专升本高数真题及答案

1、2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号-一一-二-三四五六总分核分人分数得 分评卷人一、单项选择题(每小题2分，共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其代码 写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分 1.函数y =A. x 1 B.解:2.(A.C.ln(x_1)的定义域为为、5 -xx : 5C. 1 ： x : 50= 1 . x 5 =X1Q -x a0下列函数)y =xcosxxx2 -2D.C.B.D.形关于 y 轴对3/y = x x 12x 2解：图形关于y轴对称，就是考察函数是否为偶函数,显然函数2 y =

2、2。2偶函数,应选D.3. 当x 0时，与ex2 -1等价的无穷小量是A. x B. x2 C. 2x D. 2x2解：ex _1 x =4. Iim 1 -n；5. ne B.2ex -1x2,应选B.A.C.5.解:n2 eD.nn 2(n 1)n2 2 + in4e.2(n 1) Iimn t n二e2,应选B.设 f (x)-1 - 1 -X r-，X7在x = 0x=0处连续A. 1B.-1C.解：即（XT冯匕匕翊x（1+J口）=limx 01-2 _-!,应选C.(1 J -x) 2D.6.设函数f(x)在点x =1处可导，且lim f(12h)f(1)1，则f (1)二A.B.C

3、.D.2h) f (1)h-2 lilim鮒的十）-2hp-2h-2f (1)=丄二2f (1)7. 由方程xy = ex审确定的隐函数( )A. x(y -1) B. y(x -1) C. y(1+x) y(1x)x(1 y)x(y1)x(y)dxdyD.x(y 1)y(x-1)解：对方程xy =ex y两边微分得xdy ydx = ex y (dx dy),即(y ex为)dx = (ex旳 _x)dy ,(y -xy)dx = (xy -x)dy , 所以主二必卫，应选A.dy y(1-x)8. 设函数f (x)具有任意阶导数，且f (x) = f (x)，则f (n)(x)=()A.

4、nf(x)n1 B. n!f(x)n1C. (n 1)f(x)n1D. (n 1)!f(x)n 数f (x)在(-,1)内单调减少，且曲线y = f(x)为凹的，应选B.解：f (x) =2f(x)f (x) =2f(x)二 f (x) = 2 3f 2(x)f (x) =3f (x)4, 二 f(n)(x)= n!f(x)n 应选 B.9. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是()A. f (x) = 1 - x?, -1,1B.f (x) = xe, -1,11C. f (x) F,-1,1D f(x) =|x|,1,11 -x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确

5、定，只有f(x) =1 -x2,-1,1满足,应选 A.10. 设 f (x) =(x-1)(2x 1),x(：，：)，则在(丄，1)内，f(x)单调 ()2A.增加，曲线y = f(x)为凹的B.减少，曲线y = f(x)为凹的C.增加，曲线y = f (x)为凸的D.减少，曲线y = f (x)为凸的1解：在(孑1)内，显然有 f (x) =(x -1)(2x 1) ： 0 ,而 f (x) =4x-10 ,故函11.(A.C.解：12.解:)只有垂直渐近线B.既有垂直渐近线，又有水平渐近线,lim y = 1 = yX只有水平渐近线D.无水平、垂直渐近线 应选C.设参数A.-D.3 比_

6、 IdxC.b_ 2 3a sin tba2 sin tcos21bcostx/asintd2ydx21 113. 若 f (x)exdx = exA. -1B.解:14.bcostiy/八 2x224.二次积分o dx o f (x, y)dy写成另一种次序的积分是4 y0dy 0 f(x，y)dx4 -y0dy 2 f(x, y)dxx2二(x, y)|0乞 y 空 4, y 沁乞 2,2 x242A. 0 dy 如 f (x, y)dx42C. 0 dy x2 f (x, y)dxB.D.积分区域 D 二(x, y) | 0 _ x _ 2,0 _ y _设D是由上半圆周y=. 2ax

7、- x2和x轴所围成的闭区域，则f(x,y)d；：.，()D2aA. ,d 0 f(rcosv,rsin jrdr2a cos C. (ddp f(rcosr,rsin Rrdr D.B.2a02d 0 f(rcosrsin v)dr2a cos 2d8f(rcos8,rsi n8)drP、0/解：积分区域在极坐标下可表示为:nD =( r, 0) |0 乞 9.,0 乞 r 2acos & ,2sin r)rdr，应选 C.解:27.(=X2 1L2xydx x dy = 0下 列 级)2x3dx 2x3dx4x3dx =x4数1 =1,应选 0件 收B.敛 的 是A.C.解:字0 n n

8、(一1)1n#n 1旳1n mn二(-$亠发散,n doO(-A 2 n mnoO和Vn d是收敛的,nn 1力 12、-是的级数发散的，从而级数 n3n 23比1.1)乔nT. .f (-川nd n(n 1)凹丄绝对收敛,n(n 1)乂1 M)n3 12n#3 n、(-1)n1-条件收敛， nJ 3n2应选B.28.()A.qQ若级数Unn z!B.qQ若级数 Unn 4C若正项级数与 * 收敛，贝U级数& （U； V：）收敛n 4ngJ Un与二Vn收敛，则级数二（Un，Vn）2收敛 ngn 弓noOoOqQqQ与Vn收敛，则级数（Un Vn）2收敛n 4ngD.若级数-UnVn收敛，则级

9、数V叫与v V.都收敛解：正项级数7 Un 与 7n =1而(Un Vn)2 :29.微)A.x2y2C.y = x 1分(二 C06.曲线y = e的拐点是_ 1解:yf=ex尸 n2JxX31 1 1 11 xf (2x)dx =? f xdf (2x) =?xf (2x)10. 1 12 01,=(2) f(2x)24X .y = ( te dt的极小值是解：y = xe= = 0= x = 0= f (0) = 0.1 -sin x ,10. dx = _x cosx1 -sin x , 解：dx =X cosxX cosx11. 由向量a二1,0, -1, b 0,1,2为邻边构成的

10、平行四边形的面积为解:9.函数d (x cosx)1 1 . jf (2x)d2x1二 1 f (2)-21-f(2)41f(0) =4=In | x cosx | C .5. 函数y = 2x2 _In x的单调递增区间是 .4 _丄 01 1、卡1、X 二 x_= (_,+划)或_,+).2 2 2y,e Cx-1)。二=1,得拐点为(1,e).4x( x7.设 f (x)连续，且 q f(t)dt =x,则 f(27)=3解：等式f(t)dt=x两边求导有f(x3)3x2=1,取x = 3有f(27)18.设 f (0) =1, f(2)=2, f (2) =3，贝U xf (2x)dx

11、 二，则12.设=In Z z y解：令 F = -InZz yZ: z十=-:x：yX -In z ln y ,则 z011 1F，_- F*_ F_xyzyzz-:zFx花13.设D是由.z:yy = .1x 1 x zz z一上2 z2z,所以竺+竺= z(y+z).Fz y(x z)-x2, y = x, y = 0 ,所围成的第一象限部分,则2i rdrcos B.丿y 2n 1 sin 0 H(y)2dxdy = * 4d01D x1 - 24 (sec 0- 1)d 0n2 1=(sec 0 - 1)d 0 rdr二 1(tan2 0- y 2()dxdy D 2. x2( .

12、1 xsin x cosx)“I i 丨linx )0 -1 xsinx - x cosx x “1 xsinx-cosx314. 将f (x) = J展开为x的幕级数是_2 + x- x3 311111解：f (x)y2+xx2(1+x)(2x) 1+x 2 x 1 + x 2_?2远1辺x处1 I所以 f(x)八(-X)n - - )n 八(_1)nxn,(Jn=02 n=0 2n=0 _215. 用待定系数法求方程y” -4y* 4y = (2x 1)e2x的特解时，特解应设为解：2是特征方程f -44=0的二重根,且(2x 1)是一次多项式，特解应 设为22xx (Ax B)e得 分评

13、卷人三、计算题(每小题5分，共40分)x2解：lim1. limx 50 . 1 xsin x -、cosxxsin xcosx)=limlim ( -1xt 1 - xsinx - cosx00二 2 lim2 lim x1 xsinx-cosx 2sin x xcosxx22x01144lim4.x03cosx_xsi nx3 32.已知y =3x-2 2 卡 dyXz0,f (x) = arctan x ,求一 (5x + 2 丿dx解：令 3x -2 =u ,则 y = f (u),5x +2dy dy du=dx du dx所以包dx3.求不定积分打/、3x-2)=f (u) Il5

14、x + 2.丿丄彳16人n=arcta n1 24 n2243f . x dx.、1 x2162 ，rctani # (5x + 2 丿(5x + 2)3解：一Xdx =x2=x2 1 x2Jx2亠/ + x2x2-.1 x2d(x2) .1 x2 -2(1 x2)23In(1 + x), x = 04.设 f (x)二 1=x2 ,1 x2 i 一 1 x2d(1 x2)f (x -1)dx.,x : 02 x2解：令 X -1 =t ,则 o f(x -1)dx 二1 1 dt + (ln (1 +t)dt1 t I dt 01 t1 )dt1 t10 -3ln2 -1.1,4f(t)dt

15、01 (二(t)dt0 f(t)dt 二042 t0 | 1=ln(2 十t)|+tln(1 十叽= 2ln 2 t1一 0(1ln(1 t)5.设 z = f (ex sin y,x2 y2)，其中 f (u, v)可微，求. ex cy:2yv,则z = f(u,v),复合关系结构如图05-1所示,yxx解：令 exsin y =u, x.z:z : u:z:v=X十X:x: u:x:v:x二exsin yfu (u,v) 2xfv(u,v),/-z:z :u:z:V= X + X :y_u;y:vjy二 excosyfu (u,v) 2yfv(u, v).2x6. 求！ -dxdy，其中

16、D是由xy = 1, y二x及x = 2所围成的闭区域. y解：积分区域如图05-2所示，曲线xy=1,y = x在第一象限内的交点为（1, 1）, 11 _ x _ 2, y _ x .x2x x221 dx dy Jx y积分区域可表示为:2x则 2dxdy 二 d yf2 2 -1 Ldx1 xj/ 42 X X= 42-112 3=1 （x - x） dx294 *xx2()y图 05-2定理的条件，是收敛的 故幕级数的收敛域为-1,1.8.求微分方程（x2 1）y 2xycosx =0通解.解：微分方程可化为 y= COsx，这是一阶线性非齐次微分方程,x +1 x +12x它对应的

17、齐次线性微分方程y21得 分评卷人四、应用题（每小题7分，共计14分）的收敛域（考虑区间端点）7. 求幕级数、CiLx2n 一房地产公司有元时,公寓会全部租出去，当月租金每增加而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？nz0 2 n +1解：这是缺项的规范的幕级数,un卅hm（1严严2n +1:Un1II11n*2n +3/八n2n卅(1) x因为p = ”二 x2 lim二 x2 ,n 厂2n3当p： 1，即-1 ：x ：1时，幕级数绝对收敛; 当p 1，即x 1或X :： -1时，幕级数发散;当p = 1，即x = 1时，若x =1时，幕级数化为上竺 是交错

18、级数，满足来布尼兹定理的条件，n 卫 2n +100 / 1）n +是收敛的，若x = -1时，幕级数化为上匚也是交错级数，也满足来布尼兹心 2n+1Cy = 0的通解为、二2.x +1设非齐次线性微分方程的通解为y =字，则2xC（x）2，代入X2 +1X2 +1 （X2 +1）2方程得 C （x） = cosx ,所以 C（x） = sin x C .x21故原微分方程的通解为y二智 -（C为任意常数）.50套公寓要出租,当月租金定为2000100元时,就会多一套公寓租不出去，最大收入是多少？解：设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元,贝 U y=50-匕200), (x 2000),10

19、01整理得 y =丄(_x27200x -1400000),1001 y(_2x 7200)均有意义，1001令y =0得唯一可能的极值点 x =3600,而此时y ： 0 ,所以x二360050是使y达到极大值的点，即为最大值的点.最大收入为 y 二50-3600 2000(3600 一200) =34 3400 = 115600(元). 100故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大，最大收入为115600元.2. 平面图形由抛物线y2=2x与该曲线在点(*,1)处法线所围成，试求:(1)该平面图形的面积。该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.1解：平面图形如图05-3所示，切点AC,1)处的切线斜率为k = y 1,X2 22由y2 =2x得y丄，故A点处的切线斜率yk 二y x二y y 厂1,2从而A点处的法线斜率为-1,法线方程为x y - 3 = 0 .2y2=2x9联立方程组3得另一交点B(9,x+y_=02-2图 05-3y2 = 2x(1)把该平面图形看作Y型区域,其面积为13 y2 丨 3 y2 y3 |( 一 y) dy = ( y 一 )*2 22 2 6