选修4-2 3变换的不变量与矩阵的特征向量

1、第 三 节变换的不变量与矩阵的特征向量1.1.矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义对于矩阵对于矩阵 实数实数及非零向量及非零向量 ，abcd，A满满 足足 关关 系系定义定义_是矩阵是矩阵A的一个的一个_是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值的的一个一个_特征值特征值特征向量特征向量 A2.2.特征向量的性质特征向量的性质(1)(1)设设 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值的一个特征向量，则对于任的一个特征向量，则对于任意的非零常数意的非零常数k k，_也是矩阵也是矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量的特征向量. .(2)(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量属于矩阵

2、的不同特征值的特征向量_._.(3)(3)求矩阵求矩阵 的特征值、特征向量的步骤：的特征值、特征向量的步骤：第一步：列特征多项式第一步：列特征多项式f()=_.f()=_.第二步：求第二步：求f()=0f()=0的根，即特征值的根，即特征值. .第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非零解，即特征向量零解，即特征向量. .不共线不共线abcdAabcdk3.3.特征向量的应用特征向量的应用(1)(1)设设A是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵， 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值的任意一的任意一个特征向量，则个特征向量，则 _

3、(nN_ (nN* *) )(2)(2)性质性质1 1：设：设1 1，2 2是二阶矩阵是二阶矩阵A的两个不同特征值的两个不同特征值 是矩阵是矩阵A的分别属于特征值的分别属于特征值1 1，2 2的特征向量，对于任意的特征向量，对于任意的非零平面向量的非零平面向量 ，设，设 ( (其中其中t t1 1,t,t2 2为实数为实数),),则对则对任意的正整数任意的正整数n n，有，有 _._.nA n 1 122ttnA nn111222tt12， ，判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)任意向量都可以作为特征向量任意向量都可以作为特征

4、向量.( ).( )(2)(2)矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量是唯一的的特征向量是唯一的.( ).( )(3)(3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( ).( )(4)(4)矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量共线的特征向量共线.( ).( )(5)(5)矩阵矩阵A的特征向量分别为的特征向量分别为 任意非零向量任意非零向量 均可均可以用以用 表示表示.( ).( )12， ，12，【解析】【解析】(1)(1)错误，特征向量必须是非零向量错误，特征向量必须是非零向量. .(2)(2)错误，矩阵错误，矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向

5、量有无数个的特征向量有无数个. .(3)(3)错误，如矩阵错误，如矩阵 就没有特征值，也就没有特征就没有特征值，也就没有特征向量向量. .(4)(4)正确，若正确，若 是矩阵是矩阵A的特征向量，则的特征向量，则 都是矩阵都是矩阵A的特征向量，显然是共线向量的特征向量，显然是共线向量. .(5)(5)正确，都可以表示为正确，都可以表示为 ( (其中其中t t1 1，t t2 2为实数为实数) )的的形式形式. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (4) (5) 31221322k (k0)1 122tt 考向考向1 1 矩阵特征值、特征向量的求法矩阵特征

6、值、特征向量的求法【典例【典例1 1】(2012(2012江苏高考江苏高考) )已知矩阵已知矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-1= 求矩阵求矩阵A的特征值的特征值【思路点拨】【思路点拨】首先求出矩阵首先求出矩阵A，再按照求矩阵特征值的步骤求，再按照求矩阵特征值的步骤求矩阵矩阵A的特征值的特征值. .13441122，【规范解答】【规范解答】A-1-1A=E=E2 2，A=(=(A-1-1) )-1-1. .矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为 令令f()=0f()=0，解得矩阵，解得矩阵A的特征值的特征值1 1=-1,=-1,2 2=4.=4.1113441122231.214 ，又，AAA 223

7、f34,21 【互动探究】【互动探究】本例中条件不变，试求矩阵本例中条件不变，试求矩阵A的属于每个特征值的属于每个特征值的一个特征向量的一个特征向量. .【解析】【解析】对于特征值对于特征值1 1=-1=-1，解相应的线性方程组，解相应的线性方程组 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值1 1=-1=-1的一个特征向量；的一个特征向量；13x3y0 x12x2y0y1,11 ，得一个非零解，对于特征值对于特征值2 2=4=4，解相应的线性方程组，解相应的线性方程组 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值2 2=4=4的一个特征向量的一个特征向量. .2x3y02x3y0，2x3y2.32 ，得

8、一个非零解【拓展提升】【拓展提升】 求矩阵特征值、特征向量的四个注意点求矩阵特征值、特征向量的四个注意点(1)(1)求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行. .(2)(2)特征值与特征向量相对应特征值与特征向量相对应, ,属于不同特征值的特征向量一般属于不同特征值的特征向量一般不共线不共线. .(3)(3)将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失, ,实质其系数实质其系数为为0,0,该变量可任意取值该变量可任意取值. .(4)(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但属于同求出特征值是唯一的，而特

9、征向量是不唯一的，但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量一特征值的特征向量都应该是共线向量. .【变式备选】【变式备选】设矩阵设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的来的2 2倍，横坐标保持不变的伸缩变换倍，横坐标保持不变的伸缩变换(1)(1)求矩阵求矩阵M. .(2)(2)求矩阵求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量【解析】【解析】(1)(1)由条件得矩阵由条件得矩阵 (2)(2)因为矩阵因为矩阵 的特征多项式为的特征多项式为令令f()=0f()=0，解得特征值为，解得特征值为1 1=1=1，2 2

10、=2=2，1002M1002M 10f02 12 ，设属于特征值设属于特征值1 1的矩阵的矩阵M的一个特征向量为的一个特征向量为e1 1= = 则由线性方程则由线性方程-y=0-y=0，得，得同理，对于特征值同理，对于特征值2 2，得一个特征向量为得一个特征向量为所以所以 是矩阵是矩阵M属于特征值属于特征值1 1=1=1的一个特征向量，的一个特征向量， 是矩阵是矩阵M属于特征值属于特征值2 2=2=2的一个特征向量的一个特征向量xy，110 ，e201 ，e110 e201 e考向考向2 2 矩阵的特征值、特征向量的应用矩阵的特征值、特征向量的应用【典例【典例2 2】已知矩阵已知矩阵 A的一个

11、特征值的一个特征值=2=2，属，属于于的特征向量是的特征向量是 (1)(1)求矩阵求矩阵A. .(2)(2)求直线求直线y=2xy=2x在矩阵在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程所对应的线性变换下的像的方程. .【思路点拨】【思路点拨】利用特征值、特征向量的定义式利用特征值、特征向量的定义式 列出列出关于关于a,ba,b的关系式，即可求出的关系式，即可求出a,ba,b，即得矩阵，即得矩阵A，再利用图形变换，再利用图形变换的坐标变换公式，求变换后的方程的坐标变换公式，求变换后的方程. .1a,1bA2,1 ，A【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意由题意 解得解得a=2,b=4a=2,b=4

12、，所以，所以 (2) (2) 代入到直线代入到直线y=2xy=2x中得中得7x=5y,7x=5y,故变换后的方程是故变换后的方程是7x-5y=0.7x-5y=0.A2，1a2221b112a42b2, 故，即12.14A12xxx2yx14yyx4yy ，由，得，2xyx3xyy6 ，则，【拓展提升】【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵的关注点利用特征值、特征向量求矩阵的关注点(1)(1)利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系的依据是特征值、特征向量的定义的依据是特征值、特征向量的定义. .(2)(2)在解题的过程中，还是要注意相

13、关方程组的准确求解在解题的过程中，还是要注意相关方程组的准确求解. .(3)(3)此类问题往往与图形变换等知识综合考查此类问题往往与图形变换等知识综合考查. .【变式训练】【变式训练】(2013(2013福建高考福建高考) )已知直线已知直线l：ax+y=1ax+y=1在矩阵在矩阵A A= = 对应的变换作用下变为直线对应的变换作用下变为直线l：x+by=1.x+by=1.(1)(1)求实数求实数a,ba,b的值的值. .(2)(2)若点若点P(x0,y0)P(x0,y0)在直线在直线l上，且上，且 求点求点P P的坐标的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)设直线设直线l：ax+y=1ax+

14、y=1上任意一点上任意一点M(x,y)M(x,y)在矩阵在矩阵A A对对应的变换作用下的像是应的变换作用下的像是M(x,y)M(x,y)由由 得得1 20 10000 xxAyy，x1 2xx2yy0 1y y ，xx2yyy. ，又点又点M(x,y)M(x,y)在在l上，所以上，所以x+by=1x+by=1，即即x+(b+2)y=1x+(b+2)y=1，依题意依题意 解得解得(2)(2)由由 得得解得解得y y0 0=0.=0.又点又点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在直线在直线l上，所以上，所以x x0 0=1.=1.故点故点P P的坐标为的坐标为(1,0).(1,0).a1b21，

15、a1b1.，0000 xxAyy，00000 xx2yyy，考向考向3 3 的简单表示的简单表示【典例【典例3 3】已知矩阵已知矩阵 的一个特征值为的一个特征值为1.1.(1)(1)求矩阵求矩阵M的另一个特征值的另一个特征值. .(2)(2)设设【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)列出矩阵列出矩阵M的特征多项式的特征多项式f()f()，利用，利用1 1是是f()=0f()=0的根求的根求a a及另一个特征值及另一个特征值. .(2)(2)将向量将向量 表示为表示为 的形式，再利用公式的形式，再利用公式nA a213M53.2 ，求M 1 122ttnnn5111222tt. 表示A M 【规范

16、解答】【规范解答】(1)(1)矩阵矩阵M的特征多项式的特征多项式又又矩阵矩阵M的一个特征值为的一个特征值为1 1，f(1)=0f(1)=0，a=0a=0，由由f()=(-3)+2=0f()=(-3)+2=0，得，得1 1=1,=1,2 2=2=2，所以矩阵所以矩阵M的另一个特征值为的另一个特征值为2.2. a2f13 a32 ，(2)(2)矩阵矩阵M的一个特征值为的一个特征值为1 1=1=1，对应的一个特征向量为，对应的一个特征向量为 另一个特征值为另一个特征值为2 2=2=2，对应的一个特征向量为，对应的一个特征向量为121 ，211 ，12555512213412.1133 ，M M【拓展提升】【拓展提升】表示表示 的三个步骤的三个步骤第一步：求出矩阵第一步：求出矩阵A的特征值的特征值1 1,2 2，对应的特征向量，对应的特征向量第二步：设第二步：设 利用向量相等列方程组求利用向量相等列方程组求t t1 1,t,t2 2. .第三步：代入第三步：代入【提醒】【提醒】 的对应的对应要准确，避免对应错误要准确，避免对应错误. .nA 12.，1 122tt,nnnn111222tt. 中表示A A nnn111222111222tttt 公式中，A 【变式训练