学告诉我们：“兴趣是人们对事物的选择性态度，是积极认识某种事物或参加某种活动的心理倾向它是学生积极获取知识形成技能的重要动力” 兴趣之根本在于它是使得学生知识的形成是主动式的，而非传统的被动式形成；其次是使用图形计算器更能直观、形象、动态的展示知识的形成过程，在解决某些数学问题时，有利于启迪学生的思维，让学生去寻找解决问题的途径和方法。（三）总结提练、提高能力子问题5：在得到了十种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？1.学生提出根据幂指数的不同范围分1，01，

4、-10，1时，幂函数的图象具有相同的共性.此时教师引导学生观察图象，说明1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.（2）在共同讨论-10和1，01，1)或缩短(0a1)或伸长(0刹车距离才安全）影响刹车距离的最直接因素又是什么呢？ 问题一：我们对车速与刹车距离进行分析，明确了它们之间存在一定的数量关系，但是在实际驾驶过程中我们又不可能时时去查看表格中的数据来确认与前车是否保持了安全车距，特别是我们手里只有7组数据，

5、如果我们想知道以交管部门允许的最高时速70km/h（约19.4/s）在城市道路上行驶，至少应与前车保持多大的距离，该怎么办呢？（画出数据的散点图-拟合散点建立函数模型）车速（m/s）8.913.417.922.426.831.335.8刹车距离（m）12.822.435052.775.6104.9141.4探索实践 散点图 二次回归 三次回归 四次回归 指数回归1 指数回归问题二：之前给同学们布置了一项作业：搜集与“正常行驶中，如何与前车保持安全车距”相关的说法、规则或结论，各组同学有什么收获吗？（展示学生搜集到的“正常行驶中，如何与前车保持安全车距”的相关规则与结论）（一）预案：“一车长度规

6、则”：美国的某些司机培训课程中有这样的规则：在正常驾驶的条件下，车速每增加16km/h（即4.4m/s），后车与前车的距离应增加一个车身长度约4.5m；“2秒规则”：而另一种所谓计算安全刹车距离的简便方法是“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数至少2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。“等时速规则”：还有一种“等时速规则”认为，一般多少公里时速下就保持多少米的跟车距离，如80公里时速，保持80米的前后车间距离。试结合我们刚刚建立的函数模型，判断同学们搜集到的说法和规则来确定安全车距的方法一样吗？在驾驶时遵循这些规则真的足够安全吗？（以下数据仅以二次回归为例）设计意图：在解决问题的每

7、一个环节上，用问题引领学生进行探索，使学生在整个学习过程中充满着数学的观察、数学的思考，同时也将学生始终置于“问题场”的情景中，体现以问题为载体的数学学习的过程，使学生认识到数学与生活的紧密联系，从而体会数学应用的价值。由于数据的特点，用图形计算器更易解决安全刹车距离的相关问题第一种“一车长度规则”：车速每增加4.4m/s，后车与前车的距离应增加4.5m，这表明车速与前后车距成正比例关系。设y表示车距，x表示车速，则有，即 当前后车距大于刹车距离的理论值就足够安全由图形计算器显示显示可知：不管车速为多少时，车距都小于实际刹车距离，所以这种建议基本不适用与我们国家。第二种“2秒规则”：汽车间隔只

8、需要保持在以汽车现实速度行驶2秒的距离内，这表明车速与前后车距成正比关系。设y表示车距，x表示车速，则有由图形计算器显示数据可知：当车速不超过18.8m/s时，汽车的间隔只需要保持在以汽车现时速度行驶2秒的距离内是安全的。第三种“等时速规则”：一般多少公里时速下就保持多少米的跟车距离，这表明车速与前后车距成正比关系。设y表示车距，x表示车速，则有由图形计算器显示数据可知：当车速不超过33.14m/s（119.27km/h）时，按照此规则行驶是安全的,而这个速度接近我国最高等级的高速路的法定最高时速120km/h，因此这一规则在正常行驶中相对比较合理。既然有些规则并不十分合理，你是否能对已有规则

9、进行修改或自己制定一个更合理的规则呢？（学生分组讨论，设计探究合理方案）（二）方案一：“t秒法则” 车速（m/s）18.828.136.4 车速（km/h）07070100100130 时间t （s）234（方案二）：确认车距法则车距（m）50100150200 车速（m/s）21.830.536.942.2 车速（km/h）08080110110130130150 分析误差我们通过分析数据制定的安全刹车距离的法则，与实际刹车距离的真实情况会存在一定的误差，你能分析一下产生误差的原因吗？（1） 没有考虑各种不同型号汽车之间的差异，以及司机的驾驶经验及习惯；（2） 没有考虑汽车转弯等情况；（3）

10、 没有考虑天气不良情况以及路况差异。 引起误差的原因很多，我们抓住了影响刹车距离的主要因素车速，忽略了影响问题的许多次要因素。设计意图：由于实际问题中误差是难以避免的，如果偏差很大，得不到较满意的数学模型。通过对误差客观的分析，得到相对准确的数据。同时这也是实际问题解决过程中必不可少的一步。（三）总结提炼，提高能力1、解决这个问题的基本想法你能概括一下吗？（面对现实生活中的实际问题，我们先搜集数据，影响问题的因素很多，我们忽略次要因素，提炼主要因素，借助手持技术或科学计算器，迅速找出较满意的数学模型，从而解决实际问题。）2、通过这个问题的解决你有什么收获？有什么想法？ 第五讲 简单的线性规划问

11、题 我们将学到什么本节进一步熟悉线性规划的方法和思路，并会应用它来解决生产和饮食方面的实际问题。为什么学习本讲内容 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 本讲以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以图像计算器作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。问题一（一） 设置情境，呈现问题2013年10月31号以来，吉林

12、省松原市前郭尔罗斯不断发生4-5级地震，身处长春的我们也感受到了震感。地震这一自然灾害给我们的生产生活带来了很大的不便和困扰，2013年4月20日雅安地震是最让我们触目惊心的，灾后重建牵动着全国人民的心。长春某企业积极响应长春市对口支援芦山县重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元并且对两者的建设面积都不低于1000平方米请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的

13、面积最大？最大面积为多少？学生活动1：你能分析出哪些数据，试着说明。学生活动2：你打算用什么样的方案去解决这个问题？【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 建立数学关系式 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理加以指导】（二）探索实践，寻找模型【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】针对“

14、问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察设建设中学教学楼面积为x百平方米，zxy建设小学教学楼面积y百平方米，建筑总面积为z百平方米 z xy满足： 学生活动3：学生合作交流，进行自主探究 预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算xy 的值进行比较，容易猜想出使z取得最大值的点的位置 预案二：让学生思考使z取某个特殊值（如60）时点的位置部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线xy =60与所画区域的交集可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z的几何意义：把目标函数化成的形式，这表示

15、一组平行直线，而z表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线的纵截距最大时，z取最大值 说明：（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答；（2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识；（3） 教师巡视观察，适当点拨；（4） 教师配合学生的探究结果，利用“classpad 300计算机模拟软件”动态演示（三）结合问题，介绍概念 结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念： （1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）； （3）线性规划问题； （4）可行解、可行域、最优解现实问题 现实模型 改造函数模型 抽象 概括解析式图 形函数模型的解数学 方法还原 说明现实模型的解是

16、否符合实际 修改（四）总结提炼，提高能力（五）延时探究请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究，并将各组的结果（无论成与败）制成ppt在下节课上进行交流。食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物获取0120 kg的碳水化合物，0024kg的蛋白质，不超过0032kg的脂肪现有两种食物a和b，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：碳水化合物(kg)蛋白质(kg)脂肪(kg)价格(元)a (1kg)0120002000206b (1kg)0096003200208为满足上面的饮食要求，并且食物a至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？说明

17、：(1)借助练习，落实知识的掌握；(2) 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念.(六) 回顾历史，感受文化“线性规划之父” “丹齐克 “数学的战争” “波斯湾战争”说明：通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值第六讲 椭圆及其标准方程我们将学到什么理解椭圆的定义, 能正确推导椭圆的标准方程,学会用坐标化的方法求动点的轨迹方程为什么学习本讲内容由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教

18、材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上问题一：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征(一) 设置情境，呈现问题2010年10月1日18时59分57秒，搭载着嫦娥二号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射。这标志着我国航天事业又上了一个新的台阶，这是中国人的骄傲。请问：“嫦娥二号”绕地球飞行的轨道是什么？（课件演示轨道图） （二）探索实践，寻找模型前苏联教学论专家马赫穆托夫认为“ 问题教学”有两

19、种：教师有意地创设问题情境，组织学生的探索活动，让学生提出学习问题和解决这些问题（这种做法的问题性水平较高）；由教师自己提出这些问题并解决它们，在此同时向学生说明在该探索情境下的思维逻辑（这种做法的问题性水平较低）。(1)教师演示，引出研究思路教师将一圆圈朝一个方向用力压或拉，圆圈变成椭圆形状，说明圆和椭圆有着密切关系，由此点明可以像学习圆一样来学习椭圆。(2)学生分组试验教师指导学生利用casio图形计算器制作动态图像，程序开始运行后，随着p点的移动，|pf1|与|pf2|的长度在随时变化，但是它们的和是一个不变的数（始终等于两定圆半径的和）；而且可以随时按键暂停，再按键程序继续运行，这样一

20、来可以仔细观察图中数值的变化。通过实践与观察，学生很容易领悟这些数值哪些是变化的？哪些没有变化？ (图一) (图二) (图三) (图四)l 初步认识要求探讨问题系列一：（8） 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪些量不变？（9） 各变量之间有什么关系？“问题系列一”中的问题较浅显、易回答，其目的在于不仅使学生学会用数学的眼光认识自然与社会中存在的问题，而且增强学生学好数学的信心，提高学生学习数学的兴趣。l 深入探索要求进一步探讨问题系列二：（10） 选用一个适当的集合来描述点的轨迹。（11） 选用一个适当的坐标系（最好对称建系）来近似描述点的轨迹。（12） 给定2a和2c时，方程如何化简。（

21、13） 如果改变建系方式 呢？就（5）化简：这里带根式的方程的化简学生会感到困难，借助图形计算器可以这样完成这个步骤。把和的值分别存储在变量m 和n 中， （图五）把 和 的两边分别平方去根号。左边平方并展开得： (图六) (图七)即左边=2+2x2+2y2+2c2右边=4a2移项方程可变为2 =4a2-（2x2+2y2+2c2）把左右的值分别存储在变量m 和n中，则方程两边平方就可以去掉根号即方程可以写成m2-n2=0,下面可以直接用图形计算器化简出方程的左边一 (图八) (图九)即方程变为16（(a2 c2)x2+a2（y2 a2 +c2）=0 (a2 c2)x2+a2y2= a2 (a2

22、 c2) 设a2 c2=b2 (b0)，得b2 x2+ a2y2= a2b2 得设计意图：上述求解过程由教师带领学生共同完成。图形计算器在这个问题中的使用有利于学生更好地理解数学知识的本质，并且可以拓宽学生的视野，从而激发学生的思维与兴趣。(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程师生互动：引导学生借助化归思想，抓住图形间的联系，化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化点在为焦轴上的椭圆的标准方程。设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动。 “问题系列二”中的问题在“系列一”的基础上逐步加深，从问题的表征向内延深入，再向外延扩展，揭示数学的应用价值。在多处同时应用代数法

23、和图像法来解题，让学生亲身体验这两种方法的不同特点，从而提高何时用何种方法更好的判断能力。在多处使用信息技术帮助探究，提高效率，形象直观，加强感受。在一系列问题的解答过程中，使学生经历数学建模全过程的学习，提高数据的收集、分析和加以应用的能力，学会“数学问题的解”应该回到实践中去接受检验，不断地修正和完善，从而得出具有较高精度和一定指导价值的结论。（三）回归现实，提出问题数学应用巩固新知例1、下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明、，写出焦点坐标设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握。例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是（-4,0）、（4,

24、0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.解：由已知得：c=4，且长轴在x轴，短轴在y轴，2a=10，则b=3变式一：将上题焦点改为（0,-4）、（0,4），结果如何？变式二：将上题改为两焦点距离为8 ，椭圆上一点p到两焦点距离的和等于10 ，结果如何？解：此题有两解，分析后可以要求学生用图形机画图验证当焦点在x轴上时： （图十） （图十一）当焦点在y轴上时： （图十二） （图十三）设计意图：体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯。另外，用图形机辅助绘图，可以让学生更加深入地理解图形及其之间的联系。例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是f1（0,-2）、f2（

25、0,2），并且经过点p解：方法一：（待定系数法）由已知得：c=2，且长轴在y轴，短轴在x轴又a2=b2+c2，可得a2=b2+4，代入p点坐标，整理得2b4-9b2-18=0解得b2=6，则a2=b2+4=10输入数据： 绘图： （图十四） （图十五）方法二：（定义法） ， ， b2=a2-c2 （图十六）解得：a2=10, b2=6设计意图：分析两种解题思路，体会用待定系数法、定义法求椭圆的标准方程。（四）总结提练、提高能力（五）回顾反思归纳提炼1知识点：椭圆的定义及其标准方程2数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程3数学思想：数形结合思想、化归思想（六）课后作业，巩固提高1.(1)已知方程

26、表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 . (2)已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 . (3)方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：表示一个圆；表示一个椭圆；表示焦点在x轴上的椭圆。设计意图：层层递进，环环相扣，使学生更加深刻地理解椭圆概念。（五）延时探究请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究，并将各组的结果（无论成与败）制成ppt在下节课上进行交流。1.将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线？设计意图：将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆；利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常

27、用的方法，可以用图形计算器画图分析。2.已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一定点b(3，0)，动圆p过b点且与圆a内切，求动圆心p的轨迹方程设计意图：体会定义法求轨迹方程，并为后续进一步研究椭圆的性质做好铺垫，可以用图形计算器画图分析。这一过程是探究活动在时间上的延续，是对课堂学习的必要补充。第七讲 直线与双曲线的位置关系我们将学到什么 利用casio图形计算器的“动态图”功能使我们能够深入认识和理解与双曲线有且仅有一个公共点的直线的位置特征，以及与双曲线有两个公共点、没有公共点的直线的位置特征为什么学习本讲内容直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，是在解析几何教学中渗透方

28、程思想与数学结合思想的重要载体学生在运用方程思想研究直线与双曲线的位置关系时，还需对消元后的方程的二次项系数等于零或不等于零进行分类讨论才能确定方程实数根的个数，而这恰好是学生的薄弱点。如果运用数形结合思想研究直线与双曲线位置，我们看到一条双曲线是由两支不封闭曲线组成的，并且双曲线有两条渐近线，这使我们在判断时会感到困难，而且研究直线与双曲线的位置关系对于之后学习直线与抛物线的位置关系很有帮助这种位置的直观呈现，非图形计算器是无法实现的。问题一：已知直线：与双曲线：（1）若与有两个公共点，求实数的取值范围；（2）若与有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（3）若与没有交点，求实数的取值范围；（

29、4）若与交于同一支上不同的两点，求实数的取值范围； （5）若与交于不同支上的两点，求实数的取值范围问题二：直线与双曲线的位置关系由哪些因素决定？(一) 设置情境，呈现问题学生动手，运用方程思想采用消元的代数方法求解，对消元后的方程的二次项系数等于零或不等于零进行分类讨论确定方程实数根的个数。（二）探索实践，寻找模型学生再次动手，分组进行：一组运用数形结合思想，作图讨论，结合方程确定公共点个数。另一组运用图形计算器研究。l 初步认识我们用casio图形计算器动态演示，帮助学生加深理解与认识为了使学生看清图像，我们可以将窗口适当设置（图1)接着我们输入双曲线的关系式与（蓝色）, 再输入渐近线的关系

30、式与（红色），再输入关系式与（绿色），再输入关系式与（紫色），最后输入动直线关系式（黑色）（图2）然后我们对动态变量作参数和速度设定（图3）我们画出双曲线的渐近线、过点与渐近线平行的直线和过点与双曲线相切的直线，目的是以它们为参照观察直线与双曲线的交点的情况（图4）通过观察演示的动态过程，学生们发现要判断直线与双曲线的位置关系关键是先找到直线与双曲线有且仅有一个公共点的情形，然后以此为参照可以确定其他位置图1图2图3图4（4）方程必须要有两个不等的同号实根，解法1：解法2：图解法，我们可以请学生运用数形结合的思想，利用casio图形计算器，选择第一象限的情况重点显示，在之前的演示中隐去关系式（

31、图5），动态变量的设定和窗口作相应调整（图6），作出动态图可以知道符合条件（图7）同理也符合条件，两者取并集我们就可以得到答案图5图6图7（5）方程必须要有两个不等的异号实根，解法1：解法2：图解法，类似于第（4）小题，在之前的演示中隐去关系式（图8），动态变量的设定和窗口作相应调整（图9），作出动态图可以答案是符合条件（图10）图8图9图10学生小结：今后我们要判断直线与双曲线的位置关系时，可以先找到直线与双曲线有且仅有一个公共点的情形，然后以此为参照确定其他位置的情况教师小结：因此我们在判断直线与双曲线的位置关系时，可以先研究经过某定点且与双曲线仅有一个公共点的直线有几条，它们与双曲线又是

32、怎样的关系就很重要思考教师提问：在第（2）小题中我们看到，经过定点与双曲线：仅有一个公共点有四条直线，其中两条是切线，另两条是与渐近线平行的直线请问，如果我们改变动直线经过的定点位置，那么与双曲线：仅有一个公共点的直线会有几条，它们与双曲线分别是怎样的关系？请学生们利用casio图形计算器的动态演示功能，分小组研究讨论l 深入探索一小组选取了定点，输入关系式与（蓝色）, 再输入动直线关系式（黑色）（图11），并且对动态变量作参数和窗口设定（图12），最后作出动态图（图13）学生发现经过定点与双曲线：仅有一个公共点有两条直线，其中一条是切线，另一条是与渐近线平行的直线教师问：定点在什么区域？学生答：在不含焦点的区域内，并且在渐近线上图11图12图13（三）回归现实，提出问题对于定点在不同区域时直线与双曲线位置进行讨论，从特殊到一般进行分析。通过以上研究讨论，请大家思考过一定点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数与定点所在位