相平面法PPT学习教案

1、会计学1 相平面法相平面法 2 设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述： 0),(),( 01 2 2 x dt dx xa dt dx dt dx xa dt xd ),(xxfx ),( 21 2 2 1 xxf dt dx x dt dx 2 21 1 2 ),( x xxf dx dx 令x = x1， dx/dt = x2 以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系统常微分方程方程的解既可用x与t的关系来表示，也可用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则x1(t)代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。 第1页/共24页 3 用x1、x2描述二阶系统

2、常微分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。 在物理学中，状态又称为相。 把由x1x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一个状态则对应于相平面上的一个点。 当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨迹。x x 0 t1 t2 t3 t4 x 0 t t1 t2 t4 t3 (x, x0) 第2页/共24页 4 而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。 第3页/共24页 5 例7-5 二阶线性系统当 = 0时的微分方程式为 0 2 xx n x x dx xd n 2 2 2 2 2 A x x n 对上式积分，

3、便得相轨迹方程 绘制相平面图。 解： 2 0 22 0 /xxA n x x 0 x t0 第4页/共24页 6 2. 图解法 目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和 法。下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。 设系统的微分方程式为 式中dx/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成 x xxf dx xd ),( x xxf ) ,( -等倾线方程 第5页/共24页 7 对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的

4、点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，则可在相平面上画出相应的等倾线。 x xxf ) ,( 第6页/共24页 8 利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是： (1) 先求系统的等倾线方程； (2) 根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，则构成相轨迹的切线方向场。 (3) 利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线。 第7页/共24页 9 例7-

5、6 二阶线性系统的微分方程式为 试用等倾线法绘制其相轨迹。 02 2 xxx nn xxxxfx nn 2 2),( x xx nn 2 2 n n x x 2 2 故等倾线方程为 解：由微分方程式可得 或 等倾线是过相平面原点的一些直线。当 = 0.5、n = 1时的等倾线分布图 : 第8页/共24页 10 假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为 (1) + (1.2) / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过 B点作斜率为的 (1.2 ) + (1.4) / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的 等倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，

6、最后 即得系统近似的相轨迹。 n n x x 2 2 = 1/(a +1) x x a= 1，k = a= 2，k = 1 a= 3，k = 1/2 a= 1 2 3 1.2 1.4 6 2 1 0 0.4 0.8 A B C 第9页/共24页 11 1）横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线； 2）在相平面的上半平面，由于x 0，则x随t增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，由于x 0时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当T 0时，上述微分方程又可以表示为 x cxxb dx xd 第14页/共24页 16 其中k为等倾线的斜率。

7、当b2 4c 0，且c 0时，可得满足k = a的两条特殊的等倾线，其斜率为 令 ，可得等倾线方程为 a x cxxb kxx ba c x 2 4 2 2, 12, 12, 1 cbb sak 该式表明，特殊的等倾线的斜率等于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。 第15页/共24页 17 1）c 0，s2 0，系统相平面图： 由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。因此，c 0时，相轨迹收敛并最终停止在轴上；当b 0。并分以

8、下几种情况加以讨论： 0 1。系统特征根为两个互异负实根，系统的零输入响应为单调形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为 1 2 1 nn s 1 2 2 nn s 当初始点落在 = s1x或 = s2x直线上时，相轨迹沿着该直线趋于原点； 除此之外，相轨迹最终沿着 = s1x的方向收敛至原点。 x x x x x 0 x= s2x x= s1x 第19页/共24页 21 = 1。系统特征根为两个相等的负实根。与 1相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹归结将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统相平面图: x x 0 第20页/共24页 22 = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系统相平面图: x x 0 第21页/共24页 23 1 0。系统特征根为一对具有正实部的共轭复数根。系