原子物理学课件_3第三章

1、第三章第三章 量子力学导论量子力学导论 3.1 波粒二象性波粒二象性 德布罗意物质波德布罗意物质波 3.2 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 3.3 不确定关系不确定关系 3.4 力学量的算符表示及其本征值方程力学量的算符表示及其本征值方程 3.5 薛定谔方程薛定谔方程 3.6 一维问题的薛定谔方程解一维问题的薛定谔方程解 我们知道玻尔理论获得了很大的成功：量子态得到实验验我们知道玻尔理论获得了很大的成功：量子态得到实验验 证；解释了氢原子光谱，算出里德伯经验常量等等。但是证；解释了氢原子光谱，算出里德伯经验常量等等。但是 这个理论无论在逻辑上还是在对实际问题的处理上都存在这个理论无论在逻

2、辑上还是在对实际问题的处理上都存在 严重的缺陷与不足：严重的缺陷与不足： 理论上理论上，由于玻尔理论仍然没有摆脱经典理论的束缚，把，由于玻尔理论仍然没有摆脱经典理论的束缚，把 微观粒子作为质点直接应用经典力学的规律，所以存在着微观粒子作为质点直接应用经典力学的规律，所以存在着 难以解决的内在矛盾。如，为什么原子核与电子之间有静难以解决的内在矛盾。如，为什么原子核与电子之间有静 电力作用，而电子在定态加速运动时却不能发射电磁波？电力作用，而电子在定态加速运动时却不能发射电磁波？ 定态之间跃迁吸收和发射辐射的原因是什么定态之间跃迁吸收和发射辐射的原因是什么? ?跃起过程是跃起过程是 怎么样的？等等

3、怎么样的？等等 卢瑟福质疑：卢瑟福质疑：“当电子从一个能态跳到另一能态时，您必当电子从一个能态跳到另一能态时，您必 须假设电子事先就知道它要往哪里跳！须假设电子事先就知道它要往哪里跳！” 薛定谔的非难：薛定谔的非难：“糟糕的跃迁！糟糕的跃迁！” 因此玻尔理论也称为因此玻尔理论也称为“旧量子理论旧量子理论”，而只有完全抛弃经，而只有完全抛弃经 典理论的约束，才能对这些问题进行解释，这就是量子理典理论的约束，才能对这些问题进行解释，这就是量子理 论。量子力学对原子问题的处理开辟了一个新的门径。论。量子力学对原子问题的处理开辟了一个新的门径。 实际问题上实际问题上，它无法解释氢原子光谱的强度及精细结

4、构；，它无法解释氢原子光谱的强度及精细结构； 无法解释复杂程度仅高于氢原子的氦原子光谱；无法说明无法解释复杂程度仅高于氢原子的氦原子光谱；无法说明 原子如何组成分子及构成液体和固体的；等等原子如何组成分子及构成液体和固体的；等等 3.1 波粒二象性波粒二象性 德布罗意物质波德布罗意物质波 1. . 光的波粒二象性光的波粒二象性 2. . 德布罗意假设德布罗意假设 3. . 德布罗意关系式的应用德布罗意关系式的应用 4. . 德布罗意关系式的实验验证德布罗意关系式的实验验证 波和粒子是经典物理中两个非常重要且截然不同的概念，它波和粒子是经典物理中两个非常重要且截然不同的概念，它 们是两种仅有的且

5、又完全不同的能量传播方式。如声波、冲们是两种仅有的且又完全不同的能量传播方式。如声波、冲 击波是以波的形式传递能量的；子弹、运行中的汽车是以粒击波是以波的形式传递能量的；子弹、运行中的汽车是以粒 子的形式传递能量的。子的形式传递能量的。 从而它在空间的位置是从而它在空间的位置是 可以无限精确地被测定可以无限精确地被测定 的，也可以说粒子被约的，也可以说粒子被约 束在某一点；而对于波，束在某一点；而对于波， 原则上同样可以无限精原则上同样可以无限精 确地确定它的特征量波确地确定它的特征量波 长和频率，而这要求波长和频率，而这要求波 不能被约束，必须是在不能被约束，必须是在 空间无限扩展的。空间无

6、限扩展的。 对于粒子，原则上可以无限精确地确定它的质量、动量和电对于粒子，原则上可以无限精确地确定它的质量、动量和电 荷，粒子可以看成质点，荷，粒子可以看成质点， 1. 光的波粒二象性光的波粒二象性 称称为为波波矢矢 或或 /2 5)-(12 / 4)-(12 k kPhP hE 关于光的本性历史上曾经一直存在两种观点，一是关于光的本性历史上曾经一直存在两种观点，一是 牛顿牛顿1672年提出的光的微粒说；另一种是荷兰的惠更斯年提出的光的微粒说；另一种是荷兰的惠更斯 (C. Huygens)1678年提出的光的波动说。两种观点都能年提出的光的波动说。两种观点都能 说明光的某种特性，但都不能完全解

7、释光的性质。说明光的某种特性，但都不能完全解释光的性质。 后来，后来，1905年爱恩斯坦提出光的量子说，并成功地解释年爱恩斯坦提出光的量子说，并成功地解释 了光电效应，了光电效应，1917年他又提出光子也具有动量的观点，年他又提出光子也具有动量的观点， 从而认为光是粒子性和波动性的矛盾统一体，及光具有从而认为光是粒子性和波动性的矛盾统一体，及光具有 波粒二象性波粒二象性，并由爱因斯坦关系式描述为：，并由爱因斯坦关系式描述为： 光的这种特性在光的这种特性在1923年的康普顿散射实验中得到十分清晰年的康普顿散射实验中得到十分清晰 的体现：在实验中，用晶体谱仪测定的体现：在实验中，用晶体谱仪测定X射

8、线波长，它的根据是射线波长，它的根据是 波动的衍射现象；而散射对波长的影响方式又只能把波动的衍射现象；而散射对波长的影响方式又只能把X射线当射线当 作粒子来解释作粒子来解释( (关于关于X射线的知识我们第六章再讲射线的知识我们第六章再讲) )。 可见，可见，光在传播时显示出波性，在转移能量时显示出粒子性。光在传播时显示出波性，在转移能量时显示出粒子性。 光既能显示出波的特性，又能显示出粒子的特性；但是在任何光既能显示出波的特性，又能显示出粒子的特性；但是在任何 一个特定的事例中，光一个特定的事例中，光要么显出波性，要么显出粒子性要么显出波性，要么显出粒子性，两者，两者 决不会同时出现。决不会同

9、时出现。 2. 德布罗意假设德布罗意假设 德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运 动和波的传播分拆开来。这种波称动和波的传播分拆开来。这种波称德布罗意物质波德布罗意物质波。德布罗。德布罗 意还给出了动量为意还给出了动量为P的粒子所伴随波的波长的粒子所伴随波的波长与与P的关系式，的关系式， 这就是著名的这就是著名的德布罗意关系式德布罗意关系式。 6)-(12 P h 光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意义呢？年轻的法光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意义呢？年轻的法 国人德布罗意反向思考了这一问题。他指出国人德布罗意反向思考了这一问题。他

10、指出:“:“在整个世纪以在整个世纪以 来，人们在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过来，人们在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过 于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反 的错误呢？是否我们关于粒子的图象想的太多，而过分忽略的错误呢？是否我们关于粒子的图象想的太多，而过分忽略 了波的图象呢？了波的图象呢？”于是他将光的波粒二象性大胆地赋予了电于是他将光的波粒二象性大胆地赋予了电 子这样的实物粒子上，即承认子这样的实物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象性实物粒子也具有波粒二象性。 P h 德布罗意关系式德布罗意关系式

11、 和质能关系式和质能关系式 是近代是近代 2 mcE 物理学中最重要的两个关系式。物理学中最重要的两个关系式。 P h 通过普朗克常量把粒子性和波性联系起来；通过普朗克常量把粒子性和波性联系起来； 2 mcE 通过光速把能量和质量联系起来。通过光速把能量和质量联系起来。 在表面形式上完全不同的物理量之间能找到内在的联在表面形式上完全不同的物理量之间能找到内在的联 系，不能不说是物理学的一大胜利。系，不能不说是物理学的一大胜利。 普朗克常量的意义普朗克常量的意义: : ( (1) )量子化的量度，即它是不连续性量子化的量度，即它是不连续性( (分立性分立性) )程度的量程度的量 度单位。度单位。

12、 ( (2) )联系在物质的波性和粒子性之间的桥梁。联系在物质的波性和粒子性之间的桥梁。 3. 德布罗意关系式的应用德布罗意关系式的应用 (1) 推导波尔角动量量子化条件推导波尔角动量量子化条件 若将德布罗意关系若将德布罗意关系 式应用与氢原子上，原子定态假设便和驻波联系起来，十式应用与氢原子上，原子定态假设便和驻波联系起来，十 分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作稳定运动，分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作稳定运动， 与电子运动对应的波就应该是一个注波，即电子回转一周与电子运动对应的波就应该是一个注波，即电子回转一周 的周长应为其波长整数倍。的周长应为其波长整数倍。 这正是玻尔曾用

13、过的角动量量子化条件。这正是玻尔曾用过的角动量量子化条件。 于是有于是有n h nmvr 2 11)-(12 2 , 1,2 n mv h n p h nnr 即即 即即12)-(12 2 , 1, nnL 由此可以看出，一个波要被束缚起来，就必须是一个驻由此可以看出，一个波要被束缚起来，就必须是一个驻 波，而波，而驻波的条件就是角动量量子化条件驻波的条件就是角动量量子化条件。 这正是玻尔的量子化的轨道半径。这正是玻尔的量子化的轨道半径。 （2）推导玻尔的量子化轨道半径推导玻尔的量子化轨道半径 如果把如果把 代入氢原子总能量表达式中代入氢原子总能量表达式中 r n r nh p 2 16)-(

14、12 4242 2 2 2222 r e mr n r e m p E 17)-(12 053. 0 4 0/ 22 1 2 2 2 nmnnan em r drdE n 给给出出由由 考虑在一个一维刚性匣考虑在一个一维刚性匣 子中的运动粒子（如图）子中的运动粒子（如图） 粒子在匣中的动能为粒子在匣中的动能为mv2/2，运动周期为运动周期为T2d/v （3）解决在刚性匣子中的运动粒子问题解决在刚性匣子中的运动粒子问题 于是粒子的动量为于是粒子的动量为 14)-(12 2/ dnhp 按照物质波的观点，物质波来回反射形成驻波，驻波波长按照物质波的观点，物质波来回反射形成驻波，驻波波长 满足满足

15、13)-(12 , 2 , 1 2/2/ npnhnd 15)-(12 8/2/ 2222 mdhnmpEk 动能为动能为 可见匣中的粒子的动量和能量可见匣中的粒子的动量和能量 都是量子化的，都是量子化的，定域的波必然定域的波必然 导致量子化行为导致量子化行为。 4. 德布罗意关系式的实验验证德布罗意关系式的实验验证 德布罗意曾指出由德布罗意曾指出由 于实物粒子的波粒二于实物粒子的波粒二 象性，当加速后的电象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会子穿过晶体时，将会 发生电子波的衍射现发生电子波的衍射现 象。象。1925年戴维孙年戴维孙 革末在一次偶然的事革末在一次偶然的事 故中将镍单晶化，电故中

16、将镍单晶化，电 子穿过镍单晶时，观子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象察到电子的衍射图象 结论结论： 当加速电当加速电 压为压为54 V， 散射角为散射角为 50度时反度时反 射束强度射束强度 出现了一出现了一 个极大值个极大值 电子在单晶金上的衍射图样电子在单晶金上的衍射图样 射线在晶格中散射示意图射线在晶格中散射示意图 图中，散射平面既图中，散射平面既 是一个镜面，也是是一个镜面，也是 一个晶面，称这种一个晶面，称这种 面为面为布喇格面布喇格面， 所所 产生的散射叫做产生的散射叫做布布 喇格散射喇格散射，设其中，设其中 横竖晶格常数都是横竖晶格常数都是 a，入射与出射方，入射与出射方 向

17、的夹角为向的夹角为，两两 个相邻布喇格面的个相邻布喇格面的 间距间距 sinad 8)-(12 sin na 如右图，两条电子波束的波程差为：如右图，两条电子波束的波程差为： sinsin2 cossin2cos2 aa ad 存在强波射出的条件是波程差为波存在强波射出的条件是波程差为波 长的整数倍，即长的整数倍，即 p h 根据德布罗意假设根据德布罗意假设 ，非相对论近似下，有，非相对论近似下，有 k mE h 2 k Emc hc 2 2 9)-(12 nm )eV( 226. 1 k E 由上述两式有：由上述两式有：10)-(12 )eV( nm226. 1 sin k Ea n a n

18、 对镍，对镍，a=0.215nm，若入射电子能量为，若入射电子能量为E=54eV，则有，则有 n776. 0sin 一般情况下，一般情况下，n取几个值（整数），就有几个极大值出现在取几个值（整数），就有几个极大值出现在 相应的相应的 方向上，方向上，n=1,对应一级布拉格衍射，对应一级布拉格衍射，n=2对应二级布对应二级布 拉格衍射，等等；上式要有意义拉格衍射，等等；上式要有意义n只能取只能取1，即只有一级布拉，即只有一级布拉 格衍射极大值，计算得：格衍射极大值，计算得： 9 .50776. 0sin 1 又由于电子进入晶格后，在晶格内其速度要增大，从而能量又由于电子进入晶格后，在晶格内其速度

19、要增大，从而能量 增大，由（增大，由（12-10）式可知角度减小，所以上面得到的理论）式可知角度减小，所以上面得到的理论 值比实验值要大一些。值比实验值要大一些。 波长与波长与X射线相同射线相同 的电子衍射图与的电子衍射图与X 光衍射图的比较光衍射图的比较: : 同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图 1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图 随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具 有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，为此获有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，

20、为此获1929 年诺贝尔物理奖年诺贝尔物理奖。 3.2 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 1. . 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 2. . 波函数几率幅的性质波函数几率幅的性质 3. . 波函数统计意义的实验说明波函数统计意义的实验说明 1. 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 为此，德布罗意引入物质波，物质波需用为此，德布罗意引入物质波，物质波需用波函数波函数(rt)描描 述。为了给出物质波的波函数的物理意义，述。为了给出物质波的波函数的物理意义，1926年玻恩提年玻恩提 出波函数的出波函数的几率解释几率解释，他指出波振幅的模方与该处发现粒，他指出波振幅的模方与该处发现粒 子的几率成正

21、比。因此德布罗意波函数是子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅几率幅。这个假。这个假 设得到散射实验的支持，取得了人们的认可，玻恩因此获设得到散射实验的支持，取得了人们的认可，玻恩因此获 得得1954年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。 宏观世界中采用经典物理中的宏观世界中采用经典物理中的“决定性观念决定性观念”或者说或者说“严严 格的因果律格的因果律”解决物理问题。经典力学中，一个受到已知解决物理问题。经典力学中，一个受到已知 力的系统的运动方程及初始条件知道后，就可以求出物体力的系统的运动方程及初始条件知道后，就可以求出物体 任何时刻的运动状态任何时刻的运动状态 微观世界中，遇到的问题将与

22、宏观世界中的截然不同，对微观世界中，遇到的问题将与宏观世界中的截然不同，对 此，经典物理学中的观点也不再成立。此，经典物理学中的观点也不再成立。 我们知道，波长为我们知道，波长为 ，频率为，频率为 ，在，在 方向运动的正弦电磁方向运动的正弦电磁 波的电场强度可以写成波的电场强度可以写成： x )(2sin 0 t x EE 相应地，在相应地，在 方向以恒定线动量运动的粒子，其德布罗意波方向以恒定线动量运动的粒子，其德布罗意波 可以写成：可以写成： x )(2sin 0 t x )( 0 trki e 或或 2 2 k ，其其中中 这样，与物质波相联系的不仅有一个波长，而且还有个振这样，与物质波

23、相联系的不仅有一个波长，而且还有个振 幅幅 ，称之为称之为波函数波函数。玻恩把玻恩把 解释为在给定时间、在解释为在给定时间、在r 处的单位体积中发现一个粒子的几率。处的单位体积中发现一个粒子的几率。 2 2. 波函数波函数几率幅的性质几率幅的性质 首先指出，在量子力学中，引入波函数是用来描述量子首先指出，在量子力学中，引入波函数是用来描述量子 系统状态的，所以波函数就是系统状态的，所以波函数就是态函数态函数。玻恩又赋予波函数以。玻恩又赋予波函数以 统计诠释，按照玻恩的观点：统计诠释，按照玻恩的观点： 波函数波函数(x)是概率波振幅，简称是概率波振幅，简称概率幅概率幅； 2 )(x波函数的模方波

24、函数的模方 是是几率密度几率密度 ( (*代表复共轭代表复共轭) )； |(x)|2dx是粒子出现在是粒子出现在xx+dx间隔内的概率；间隔内的概率； dx x x 2 1 2 粒子出现在粒子出现在x1 x2间隔内的概率可表示为间隔内的概率可表示为 dxxxxdxxxx)()(*| )(| 2 由于由于|2代表粒子出现的几率密度，这意味着微观粒子的代表粒子出现的几率密度，这意味着微观粒子的 位置（坐标位置（坐标x）是随机的，）是随机的，只能由波函数给出坐标只能由波函数给出坐标x的平均的平均 值：值： 2 2 2 2 222 )()(*)()(* )()( )(* )()()()( dxxxxd

25、xxxx dxxxxx dxxxxxxx 相应的涨落相应的涨落( (偏差偏差) ) 玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些基本基本 性质性质： 它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的波函数，它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的波函数， 这完全对应两种不同的状态。这完全对应两种不同的状态。 2 2 1 2 2 1 )( )( )( )( x x xc xc 1| )(| 2 dxx 1| | 22 dxc )(x c c i e )(x )(xc ( (2) )波函数满足归一化条件，即波函数满足归一化条件，即 , ,即即 全空间找到

26、粒子的几率为全空间找到粒子的几率为1。对于不归一的波函数如对于不归一的波函数如 ， 总可以乘以一个常数总可以乘以一个常数c成成 ，使使 归一归一，即即 即使这样波函数仍允许差一个即使这样波函数仍允许差一个 因子。就几率因子。就几率分布而言，分布而言， 重要的是相对几率分布，不难看出重要的是相对几率分布，不难看出 与与 ( (c为常为常 数数) )所描述的相对几率分布是完全相同的，因为在空间两所描述的相对几率分布是完全相同的，因为在空间两 点点x1和和x2，的相对几率为的相对几率为: : ( (1) )波函数是单值，连续，有限的波函数是单值，连续，有限的； 3. 波函数统计意义的实验说明波函数统

27、计意义的实验说明 让我们再回到对光的认识上，人们用光子概念出奇地解让我们再回到对光的认识上，人们用光子概念出奇地解 释了光电效应和康普顿效应，并发现了光的波粒二象性，即释了光电效应和康普顿效应，并发现了光的波粒二象性，即 在上述的物理过程中光的能量和动量都是以一份一份进行交在上述的物理过程中光的能量和动量都是以一份一份进行交 换的。那么用光子观点将如何解释光波的波动性，如干涉和换的。那么用光子观点将如何解释光波的波动性，如干涉和 衍射现象呢衍射现象呢? ?为此人们减弱光强观察干涉和衍射这些代表波为此人们减弱光强观察干涉和衍射这些代表波 动性的现象。现代技术允许将光强减弱到每次只接收单个光动性的

28、现象。现代技术允许将光强减弱到每次只接收单个光 子的精度，这称子的精度，这称单光子干涉、衍射实验单光子干涉、衍射实验。结果发现。结果发现: : 在每次实验中每个光子的去向完全是随机的，然而当把在每次实验中每个光子的去向完全是随机的，然而当把 长时间记录的大量的单光子图片拼集在一块时，发现这种集长时间记录的大量的单光子图片拼集在一块时，发现这种集 合图样正是用一束强光合图样正是用一束强光( (大量光子大量光子) )在瞬间显示的干涉图样。在瞬间显示的干涉图样。 由一个一个光子在多次实验所表现出的总累积效果与大由一个一个光子在多次实验所表现出的总累积效果与大 量光子在一次实验所表现出的整体效果完全一

29、模一样，深刻量光子在一次实验所表现出的整体效果完全一模一样，深刻 地揭示出地揭示出光的干涉，衍射光的干涉，衍射并不是不同光子间的相互作用的结并不是不同光子间的相互作用的结 果，而果，而是大量偶然事件总体表现出来的一种统计行为是大量偶然事件总体表现出来的一种统计行为。 如果将频率为如果将频率为v的光波看作是具有能量的光波看作是具有能量( (hv) )光子的集合光子的集合， 那么光强那么光强I或光波振幅的模方等于光子能量或光波振幅的模方等于光子能量hv与光子通量密与光子通量密 度的乘积，这样光波振幅模方度的乘积，这样光波振幅模方|(x)|2可理解为光子出现在某可理解为光子出现在某 处的几率密度。处

30、的几率密度。 如果将对光波的这如果将对光波的这 种认识移植到德布罗意种认识移植到德布罗意 物质波上，那么对玻恩物质波上，那么对玻恩 赋予波函数统计诠释也赋予波函数统计诠释也 就不难理解了。人们用就不难理解了。人们用 同样的思想进行电子的同样的思想进行电子的 双缝干涉实验，发现当双缝干涉实验，发现当 大量电子通过双缝后，大量电子通过双缝后， 在屏上的电子强度分布在屏上的电子强度分布 图图( (c) )与光束的两缝干与光束的两缝干 涉图样涉图样（a）是相同的，是相同的， 与子弹穿过双孔的分布与子弹穿过双孔的分布 图图（b）完全不同。完全不同。 实验已经发现，不论我们把入射光强减弱到什么程度，实验已

31、经发现，不论我们把入射光强减弱到什么程度， 只要屏幕的曝光时间足够长，我们仍然可以观察到双缝干涉只要屏幕的曝光时间足够长，我们仍然可以观察到双缝干涉 的图象。当光强非常弱时，从光量子的观点看，入射光已弱的图象。当光强非常弱时，从光量子的观点看，入射光已弱 到使光子一个一个地通过狭缝！到使光子一个一个地通过狭缝！ 同时，现代的实验技术已可使电子流减弱到如此程度，同时，现代的实验技术已可使电子流减弱到如此程度， 使电子发射的间隔时间使电子发射的间隔时间( (或者，电子到达屏幕的间隔时间或者，电子到达屏幕的间隔时间) )比比 个别电子通过狭缝的时间长千万倍，当我们在屏幕上记录电个别电子通过狭缝的时间

32、长千万倍，当我们在屏幕上记录电 子时，虽然在开始时得到的电子分布似乎是毫无规律的，但子时，虽然在开始时得到的电子分布似乎是毫无规律的，但 是，积累的时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图象是，积累的时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图象! ! 另外，不论光子、电子、还是中子、质子，我们都得到另外，不论光子、电子、还是中子、质子，我们都得到 了类似的结果。这些结果充分表明干涉图象的出现体现了微了类似的结果。这些结果充分表明干涉图象的出现体现了微 观粒了的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互之间作用观粒了的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互之间作用 产生的，而是个别微观粒子属性的集体质献。产生的，而是

33、个别微观粒子属性的集体质献。 我们一般认为，一个电子通过缝我们一般认为，一个电子通过缝 1(2)时，缝时，缝2(1)是否打开对它没有是否打开对它没有 任何影响，这样的话缝任何影响，这样的话缝1、2同时同时 打开时屏上的强度应该是分别打打开时屏上的强度应该是分别打 开时强度之和，事实却非如此，开时强度之和，事实却非如此， 即两个缝对同一电子都有影响，即两个缝对同一电子都有影响， 难道难道 如右图，如右图，P1、P2为光源，如果有为光源，如果有 电子通过，则通过的电子把光子电子通过，则通过的电子把光子 散射到相应的探测器散射到相应的探测器D1、D2中，中， 从而就探测出电子的具体路径。从而就探测出

34、电子的具体路径。 但是最终结果却是：当我们在狭但是最终结果却是：当我们在狭 缝旁边窥视到电子的行为时，干缝旁边窥视到电子的行为时，干 涉就消失了；不窥视的时候，干涉就消失了；不窥视的时候，干 涉现象又产生了！涉现象又产生了！ 电子分身电子分身！ 这显然是不可能的。这显然是不可能的。 为了理解电子干涉图样是怎么形成的，人们也用单个电子为了理解电子干涉图样是怎么形成的，人们也用单个电子 进行实验，右图是六张电子双缝干涉的比较图，图进行实验，右图是六张电子双缝干涉的比较图，图( (a) )是仅一个是仅一个 电子通过双缝在屏上出现的图样，电子通过双缝在屏上出现的图样， 图（图（b）和（）和（c）分别是

35、几个电子）分别是几个电子 通过双缝后的干涉图样，图（通过双缝后的干涉图样，图（d） 和（和（c）和（）和（f）则是更多的电子）则是更多的电子 通过双缝后形成的干涉图样。这通过双缝后形成的干涉图样。这 些干涉图说明这样一个事实：就些干涉图说明这样一个事实：就 单个电子而言，出现何处是随机单个电子而言，出现何处是随机 的，但大量电子通过双缝后总体的，但大量电子通过双缝后总体 表现出一种统计规律，显示出干表现出一种统计规律，显示出干 涉图样。这些实验，都是用任何涉图样。这些实验，都是用任何 经典方法所绝对不能解释的，但经典方法所绝对不能解释的，但 是，量子力学的核心正是包含在是，量子力学的核心正是包

36、含在 这些实验之中。这些实验之中。 上式中的后两项代表相干项，显示出波动性。所以微观世界的统上式中的后两项代表相干项，显示出波动性。所以微观世界的统 计规律是计规律是几率幅相加律几率幅相加律( (不是经典几率直接相加不是经典几率直接相加) )。物理学大师费。物理学大师费 曼把几率幅叠加称为曼把几率幅叠加称为“量子力学的第一原理量子力学的第一原理”。他这样写到。他这样写到“如如 果一个事件可能有几种方式实现，则该事件的几率幅就是各种单果一个事件可能有几种方式实现，则该事件的几率幅就是各种单 独实现的几率幅之和，于是出现了干涉独实现的几率幅之和，于是出现了干涉”。显示了波动性。显示了波动性。 *|

37、 2121 2 2 2 1 2 21 2 P 另一个问题是，既然微观粒子服从统计规律，为什么不引入几率另一个问题是，既然微观粒子服从统计规律，为什么不引入几率 直接进行描述，却要借用波函数直接进行描述，却要借用波函数几率幅来描述呢几率幅来描述呢? ?按照几率按照几率 论，一个事件假若有两种可能发生，其几率分别是论，一个事件假若有两种可能发生，其几率分别是P1和和P2 ，那么，那么 该事件出现的几率是该事件出现的几率是P= P1+P2 。显然这种几率相加不会出现干。显然这种几率相加不会出现干 涉效应，不显示微观粒子的波动性，完全是经典的描述图象。反涉效应，不显示微观粒子的波动性，完全是经典的描述

38、图象。反 之，若一个事件有两种可能发生的几率幅之，若一个事件有两种可能发生的几率幅1 和和2 ，该事件发生，该事件发生 的几率幅是的几率幅是1和和2之叠加，即之叠加，即= 1 + 2 那么相应的几率是那么相应的几率是 波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所 以波的叠加就是以波的叠加就是态的叠加态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波动。波的叠加导致了干涉、衍射的波动 性。态的叠加更深刻的含义是，如果态性。态的叠加更深刻的含义是，如果态1是系统的一个可能是系统的一个可能 态，态，2也是系统的另一个可能态，那么也是系统的另一个可能态，那么

39、c11+c22 也是系统 也是系统 的可能态的可能态。这个态既不完全是。这个态既不完全是1，也不完全是态，也不完全是态2。而是它。而是它 们的混合态。这种混合态导致了量子干涉效应。也导致了在叠们的混合态。这种混合态导致了量子干涉效应。也导致了在叠 加态下测量结果的不确定性。加态下测量结果的不确定性。 总之，从微观客体的波粒二象性，人们悟出了波函数的统总之，从微观客体的波粒二象性，人们悟出了波函数的统 计意义。波函数的统计诠释又把波粒二象性有机地联系起来；计意义。波函数的统计诠释又把波粒二象性有机地联系起来； 几率幅即波函数的模方几率幅即波函数的模方 |2 代表微观粒子出现的几率密度，代表微观粒

40、子出现的几率密度， 而几率幅即波函数的叠加，导致干涉、衍射等效应，显示出波而几率幅即波函数的叠加，导致干涉、衍射等效应，显示出波 动性。几率幅有两大特征量：模和相位，而后者在量子力学中动性。几率幅有两大特征量：模和相位，而后者在量子力学中 伴演着重要的角色。伴演着重要的角色。 3.3 不确定关系不确定关系 1. 不确定关系不确定关系 2. 不确定关系的例举不确定关系的例举 1. 不确定关系不确定关系 8)-(13 2 x px 接受了波函数的统计诠释，完全摒弃了经典粒子的轨道概接受了波函数的统计诠释，完全摒弃了经典粒子的轨道概 念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。由于念，即排除了

41、粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。由于 表示粒子出现在表示粒子出现在xx+dx间隔的概率，所以由波函数间隔的概率，所以由波函数 只能给出粒子位置的平均值只能给出粒子位置的平均值 ，同样对粒子的动，同样对粒子的动 量也只能知道其统计平均值量也只能知道其统计平均值 。海森伯还进一步。海森伯还进一步 指出，平均偏差指出，平均偏差 乘积有一个最小的限制，即乘积有一个最小的限制，即 2 xx 及及其其偏偏差差 2 xx pp 及其涨落及其涨落 x px dx 2 |(x)| 这个关系称这个关系称不确定关系不确定关系。以前的文献中也称为测不准关系。以前的文献中也称为测不准关系 2 x px 上式表明，

42、当粒子被局限在上式表明，当粒子被局限在x方向的一个有限范围方向的一个有限范围 内时，内时， 它所相应的动量分量它所相应的动量分量Px必然有一个不确定的数值范围必然有一个不确定的数值范围 ， 两者的乘积满足两者的乘积满足 。换言之，假如。换言之，假如x的位置完全的位置完全 确定确定( )( )，那么粒子可以具有的动量，那么粒子可以具有的动量Px的数值就完全的数值就完全 不确定不确定( )( )；当粒子处于一个；当粒子处于一个Px数值充全确定的状数值充全确定的状 态时态时( )( )，我们就无法在，我们就无法在x方向把粒子固定住，即粒方向把粒子固定住，即粒 子在子在x方向的位置是完全不确定的（方向

43、的位置是完全不确定的（ ）。）。 x x p 2/ x px 0 x x p 0 x p x 粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。 在量子力学中我们将学习到任何两个不对易的力学量，在量子力学中我们将学习到任何两个不对易的力学量， 在任何量子态下的平均涨落都有相应的不确定关系。从在任何量子态下的平均涨落都有相应的不确定关系。从 而时间和能量的不确定关系是：而时间和能量的不确定关系是： 9)-(13 2 Et 上式表明，若一粒子在能量状态上式表明，若一粒子在能量状态E只能停留只能停留 时间，那时间，那 么，在这段时间内粒子的能量状

44、态并非完全确定，它有么，在这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有 一个弥散一个弥散 ；只有当粒子的停留时间为无；只有当粒子的停留时间为无 限长时限长时( (即处于即处于稳态稳态) )，它的能量状态才是完全确定的，它的能量状态才是完全确定的 ( )( )。 t tE 2/ 0 E 不确定关系十分有用，利用这个简单的不确定关系式，不确定关系十分有用，利用这个简单的不确定关系式， 常常可以方便地对一些物理量作出数量级上的估算。下常常可以方便地对一些物理量作出数量级上的估算。下 面以几个具体例子加以说明。面以几个具体例子加以说明。 x p 0 x x p 不确定关系是量子力学的又一条重要规律。它定

45、量地揭不确定关系是量子力学的又一条重要规律。它定量地揭 示了粒子坐标和动量的不确定度。这样经典的轨道概念示了粒子坐标和动量的不确定度。这样经典的轨道概念 在这里完全失去了意义，不确定关系是波粒二象性的必在这里完全失去了意义，不确定关系是波粒二象性的必 然结果。因为，粒子作一定的轨道运动时，它的位置然结果。因为，粒子作一定的轨道运动时，它的位置x 是完全确定的，即是完全确定的，即 ，那么根据，那么根据（13-8）式，其式，其 具有的动量具有的动量 就是完全不确定的了，即就是完全不确定的了，即 ，就，就 显然是不可能发生的！显然是不可能发生的！ 2. 不确定关系的例举不确定关系的例举 d 1 hp

46、px ox 例题例题1 讨论单缝衍射的不确定关系讨论单缝衍射的不确定关系 如图所示，位置的不确定，由缝宽模如图所示，位置的不确定，由缝宽模x=d 给出。给出。x方向方向 的动量不确定的动量不确定度度px用衍射一级极小的半角宽度用衍射一级极小的半角宽度表示，即表示，即 是入射光子动量。按照波的衍射理论，是入射光子动量。按照波的衍射理论， 第一级衍射极小的角位置为第一级衍射极小的角位置为 oox ppppp,/ 1 于是有于是有 例题例题2 束缚粒子的最小动能束缚粒子的最小动能 假设粒子被束缚在线度为假设粒子被束缚在线度为r的范围内，则的范围内，则x=r 那么，由不确定关系，粒子的动能至少为：那么

47、，由不确定关系，粒子的动能至少为： rx px 22 平平均均 又又因因为为)( 2 xxx ppp 三维空间中，三维空间中，平均平均平均平均 )( 3 1 )( 22 ppx 所以，粒子的最小平均动能为所以，粒子的最小平均动能为 13)-(13 8 3 2 )( 2 2 2 mrm p Ek 平平均均 这就是粒子的最小平均动能这就是粒子的最小平均动能E不为零的结论不为零的结论 又因为束缚在空间的粒子的动量在任何方向上的平均分量又因为束缚在空间的粒子的动量在任何方向上的平均分量 都为零，即都为零，即 ，所以，所以 平均平均 )()( 22 xx pp 0 _ x p 解：对于数量级为解：对于数

48、量级为10 14m大小的核，位置的不确定度取为 大小的核，位置的不确定度取为 按照不确定关系，动量不确定度为按照不确定关系，动量不确定度为 p m p s m kg10 10 20 14 动能约为动能约为Mev20 24222 cmcmpcE ook 例例题题3 在在 衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来 的，试估计它在核中的动能的，试估计它在核中的动能 通常通常 衰变的动能远小于该值。所以简单的估算排除衰变的动能远小于该值。所以简单的估算排除 了电子在核内的可能性，在原子核内只能存放质子和中子。了电子在核内的可能性，在原子核内只能存放质子和中子。 电子可以被束

49、缚在线度为电子可以被束缚在线度为0.05nm的原子内是可能的。的原子内是可能的。 mx 14 10 解：以高尔夫球为例，一个质量解：以高尔夫球为例，一个质量45g的高尔夫球，以的高尔夫球，以 40m/s的速度飞行，如果动量的不确定度是的速度飞行，如果动量的不确定度是1%，位置的不，位置的不 确定度可估算为确定度可估算为 数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球 的波动性而担忧。的波动性而担忧。 m104 %1m/s40kg1045 sJ106 32 3 34 x 例题例题4 估算宏观物体的不确定性估算宏观物体的不确定性 原子所发射的光是由电子

50、在两个能级之间跃迁产生的。原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。 如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频 率率( (或波长或波长) )的谱线。但是，由于处在激发态能级上的电子寿的谱线。但是，由于处在激发态能级上的电子寿 命命( (t) )有限，即有限，即t不能是无限长，按照不确定关系，这意味不能是无限长，按照不确定关系，这意味 着能级存在着一定的能级宽度着能级存在着一定的能级宽度EE，这导致辐射光谱不再是，这导致辐射光谱不再是 单一频率，而有一定频率宽度，称之为单一频率，而有一定频率宽度，称之为谱线自然宽度谱线自然宽度

51、。如果。如果 激发态的寿命为激发态的寿命为t=10-8s 那么那么 eV103 . 3 )eV( 103102 1010197 22 8 88 615 tc c t E 例题例题5 光谱线的自然宽度光谱线的自然宽度 则，谱线的自然宽度为则，谱线的自然宽度为 总之应用不确定关系的例子不胜枚举，它是微观世界总之应用不确定关系的例子不胜枚举，它是微观世界 中的一条基本规律。中的一条基本规律。 我们称之为我们称之为“不确定关系不确定关系”，但是它带来的却是微观，但是它带来的却是微观 世界的精确性！只是它与经典物理学的世界的精确性！只是它与经典物理学的“精确性精确性”有有 着质的区别。着质的区别。 不过

52、能级的寿命还常常受外界条件的影响，如气体中不过能级的寿命还常常受外界条件的影响，如气体中 原子彼此之间不断地碰撞可以增大跃迁谱线的宽度，原子彼此之间不断地碰撞可以增大跃迁谱线的宽度， 且增大的值远远大于自然宽度，所以为了减少这种增且增大的值远远大于自然宽度，所以为了减少这种增 宽，研究中光源常处在低气压状态。宽，研究中光源常处在低气压状态。 。MHz0 . 8seV151014. 4/eV103 . 3/ 8 hE 3.4 力学量的算符表示及其本征值方程力学量的算符表示及其本征值方程 1. 力学量算符的引出力学量算符的引出 2. 力学量算符的表示及其力学量算符的表示及其 本征值方程本征值方程

53、1. 力学量算符的引出力学量算符的引出 dxxxpxp xx )()()(* dppppp)()(* 考虑一个问题：如何在坐标表象的态函数考虑一个问题：如何在坐标表象的态函数 中求粒子中求粒子的的 动量动量px的平均值的呢？若写成的平均值的呢？若写成 )(x 式中的式中的px( (x) )是在坐标取是在坐标取x值的动量值。海森伯不确定关系指出值的动量值。海森伯不确定关系指出 这是不可能的，这是不可能的， px(x)是没有意义的。我们必须引入动量是没有意义的。我们必须引入动量( (表象表象) ) 波函数波函数 是粒子动量在是粒子动量在p p+dp间隔内的几率，间隔内的几率， 那么动量的平均值方可

54、写成那么动量的平均值方可写成 dppp 2 | )(|),( 但又出现了一个问题，如果物理量既含动量又含坐标，但又出现了一个问题，如果物理量既含动量又含坐标， 如能量如能量E=p2/2m+V(x) ，又如何求能量的平均值呢，又如何求能量的平均值呢? ?所以我们所以我们 必须给出一个更一般的表达式。其实必须给出一个更一般的表达式。其实(x) 和和(px)之间有一之间有一 种变换关系种变换关系傅立叶变换，即傅立叶变换，即 2 )()( 2 )()( / / dx exp dp epx hxip x x hxip x x x 那么：那么： dx dp pepx pdpp dx expdpppp x

55、x hxip x xxx hxp i xxxxx x x 2 )()(* )()( 2 )()()()(* / * / dxx x ix dx dp ep x ix dx dp pe x ixp x hxip x x x hxip x x x )()(* 2 )()(* 2 )()(* / / _ 利用算符作用关系利用算符作用关系 ，上式写为：，上式写为： hxip x hxip xx epe x i / 上式指出，如果把动量上式指出，如果把动量px改换成算符形式改换成算符形式 ，那么，那么 用坐标表象的波函数用坐标表象的波函数(x)，也可求动量的平均值。上面的，也可求动量的平均值。上面的 推

56、导还给出推导还给出动量算符动量算符px的的本征值方程式本征值方程式: : x i hxip x hxip xx epe x i / dx dp pepxp x x hxip xx x 2 )()(* / 2. 力学量算符的表示及其本征值方程力学量算符的表示及其本征值方程 量子力学与经典力学相比有两个显著的区别，一个是专门量子力学与经典力学相比有两个显著的区别，一个是专门 引入态函数引入态函数( (波函数波函数) )描述体系的状态，另一个是用算符表示力描述体系的状态，另一个是用算符表示力 学量。在坐标表象中即在学量。在坐标表象中即在(x)中求动量的平均值中求动量的平均值, ,须把须把px换成换成

57、 算符形式算符形式 , ,记为记为 , , x i x ipx z ipp y ipp xx yy 类似的类似的 ipp动量的算符是动量的算符是 2 22 2 2 m T m p Ek 动能的算符是动能的算符是 在坐标表象中，凡在坐标表象中，凡x函数的力学量，其算符就是本身。如势函数的力学量，其算符就是本身。如势 能能V(x)的算符就是的算符就是V(x) 。这样总能量。这样总能量( (动能加势能动能加势能) )的算符是的算符是 )( 2 2 2 rV m H 在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量，在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量， 如角动量力学量如角动量力学量L=r

58、p。在量子力学里，相应的角动量算符在量子力学里，相应的角动量算符 是是 riirprL )( 在直角坐标系中在直角坐标系中 )( )( )( x y y xipypxL z x x zipxpzL y z z yipzpyL xyz zxy yzx 在球坐标系在球坐标系 (r,) ) 中，借助于直角坐标和球坐标之间的中，借助于直角坐标和球坐标之间的 如下关系（见下图）如下关系（见下图） x y rz r z ry zyxrrx tancos cossinsin cossin 2222 不难给出角动量各分量表达式：不难给出角动量各分量表达式： iLiL iL zy x ),sincot(cos

59、)coscot(sin 角动量平方算符在球坐标系的表示是角动量平方算符在球坐标系的表示是 2 2 2 2222 2 sin 1 sin sin 1 zyx LLLL 力学量算符有一个重要的性质，即代表力学量的两个算符力学量算符有一个重要的性质，即代表力学量的两个算符 的乘积一般是不对易的。用符号的乘积一般是不对易的。用符号 的的 对易关系对易关系，若，若 两个算符对易，即满足交换率；若两个算符对易，即满足交换率；若 ，两个算符不对易。很容易证明，两个算符不对易。很容易证明 FGGFFGFG , , 表表示示 0 , FG 0 , FG 0, , yxzxzy zyx pzpzpypypxpx

60、ipzpypx 利用以上关系式和角动量直角坐标分量算符的表达式利用以上关系式和角动量直角坐标分量算符的表达式, ,也也 不难证明不难证明 0 , , 0L , , , , 22 zyxz xzyzyx LLLLiLL LiLLLiLL 例例如如 角动量平方算符的本征方程是角动量平方算符的本征方程是 当函数当函数f与与g只差一个常数只差一个常数时时, ,即即 ,该方程称函数该方程称函数f 的本征方程，的本征方程，f 称本征函数称本征函数, ,一组数一组数称本征值。例如能量的本称本征值。例如能量的本 征方程是征方程是 ff nnn EH ),()1(),(),( 22 lll YllaYYL 角动