第10章振动与波动(习题与答案)

1、大学物理习题集第10章 振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。6. 理解机械波产生的条件。7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振

2、幅加强或减弱的条件。10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度 物体的振动加速度 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T称为周期，单位时间内完成的振动次数称为频率。周期与频率互为倒数，即 或 5. 角频率(也称圆频率

3、） 作谐振动的物体在2秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 或 6. 相位和初相 谐振动方程中（）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的在02范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A，其角速度等于谐振动的角频率，且t=0时，它与x轴的夹角为谐振动的初相，t=t时刻它与x轴的夹角为谐振动的相位。旋转矢量的末端在x轴上的投影点的运动代表着质点的谐振动。8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其动能 势能 机械能 9

4、. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅初相 （1）当两个简谐振动的相差时，合振动振幅最大，为，合振动的初相为或。（2）当两个简谐振动的相差 时，合振动的振幅最小，为，合振动的初相与振幅大的相同。10. 机械波产生的条件 机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振动的物体波源；第二，要有能够传播机械波的载体弹性媒质。11. 波长 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离（一个完整波的长度），它是波的空间周期性的反映。12. 周期与频率 波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周期的倒数称为频率，波源的振动频率也就是

5、波的频率。13. 波速u 单位时间里振动状态（或波形）在媒质中传播的距离，它与波源的振动速度是两个不同的概念。波速u、波长、周期T（频率）之间的关系为 14. 平面简谐波的波动方程 如果平面波沿x轴正向传播，则其波动方程为若波沿x轴的负向传播，则其波动方程为其中为坐标原点的初相。15. 波的能量 波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等：（1）在平衡位置处，动能最大，势能也最大； （2）在最大位移处，动能最小（为零），势能也最小（为零）；（3）当媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中：它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。(4) 当媒质质元从平衡位置运动到最大位移

6、处的过程中：它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。16. 波的干涉 满足相干条件（同频率、同振动方向且相位差恒定）的两列波的叠加，其规律是：（1）若两列波的相位差则合成振动的振幅有极大值：，为干涉加强（相长干涉）。（2）若两列波的相位差合成振动的振幅有极小值：，为干涉减弱，当A1=A2时，相消干涉。17. 驻波 无波形和能量传播的波称为驻波，它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成，是波的干涉中的一个特例。其振幅随x作周期变化，因而为分段的独立振动，有恒定的波腹和波节出现。习 题10-1 两倔强系数分别为k1和k2的轻弹簧串联在一起，下面接着质量为m的物体，构成一

7、个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为 k1 k2 m（A） （B）（C） (D) k m10-2 一倔强系数为k的轻弹簧截成三份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为(A) (B) (C) (D) 10-4 已知两个简谐振动如图所示。x1的位相比x2的位相x x1 x2O t (A) 落后 (B) 超前 (C) 落后 (D)超前 10-5 一质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：（A） （B） （C） （D） 10-7 一简谐振动曲线如图所示，则振动周期是： x(

8、m) 4 2 O 1 t(s) （A）2.62 s （B）2.40 s （C）2.20 s （D）2.00 s 10-8 一弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T1和T2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为和，则有：（A） T1 且 T2 (B) T1 且 T2 (C) = T1 且= T2 (D) = T1 且 T2 10-13 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示，若t = 0时，（1）振子在负的最大位移处，则初位相为 ；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为 ；(3) 振子在位移为处，且向负方向运动，则初位相为 。1

9、0-14 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示，x1的位相比x2的位相超前 。 x x1 x2 O t x（cm） 4 O 2 t(s) -2 10-18 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T= ，用余弦函数描述时，初位相= 。10-19 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：(SI)，(SI)。它们的合振动的振幅为 ；初位相为 。 x（cm） 10 O 2 t(s) -5 10-22 一简谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。10-25 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：，（SI）画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。10-26 两个

10、同方向的简谐振动的振动方程分别为：，（SI）求合振动方程。10-32 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动 (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。10-33 如图所示，一质量为m 的滑块，两边分别与倔强系数为k1和k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上，滑块m可在光滑水平面上滑动，O点为系统平衡位置，将滑块m向左移动到x0，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图示，则其振动方程为： k1 k2 m x0 O x（A） （B）（C） （D） 10-34一弹簧振子，当把它水平放置时，它作谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下面那种情况是正确的：（A）竖

11、直放置作谐振动，放在光滑斜面上不作谐振动。（B）竖直放置不作谐振动，放在光滑斜面上作谐振动。（C）两种情况都作谐振动。（D）两种情况都不作谐振动。 x（cm） A1 x1（t） A2 O t -A2 x2（t） - A1 10-36 两个同方向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅为 ，合振动的振动方程为 。10-37有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k。把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ，把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。10-41 已知一平面简谐波的波动方程为，（a、b为正值），则（A）波的频率为a。 （B）波的传播速度为。（

12、C）波长为。 （D）波的周期为。 y u=1m/s 0.5 2 3 x O 1 4 -0.5 10-42 一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 2s时的波形曲线如图所示，则原点O的振动方程为：（A）（SI） （B）（SI）（C）（SI） （D）（SI） 10-43 一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在时波形曲线如图所示。则坐标原点O的振动方程为： y u a x O b （A） （B）（C） （D） 10-48 一平面简谐波沿x轴正向传播，t = 0时刻的波形如图所示，则P处质点的振动方程为：y u=20m/s 0.10 0.05 P O 5 m x （A） （SI） （B） （SI）（

13、C） （SI） （D） （SI） 10-49 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是：（A）动能为零，势能最大。 （B）动能为零，势能为零。（C）动能最大，势能最大。 （D）动能最大，势能为零。 10-50 一平面简谐波在弹性媒质中传播，从媒质质元在最大位移处回到平衡位置的过程中：（A）它的势能转化为动能。 （B）它的动能转化为势能。（C）它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。（D）它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。 S1 P S210-52如图所示，S1与S2是两相干波的波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐

14、波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知=2，两列波在P点发生相消干涉，若S1的振动方程为，则S2的振动方程为：（A） （B）（C） （D） 10-53 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动：（A）振幅相同，位相相同。 （B）振幅不同，位相相同。（C）振幅相同，位相不同。 （D）振幅不同，位相不同。 10-56 沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程为：，和。叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为：（A） （B）（C） （D）。其中k = 0、1、2、3 y u A B O C x 10-57 一余弦横波以速度u沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图所示。试分别指出图中A、B、C各质点在t时刻的运

15、动方向。A ；B ；C 。10-58 一声波在空气中的波长是0.25m，波的传播速度为340 m/s，当它进入另一介质时波长变成了0.37m，它在该介质中传播的速度为 。10-59 已知波源的振动周期为s，波的传播速度为300 m/s波沿x轴正方向传播，则位于和的两个质点振动的位相差为 。 y u=330m/s O 1 2 3 4 x(m) 10-61 图为时一平面简谐波的波形曲线，则其波动方程为 。10-62在简谐波的一条传播路径上，相距0.2m两点的振动位相差为。又知振动周期为0.4s，则波长为 ，波速为 。10-68 一弦上的驻波表达式为 （SI）形成该驻波的两个反向传播的行波的波长为

16、，频率为 y u O x t=t 10-74 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为u设t =时刻的波形曲线如图所示。求：(1) x = 0处质点振动方程；(2)该波的波动方程10-75一横波方程为，式中A =0.01m， ，求t = 0.1s时在x = 2m处质点振动的位移、速度、加速度 S1 r1 P S2 r2 10-80 如图所示，S1与S2为两平面简谐波相干波源，S2的位相比S1的位相超前，波长， ，S1在P点引起的振动振幅为0.30 m，S2在P点引起的振动振幅为0.20m，求P点的合振幅。 S1 r1 P 1 r2 2 S210-84一平面简谐波沿Ox轴正方向传播

17、，波动方程为，而另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波动方程为。求：（1）处介质质点的合振动方程；（2）处介质质点的速度表达式。 O S1 S2 S3 10-85 如图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇；若三个简谐波各自单独在S1 、S2 和S3 的振动方程分别为：，和且S2 O = 4，S1O = S3 O =5，（为波长）。求：O点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变）。 y 0.2 O 0.2 0.6 1.0 x（m） -0.2 10-86 一平面简谐波沿x轴正方向传播u=100ms ， t = 0时刻的波形曲线如图所示。波长= ；振幅A= ；频

18、率= ；10-89 一简谐波沿x轴负方向传播，波的表达式为 (SI)则 m处P点的振动方程为 。10-90 如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程，求： L P O x (1) P处质点的振动方程：(2) 该质点的速度表达式与加速度表达式。 y(cm) 2 O 2 4 t(s) 10-95一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播，原点O处质元的振动曲线如图所示，画出x=25m 处质元的振动曲线画出t=3s时的波形曲线。10-97一波沿绳子传播，其波的表达式为(SI)(1)求此波的振幅，波速，频率和波长。(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。(3)求x1=0.2m

19、处和x2=0.7m处二质点振动的位相差 y(cm) O P x O y O y y y O O （A） （B） （C） （D）10-98一平面简谐波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形图如图所示，则P处质点的振动在t=0时刻的旋转矢量图是 第10章自测题 一、 选择题：3. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为： (A) (B) (C) (D) 0 t 5. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为：（A） (B) (C) (D) 6. 当质点以频率作简谐振动时，它的动能的变化频率为（A） （B） 2 （C） 4 （D） 9

20、.（本题3分）在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为（A） （B） （C） （D） 二、填空题 y A u O P x 12.（本题3分）所示为一平面简谐波在t = 2s时刻的波形图，波的振幅为0.2m，周期为4s。则图中P处质点的振动方程为 。13.（本题3分）两个弹簧谐振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动周相差为 。16.（本题3分）已知平面简谐波的波动方程为，式中A、B、C为正常数，则此的波长是 ；波速是 ；在传播方向上相距为d的两点的振动位相差是 。三、计算题20.（本题5分）质量为2kg的质点，按方程（SI）沿着x轴振动。求：（1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。23.（本题1