第二章 测量误差及数据处理

1、第第2 2章章误差的基本理论分析误差的基本理论分析本章主要内容1 1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2 2 表达误差的几种形式表达误差的几种形式 3 3 误差的性质和分类误差的性质和分类 4 4 有效数字有效数字 5 5 系统误差的矫正系统误差的矫正6 6 随机误差的统计学原理随机误差的统计学原理7 7 粗大误差的剔除粗大误差的剔除8 8 误差的合成误差的合成9 9 数据的一元线性回归分析数据的一元线性回归分析10 10 测量结果的表达形式测量结果的表达形式测量误差的基本概念测量误差的基本概念基本名词基本名词真值真值（True Value） ：被测量本身客观存在的实际值。被测量本身客观存

2、在的实际值。真值是客观存在，但是不能测量的。真值是客观存在，但是不能测量的。计量和测量中，经常使用计量和测量中，经常使用“理论真值理论真值”、“约定真值约定真值”和和“相对真值相对真值”的概念。的概念。理论真值：理论真值：理论上存在、计算推导出来。如：三角形内角和理论上存在、计算推导出来。如：三角形内角和180约定真值：约定真值：按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高水平所复现的单位基准。一般以法律形式规定的。水平所复现的单位基准。一般以法律形式规定的。如：国际千克基准如：国际千克基准相对真值：相对真值：在满足规定准确度时用来代替真值使用的

3、值。在满足规定准确度时用来代替真值使用的值。利用利用高一等级精度高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值的仪器或装置的测量结果作为近似真值标准仪器的测量标准误差标准仪器的测量标准误差5 项可忽略项可忽略用于数字仪表，用于数字仪表，n个字表示仪表末位数字个字表示仪表末位数字代表测量值的代表测量值的n倍（分辨力的倍（分辨力的n倍）倍） 某四位半数字电压表，量程为某四位半数字电压表，量程为2V2V，工作误差为，工作误差为 = = 0.025% 0.025% U UX X 1 1个字，个字，用该表测量时，读数分别为用该表测量时，读数分别为0.0012V0.0012V和和1.9888V1.9888

4、V，试求两种情况下的绝对，试求两种情况下的绝对误差和相对误差。误差和相对误差。解：四位半表解：四位半表 分辨率为分辨率为0.0001V0.0001V1.999941(0.025%0.00120.00011)1.003010V 【例】41111.0030 10100%100%8.36%0.0012xA42(0.025% 1.98880.0001 1)5.9720 10 V 42225.9720 10100%100%0.030%1.9888xA测量误差的分类测量误差的分类 1 1 系统误差系统误差(Systematic Error)(Systematic Error) 2 2 随机误差随机误差(

5、random error )( random error )3 3 粗大误差粗大误差(Gloss Error) (Gloss Error) 根据测量误差的性质，测量误差可分为根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：类：系统误差系统误差在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差，简称系差。律变化的误差，称为系统误差，简称系差。定义：定义：来源：来源： 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得在重复性条件下，

6、对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，简称系差。结果的平均值与被测量的真值之差，简称系差。 定量定义：定量定义：()0nAA 基本误差基本误差:测量设备不准确或准确度等级不高。测量设备不准确或准确度等级不高。 附加误差附加误差:超过正常工作范围带来的误差。超过正常工作范围带来的误差。 理论误差（方法误差）理论误差（方法误差）:测量方法、理论不完善所带来的误差。测量方法、理论不完善所带来的误差。 人员误差：人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误 差。差。系统误差特征系统误差特征系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实

7、际值的程系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。大小、方向恒定不变或按一定规律变化大小、方向恒定不变或按一定规律变化可再现，可以预测可再现，可以预测用理论分析、实验验证查找原因用理论分析、实验验证查找原因 可修正可修正测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。量结果的平均值之差。定义定义定量定义：定量定义：在相同测量条件下在相同测量条件下, ,多次测量同一量值时（多次测量同一量值时（等精度测量等精度测量），绝），绝对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为

8、偶然误对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为偶然误差，简称随差。差，简称随差。 来源：来源：测量装置本身因素；测量装置本身因素；信号处理电路的随机噪声等信号处理电路的随机噪声等实验环境的偶然性微小变化实验环境的偶然性微小变化：温度波动、噪声干扰、电：温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、空气扰动、大地微震等空气扰动、大地微震等人为因素：人为因素：人员测量人员感官等人员测量人员感官等（对测量值影响微小但却互不相关的大量因素对测量值影响微小但却互不相关的大量因素）随机误差随机误差iiAA()n 例：对一不变的电

9、压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。在测量中，随机误差是不可避免的。n单次测量的随差没有规律，随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正;n多次测量，测量值和随机误差的总体服从概率统计规律;n可用概率统计的方法处理测量数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。随机误差特征随机误差特征随机误差和系统误差特性随机误差和系统误差特性系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一常数（平均值）附近。测量准确度高意味着系统误差

10、和随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 粗大误差粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。忽误差、过失误差或简称粗差。 定义：定义：来源：来源：某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）

11、。雷电干扰、机械冲击和振动等）。注意：注意：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。常值）予以剔除。有效数字有效数字有效数字基本概念有效数字基本概念 定义定义1 1：考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。 定义定义2 2：由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或可疑值外，其它数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效可疑值外，其它

12、数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效数字数字测量结果保留有效位数的原则：测量结果保留有效位数的原则： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 数字舍入规则数字舍入规则 计算和测量过程中，需要对多位的近似数进行取舍，应计算和测量过程中，需要对多位的近似数进行取舍，应按照下述原则进行舍入处理：按照下述原则进行舍入处理：大于大于5 5进一：进一：若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位数加位，则末位数加1 1。小于小于5 5舍去：舍去：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单若舍去部分

13、的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位数减位，则末位数减1 1。1.1. 等于等于5 5应用偶数法则：应用偶数法则：若舍去部分的数值等于保留部分末位若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数的半个单位，当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位时则末位加加1 1。 数据记录、运算的准确性要和测数据记录、运算的准确性要和测量的量的准确性相适应！相适应！ cm674. 1 xcm04. 0 xcm04. 067. 1 x误差一般只取一位有效数字（特殊情况下误差一般只取一位有效数字（特殊情况下最多取两位有效数字），测量结果的末位最多取两位有效数字），测量

14、结果的末位数应与误差的末位数对齐数应与误差的末位数对齐 有效数字有效数字: :所有准确数字和一位欠准确数字所有准确数字和一位欠准确数字 cm?04. 0674. 1 x数学：2500. 025. 0 物理测量：cm00.25m25.0 有效数字位数越多，测量精度越高有效数字位数越多，测量精度越高系统误差的削弱和消除系统误差的削弱和消除系统误差的特征和分类系统误差的特征和分类 c a 0 t 多种系统误差的特征多种系统误差的特征 其中：其中：a-不变系差不变系差 b-线性变化系差线性变化系差 c-周期性系差周期性系差 d-复杂规律变化复杂规律变化系差系差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时

15、，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。1）消除系统误差产生的原因）消除系统误差产生的原因2）引入修正值进行校正）引入修正值进行校正(最适合测量仪表使用者最适合测量仪表使用者)3）利用特殊的测量方法消除）利用特殊的测量方法消除系统误差的削弱或消除的方法系统误差的削弱或消除的方法最理想最基本最理想最基本的方法的方法1)1)从产生系统误差的来源上消除从产生系统误差的来源上消除基本误差：基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；所用量具选择准确度等级高的仪器设备；所用量具仪

16、器是否处于正常工作状态，是否经过检定，检定证仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，检定证书是否在有效期内；书是否在有效期内；附加误差：附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下，使仪器设备工作在其规定的工作条件下，如温度、振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预如温度、振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预热以消除仪器设备的附加误差；热以消除仪器设备的附加误差；方法误差和理论误差：方法误差和理论误差：所采用的测量方法和计算方法所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设是否正确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤；计正确的测量步骤；人员误差：人员

17、误差：提高测量人员的测量素质，改善测量条件提高测量人员的测量素质，改善测量条件( (选用智能化、数字化仪器仪表等选用智能化、数字化仪器仪表等) )。注意避免测量人员。注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等方法：方法：预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。修正值误差修正值误差=

18、 =（测量值真值）（测量值真值）实际值（实际值（A A）测量值（）测量值（A Ax x）修正值（）修正值（C C）2 2）用修正方法减少系统误差）用修正方法减少系统误差注意：注意：在某些自动测量系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，在某些自动测量系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对测量结果中的系统误差自动进行修正。这样可对测量结果中的系统误差自动进行修正。修正值修正值C 由计量部门检定时给出由计量部门检定时给出 修正值的获取方法修正值的获取方法1）仪表的检定证书给出。）仪表的检定证书给出。2）通过理论推导求取。）通过理论推导求取。abEIRAabAxxxababRRRIIII

19、RR xabAEIRRAIxabRCIR【例例】电流表测电流电流表测电流不计电流表内阻：不计电流表内阻：计及电流表内阻：计及电流表内阻：则：则：修正值：修正值：ERab+IARA被测等效电路被测等效电路修正值的获取方法修正值的获取方法3）通过试验求取。）通过试验求取。 通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律校正按规律校正对不断变化的系统误差：对不断变化的系统误差：对有规律的系统误差：对有规律的系统误差： 现测现修现测现修 （如零点误差、增益误差等）（如零点误差、增益误差等）（如温度、湿度、频率修正等）（如温度、湿度、频率修正等） 注意注意1

20、 1： 由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差。 注意注意2 2：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明显了，往往可以把它们统归成偶然误差来处理。显了，往往可以把它们统归成偶然误差来处理。 消除系统误差的几种主要测量方法：消除系统误差的几种主要测量方法：替代法替代法交换法交换法差值法差值法 对称测量法对称测量法 正负误差补偿法正负误差补偿法迭代自校法迭代自校法 3 3）采用特殊的测量方法

21、）采用特殊的测量方法替代法替代法替代法主要用于替代法主要用于消除定值系统误差消除定值系统误差，操作方法：操作方法：在测量条件不变的情况下，用一已知的标准在测量条件不变的情况下，用一已知的标准量去替代未知的被测量，通过调整标准量而保持替代前量去替代未知的被测量，通过调整标准量而保持替代前后仪器的示值不变，结果后仪器的示值不变，结果标准量的值等于被测量值标准量的值等于被测量值。 替替 代代 法法 的的 测测 量量 原原 理理xs0 0- - v v+ + v v2 2K KK K1 1（ b b ) ) 零零 示示 法法( ( a a ) ) 偏偏 转转 法法xs0 0- - v v+ + v v

22、2 2K KK K1 1r r 测量某未知电阻测量某未知电阻R，要求误差小于，要求误差小于0.1%。1）首先将它接入一个电桥中）首先将它接入一个电桥中(如图如图)，该电桥的误差，该电桥的误差为为1%。调整桥臂电阻。调整桥臂电阻R1、R2 使电桥平衡；使电桥平衡；2）取下）取下 Rx ，换上标准电阻箱，换上标准电阻箱 R5 (电阻箱为电阻箱为0.1级级)。3）保持）保持R1 、R2 不动，调节不动，调节 R5 的大小，使电桥再的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻次平衡，此时被测电阻 Rx=R5 。 只要测量灵敏度足够，根据这种方法测量只要测量灵敏度足够，根据这种方法测量Rx 的准确度与标准电阻箱

23、的准确度相当，而与检流计的准确度与标准电阻箱的准确度相当，而与检流计G 和电阻和电阻R1 、R2的恒值误差无关，因此可以满足测的恒值误差无关，因此可以满足测量要求量要求【例】电桥法测电阻通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良好。换法可检查其对称性是否良好。第一次平衡第一次平衡 第二次平衡第二次平衡 上两式相乘、开方得：上两式相乘、开方得：12121()2xWW

24、WWW11 2xW lW l 22 1xW lW l ( (a a) ) 天天平平称称重重xWW1l1l2xWW2l1l2交换法交换法例：在电桥中采用交换法测电阻12121()2xssssRRRRR交换法交换法随机误差的处理 测量误差的数学表达测量误差的数学表达 根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差和和随机误差随机误差，即，即 A=+=Ax-A0在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计

25、系统误差即可。差即可。在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即即00。只需处理随机误差。只需处理随机误差。 无系差等精度测量：无系差等精度测量：不考虑系统误差，各种测量因素都相同不考虑系统误差，各种测量因素都相同的测量。的测量。随机误差统计特性随机误差统计特性 随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有下列特性：计规律，总的来说随机误差具有下列特性：有界性有界性(2)单峰性单峰性(3)对称性对称性(4) 抵偿性抵偿性1lim0nini()xfx概率

26、分布密度函数概率分布密度函数设随机变量设随机变量x的值位于的值位于-与与x之间的概率是之间的概率是x的函数的函数F(x)：()()dxFxfxx则称则称F(x)为为x的概率分布函数的概率分布函数； 称称f(x)为为x的概率分布密度函数的概率分布密度函数 ；211221()()( )dxxP xxxF xF xf xx为为x在在x1,x2之间的概率。之间的概率。 式中式中 和和2 2随机误差随机误差的标准差和方差的标准差和方差 22/ 2()1()()2e 随机误差的正态分布随机误差的正态分布实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律，实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律，其概率密

27、度函数为：其概率密度函数为：测量中的随机误差通常是测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和多微小误差的总和。中心极限定理：中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？差大多接近正态分布？随机误差的非正态分布随机误差的非正态分布常见的非正态分布：常见的非正态分布

28、： 均匀分布均匀分布 t t分布分布 三角分布三角分布 反正弦分布反正弦分布 特点特点：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在 该区域外随机误差出现的概率为零。该区域外随机误差出现的概率为零。 均匀分布的概率密度函数均匀分布的概率密度函数()()为：为： 式中式中 a随机误差随机误差的极限值。的极限值。)|(|0)(21)(aaaa仪器度盘刻度差引起的误差；仪器度盘刻度差引起的误差；仪器最小分辨率限制引起的误仪器最小分辨率限制引起的误差差数字仪表的量化数字仪表的量化( (1)1)误差误差数字计算中的舍入误差数字计算中的舍入误差对于一些只知道

29、误差出现的大对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。布的误差对待。 均匀分布均匀分布 特点：特点：主要用来处理小样本主要用来处理小样本( (即测量数据比较少即测量数据比较少) )的测量数据。的测量数据。( (正态分布理论只适合于大样本的测量数据正态分布理论只适合于大样本的测量数据) ) t t分布的概率密度函数分布的概率密度函数(t)(t)为为 ： 222()2( ,)(1)()2nktt kkkk和标准正态分布的图形类似；和标准正态分布的图形类似；特点是分布与标准差的估计值特点是分布与标准

30、差的估计值无关，但与自由度无关，但与自由度(n-1)(n-1)有关；有关；当当n n较大较大(n30)(n30)时，时，t t分布和正分布和正态分布的差异就很小了，当态分布的差异就很小了，当nn时，两者就完全相同了时，两者就完全相同了。t t分布（学生分布）分布（学生分布）1kn（自由度）（自由度）随机变量的数字特征随机变量的数字特征1()()1xnM AniniA测量次数测量次数1( )()10nMnini 00( )()()()xxMM AM AM AA随机变量数学期望随机变量数学期望: :01()()1xnM AAniniA 测量数据的测量数据的数学期望数学期望被测量的真被测量的真值值无

31、数多次测无数多次测量的平均值量的平均值随机误差补偿特性随机误差补偿特性: :0 xAA由由得得被测量量值被测量量值数学期望数学期望: 体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。随机变量的数字特征随机变量的数字特征 方差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 设随机变量设随机变量A A的数学期望为的数学期望为M(A)M(A)，则，则A A的方差定义为：的方差定义为： 2221111()()()nniiiDAAAMAnn 物理意义物理意义： 数据信号偏离期望值的程度，也是信号能量的一种表示。数据信号偏离期望值的

32、程度，也是信号能量的一种表示。 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 标准偏差标准偏差定义为：定义为：211()niiD Ann 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且并且与随机变量具有相同量纲与随机变量具有相同量纲。标准偏差意义标准偏差意义标准偏差是代表测量数据标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度和测量误差分布离散程度的特征数。的特征数。标准偏差越小，则曲线形标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据线形状越平坦，说明数据越分散。越分

33、散。123正态分布的统计特性参数正态分布的统计特性参数正态分布误差的数学期望为：正态分布误差的数学期望为：方差为：方差为：221( )( )exp()022Mdd 2222221( )(0)( )exp()22DMdd 02aaMda322a3aaa21)(fa图 2-5o数学期望：数学期望：标准差：标准差：方差：方差：平均分布的统计特性参数平均分布的统计特性参数 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需无穷多次无穷多次测量，但在实测量，但在实际测量中只能进行际测量中只能进行有限次有限次测量，怎么办？测量，怎么办？（1 1）有限次测量的数

34、学期望的估计值？）有限次测量的数学期望的估计值？（2 2）有限次测量的标准偏差的估计值？）有限次测量的标准偏差的估计值？ 对某量进行一系列无系差等精度测量时，由于存在随机误对某量进行一系列无系差等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，该测量列的差，因此其获得的测量值不完全相同，该测量列的最佳估计值最佳估计值是测量列的算术平均值是测量列的算术平均值，并作为最后的测量结果。，并作为最后的测量结果。 1211nniiAAAAAnn算术平均值原理算术平均值原理设设A1，A2,A3为为n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为:算术平均值特性算术平均值特性 若测

35、量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、，即满足无偏性、有效性、一致性和充分性。一致性和充分性。(1) 无偏性无偏性：估计值估计值 围绕被估计参数波动，且围绕被估计参数波动，且M( )M（A）。）。AAA(2) 有效性：有效性： 的波动幅度比单次测量小。的波动幅度比单次测量小。A(3)一致性：一致性： 随着测量次数增加，随着测量次数增加， 趋近于被测量参数趋近于被测量参数M(A) 。(4)充分性：充分性： 包含了样本的全部信息包含了样本的全部信息 。A有限次测量数据

36、的标准偏差的估计值有限次测量数据的标准偏差的估计值22111niin标准偏差的估计值标准偏差的估计值（实验标准偏差）实验标准偏差）：2111niin贝塞尔公式贝塞尔公式注意：注意：因为因为 ，所以，所以n n个剩余误差不是独立的，个剩余误差不是独立的，而只有而只有n-1n-1个独立变量。个独立变量。10nii 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按定义求得随一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按定义求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为此时的随机误差称为剩余误差（残余误差）：剩余误差（残余误差）：ii

37、AA方差的估计值方差的估计值：有限次测量数据的标准偏差的估计值有限次测量数据的标准偏差的估计值方差的实用算法方差的实用算法：221111() )1nniiiiAAnn方差的递推算法方差的递推算法：122121()1nnnnAAnn2n算术平均值的标准偏差的估计值算术平均值的标准偏差的估计值算术平均值的方差算术平均值的方差：算术平均值的标准差算术平均值的标准差：22 ( ) ( )AAn( )( )AAn测量列的方差估计测量列的方差估计测量列的标准差估计测量列的标准差估计平均值的方差估计平均值的方差估计 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量以算术平均值作为测量结果，结果，算术平均值也是随

38、机变量，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。结论结论2 2：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。倍。增加测量次数增加测量次数n n，可减少标准偏差，提高测量准确度。，可减少标准偏差，提高测量准确度。证明*22221111( )()()nniiiiAAAnn22211( )( )nAAnn()()AAnn 故：故：结论结论1 1：用平均值估计被测量比测量列任何一个数据估计可信。用平均值估计被测量比测量列任何一个数据估计可信。2221221()()()nAAAnn10n10时测量准确度增长缓慢：增加测量次数花费较大，时测量准

39、确度增长缓慢：增加测量次数花费较大，效果较小；此外，由于增加测量次数难以保证测量条件效果较小；此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。的恒定，从而引入新的误差。实际测量中，测量次数一般取实际测量中，测量次数一般取10201020次。若要进一步提高次。若要进一步提高测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。测量精度与测量次数的关系测量精度与测量次数的关系【例例】 用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得111

40、1个测量值的个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。解：计算平均值解：计算平均值 )( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii iiAA211 ()1.767()1noiixCn ()1.767 ()0.53()11oxxCn计算各测量值残差计算各测量值残差：标准偏差估计标准偏差估计： 平均值标准偏差估计平均值标准偏差估计：A置信度的概念置信度的概念表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数。表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数。 置信区间置信区间 M(

41、A)-K(A),M(A)+K(A)M(A)-K(A),M(A)+K(A)KK置信因子置信因子 置信概率置信概率 在置信区间内包含真值的概率在置信区间内包含真值的概率P P。 置信概率置信概率 可信度可信度置信度的物理意义置信度的物理意义：1 1 测量数据处于数学期望（真值）附近一个置信区间内的概率。测量数据处于数学期望（真值）附近一个置信区间内的概率。2 2 测量数据在一个置信区间内出现数学期望（真值）的概率。测量数据在一个置信区间内出现数学期望（真值）的概率。 测量结果的置信度测量结果的置信度置信区间下的置信概率置信区间下的置信概率可由置信区间对概率密度函数定积分求得：可由置信区间对概率密度

42、函数定积分求得：置信限：置信限： kk置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）()()(),()()MAkMAkP M AkM AkA dA置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积 k 测量结果的置信度测量结果的置信度分布和标准差一定，置信区间越宽，置信概率就越大。分布和标准差一定，置信区间越宽，置信概率就越大。置信区间一定，标准差越小，置信概率越大。置信区间一定，标准差越小，置信概率越大。置信概率一定时，标准差越小，置信区间越窄。置信概率一定时，标准差越小，置信区间越窄。置信度问题置信度问题（1 1）给定置信区间求置信概率。）给定置信区间求置信概率。（2 2）给定置信概率求计

43、算置信区间）给定置信概率求计算置信区间关键是确定置信因子关键是确定置信因子()( )kikP AM AkPkd 分布和置信因子确定后，则置信概率为：分布和置信因子确定后，则置信概率为：正态分布的置信概率正态分布的置信概率2211 ( )( )exp2( )( ) 2AM AAAA正态分布：正态分布：置信概率置信概率P：令：令：( )( )AM AZA202exp22()KPKZdZK正态分布的置信概率正态分布的置信概率当当k=3时时置信因子置信因子k置信概率置信概率P /(K)10.682720.954530.9973区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大注意：注意：误差的绝对值大于误差

44、的绝对值大于3 的概率只有的概率只有0.0027，可以认为不可，可以认为不可能发生的小概率随机事件。因此常把标准差的能发生的小概率随机事件。因此常把标准差的3倍作为正态分倍作为正态分布下测量数据的极限误差。布下测量数据的极限误差。2302(3 )exp0.997322ZPdZ置信因子置信因子K和置信概率和置信概率P/(K)(K)数值关系表格见表数值关系表格见表21。对某电阻作无系差等精度对某电阻作无系差等精度独立独立测量，已知测量数据测量，已知测量数据R R服从正态服从正态分布，且标准差是分布，且标准差是0.2 0.2 ，试求被测电阻落在，试求被测电阻落在RRi i-0.5, -0.5, Ri

45、+0.5 的概率。的概率。解：已知解：已知 0.2 0.2 , K , K =0.5 =0.5 /0.5/0.22.5KK 所以所以：由表由表21得：得：0876iiP RRR【例1】对某电压作无系差等精度独立测量，测量值服从正态分布，已对某电压作无系差等精度独立测量，测量值服从正态分布，已知被测量真值知被测量真值U U0 079.83V,79.83V,且标准差且标准差(U)=0.02V=0.02V ，试按，试按9999的可的可能性估计测量数据可能出现的范围。能性估计测量数据可能出现的范围。解：已知解：已知P P9999 0.99, 0.99, （U U）=0.02V=0.0

46、2V，U07979.83V83V所求置信区间所求置信区间：由表由表21查得置信概率为查得置信概率为0.99时对应的置信因子，为：时对应的置信因子，为：00,79.78,79.88UKUKV【例2】2.58K 由此可得测量值由此可得测量值Ui的出现范围的出现范围： 79.78Ui 该值应剔除。该值应剔除。 e.重新计算重新计算15次测量的次测量的 f.i35.30 , viRAA20 .4 4 31ivn3 ( )R35.21 ( ) 0.34RR0.34( )/0.0915 R=3 ( )35.210.27RnRR测量结果：【例】测量误差的估计测量误差的估计和测量结果的表示和测量结果的表示直接

47、测量的误差估计直接测量的误差估计已知仪表量程和准确度等级已知仪表量程和准确度等级，单次测量结果误差表示为：，单次测量结果误差表示为：%mAAa %mAxAraA 已知仪表的基本误差或容许误差（数字表）已知仪表的基本误差或容许误差（数字表） ，单次单次测量结果误差表示为：测量结果误差表示为： A 100%AxrA仪表基本误差或容许误差仪表基本误差或容许误差仪表准确度仪表准确度等级等级直接测量的误差估计直接测量的误差估计若进行了多次测量，则还应考虑随机误差的影响。若多若进行了多次测量，则还应考虑随机误差的影响。若多次测量的标准偏差的估计值为次测量的标准偏差的估计值为，则测量误差为：，则测量误差为：

48、(%)mAAaK ()AK 置信因子置信因子已知仪表量程和准确度等级已知仪表量程和准确度等级已知仪表的基本误差或容许误差已知仪表的基本误差或容许误差 问题：问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R R、端、端电压电压V V和电流和电流I I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？流的误差来推算功率的误差呢？误差合成的一般公式：误差合成的一般公式： 设测量结果设测量结果y y是是n n个独立变量个独立变量A1,A2，An的函数，即的函数，即 y=f(A1,A2,An) 与被测量有函

49、数关系的各个直接测量值与被测量有函数关系的各个直接测量值 y y 为间接测量值为间接测量值12,nA AA间接测量结果的误差估计（误差合成）间接测量结果的误差估计（误差合成）间接测量的误差估计间接测量的误差估计iiiyFCA 绝对误差传绝对误差传递系数递系数独立变量独立变量Ai的绝对误差的绝对误差Ai产生的绝产生的绝对误差分量对误差分量绝对误差合成一般公式绝对误差合成一般公式iyFri AirrC r相对误差传相对误差传递系数递系数独立变量独立变量Ai的相对误差的相对误差Ai产生的相对误产生的相对误差分量差分量相对误差合成一般公式相对误差合成一般公式* 重点是要确定误差传递系数重点是要确定误差

50、传递系数C和C。 函数总误差等于各误差分量的代数和函数总误差等于各误差分量的代数和 确定误差传递系数是误差合成的关键。传递系数确定的常用确定误差传递系数是误差合成的关键。传递系数确定的常用方法有方法有微分确定法、计算机仿真确定法和实验确定法。微分确定法、计算机仿真确定法和实验确定法。 (1)(1)微分确定法微分确定法 条件：适合于确切知道函数的关系式，已知条件：适合于确切知道函数的关系式，已知y=f(Ay=f(A1 1,A,A2 2,A,An n) ) 。 结论：结论：（2 2）计算机仿真确定法）计算机仿真确定法（函数关系复杂，不易求导的场合（函数关系复杂，不易求导的场合, ,特别是多变量隐特

51、别是多变量隐函数函数) )（3 3）实验确定法）实验确定法（不必知道函数关系，但需要控制误差量，难度较大）（不必知道函数关系，但需要控制误差量，难度较大） iAfCiiiAfACiln变量变量A Ai i对函数对函数y y的绝对误差传递系数的绝对误差传递系数等于等于y y对对A Ai i的一阶偏导数。的一阶偏导数。 变量变量A Ai i对函数对函数y y的相对误差传递系数，的相对误差传递系数，等于函数等于函数y y的对数对的对数对A Ai i的一阶偏导数乘的一阶偏导数乘以以A Ai i。 误差传递系数的确定误差传递系数的确定误差传递系数典型公式误差传递系数典型公式121212122112121

52、212nm12121 . y =x () y =x+xy y =xx2 . y =x y =xx+xx x3 . y = y =4 . y =xx y =n xxyrrxrrrmr电阻串联【例】测量结果的表示测量结果的表示在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差 各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和数和. .| | | |xA 测量结果的表示测量结果的表示如含有已定系统误差如含有已定系统误差 y y , ,测量结果可表示为：测量结果可表示为：ymYy ymymyYy 若若 y y0 0，即不

53、含有可修正系统误差，即不含有可修正系统误差 y y , ,测量结果可表示为：测量结果可表示为：mYy mmyYy 注意：注意：m m包括未定的系统误差和随机误差。包括未定的系统误差和随机误差。测量结果的表示测量结果的表示 测量结果应指明测量结果应指明置信因子置信因子K K的大小的大小或测量结果的概率分布或测量结果的概率分布及置信概率及置信概率P PmYy (P(P0.68)0.68)mYy mYy (P(P0.99)0.99)K=1K=2K=3测量结果置信概率测量结果置信概率P P0.950.95时不必注明，其它概率均在结果以括号给出。时不必注明，其它概率均在结果以括号给出。常见形式有：常见形

54、式有：测量单位只出现一次，且列于最后。测量单位只出现一次，且列于最后。有效值位数与误差大小相适应。有效值位数与误差大小相适应。注意：注意：测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤 1对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；2求出算术平均值3列出残差 ，并验证4按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值5按拉伊达准则或格拉布斯准则检查是否有粗大误差；6如有粗大误差，剔除粗大误差重新计算算术平均值和标准差；7计算算术平均值的标准偏差 ：8通过仪器的容许误差或准确度等级估计未定系统误差； niixnx11xxii 01 nii 2111niin()xnx测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤 9 9 置信区间

55、的估计。根据置信概率查表查得置信因子置信区间的估计。根据置信概率查表查得置信因子, ,可得可得极限误差极限误差 则置信区间为：则置信区间为：10 10 测量结果表示；测量结果表示；(mXx 单位）(Kx )m （ ）mmxx,【例例】 对某电压进行了对某电压进行了1616次等精度测量，测量数据中已记入修次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出正值，列于表中。要求给出P=0.997P=0.997时测量结果表达式。时测量结果表达式。（2）列出残差）列出残差 ，并验证，并验证iixx10nii（3）按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值）按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值162110.443416 1ii（4）按拉伊达准则检查是否有粗大误差有无）按拉伊达准则检查是否有粗大误差有无 ，