专题提升卷02三角形中的最值范围问题（解析版）

1、高一下学期期中复习备考精准测试卷-第二篇 专题提升卷 专题2 三角形中的最值范围问题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为,所以,即,解得或（舍去）.2已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，

2、可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围【详解】由及余弦定理，可得正弦定理边化角，得，是锐角三角形，即，那么：则，3在半径为2的一个扇形OPB中，圆心角为60，弧上一点M，MNOB，点N在OP上，NOM，则SOMN的最大值为（ ）ABCD1【答案】B【分析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果.【详解】由于MNOB，所以NMO60，ONM120，在ONM中，利用正弦定理，所以，则.由于060，所以当30时，SOMN的最大值为.4在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosAca，点D在AC上，2ADDC，BD2，则ABC的

3、面积的最大值为（ ）ABC4D6【答案】A【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosBsinA，可求cosB，设ADx，则CD2x，AC3x，根据cosADBcosCDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac36，根据基本不等式可得ac6，进而可求解【详解】在ABC中，bcosAca，由正弦定理可得sinBcosAsinCsinA，可得sinBcosAsin（A+B）sinAsinAcosB+cosAsinBsinA，即sinAcosBsinA，由于sinA0，所以，由B（0，），可得B，设ADx，则CD2x，AC3x，在ADB，BDC，ABC中分别利用余弦定理，可得cosADB，c

4、osCDB，cosABC，由于cosADBcosCDB，可得6x2a2+2c212，再根据cosABC，可得a2+c29x2ac，所以4c2+a2+2ac36，根据基本不等式可得4c2+a24ac，所以ac6，当且仅当a2，c时等号成立，所以ABC的面积SacsinABCac5如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、上，且，则长度的最大值为（ ）AB6CD【答案】C【分析】设，用正弦定理把用表示，然后求得，结合两和与差的正弦公式可求得最大值【详解】设，则，中，由正弦定理，得，同理，其中，且为锐角，所以当时，6在中，由角，所对的边分别为，且，则的最大值为（ ）ABC1D【答案】D【分析】

5、根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为在中，由正弦定理可得因为，可得，即，即，所以因为，可得，所以，当且仅当，即，时取“=”，所以，即的最大值为.7克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）A30B45C60D90【答案】C【分析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之

6、间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.【详解】因为，且为等边三角形，所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设，所以，所以解得，所以，所以，8在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD，从而找到角A，C的关系，将四边形的面积用角A，C表示，从而求得面积的最大值.【详解】由余弦定理知：在中，有，在中，有，则，由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，故，在三角形中，易知，当且仅当时等号成立，此时，故，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5

7、分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9在锐角中，边长，则边长c可能的取值是（ ）AB2CD【答案】BD【分析】根据c边最大边或最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】若c边为最大边，则，若边为最大边，则，所以，所以边长c可能的取值是2、.10在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范围即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，所以.由正弦定理得，所以11已知的外接圆半径，则

8、下列说法正确的是（ ）A的最小值为B的最小值为C的周长的最小值为D的面积的最大值为【答案】ABD【分析】利用正弦定理，求出范围，从而求出的范围，结合余弦定理，三角形面积公式,即可求解.【详解】在中，设角所对的边分别记作，,又的外接圆半径，由正弦定理得：,又B、C不会同为钝角，故,又,故B选项对.由上得:，由余弦定理得：，的最小值为，故A选项对，C选项错.由上得：，又,的面积的最大值为,故D选项对，12中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ）AB若，则有两解C若为锐角三角形，则b取值范围是D若D为边上的中点，则的最大值为【答案】BCD【分析】由数量积的定义

9、及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D【详解】因为，所以，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，所以，C正确；若D为边上的中点，则，又，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为_【答案】【分析】由余弦定理及基本不等式求解【详解】，当且仅当时等号成立14在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是_.【答案】（1，3）【分析】由三角形的内角范围可得0A，cos

10、A1，运用正弦定理和三角函数的二倍角的正弦公式和余弦公式，结合余弦函数的单调性，可得所求范围【详解】由B3A，可得CAB4A，由0B，0C，可得0A，则cosA1，=2cos2A+cos2A4cos2A1，由cosA1，可得cos2A1，即有14cos2A13，则的取值范围为（1，3），15我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）在非直角中，为内角，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，_【答案】【分析】

11、由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值，及此时值，然后由余弦定理求得，得角【详解】，即，且，则，又，时，此时，而，16（本题第一空2分，第二空3分）黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星如图，已知正五角星内接于圆，点为线段的黄金分割点，则_，若圆的半径为2，为圆的一条弦，以为底边向圆外作等腰三角形，且，则的最大值为_【答案】 【分析】（1）取的中点，连接

12、，根据正五角星的性质，可得出的值，结合二倍角公式可得的值，（2）在圆中，连接，运用正弦定理即可求解【详解】（1）如图，取的中点，连接，由题意可知为等腰三角形，故，又点为线段的黄金分割点，且，；(2)在圆中，连接，如图：，为角的角平分线，即，在中，由正弦定理得，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若，求A的值；（2）若k=2，求当C最大时ABC的形状【答案】（1）；（2）正三角形.【分析】（1）由，结合，利用正弦定理化简得到，再整理为求解； （2）由，得

13、到，由余弦定理得到，再利用基本不等式求解.【详解】（1），由正弦定理得，即，整理得，所以，所以或，解得；（2），即，所以，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，此时，ABC是正三角形18（12分）若函数，的角，的对边分别为，且.（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长.【答案】（1）是等边三角形；（2）.【分析】（1）化简，由求得，根据正弦定理得到，从而判断取最大值时，B的取值，从而判断三角形形状；（2）取边的中点，在中，由余弦定理求得，从而在中由余弦定理求得.【详解】（1）因为，所以由得，因为，所以，所以，（1）因为，所以，所以当时，取最大值，此时，所以，所以是等边三

14、角形；（2）解：取边的中点，连接，则，且，在中，由余弦定理得，解得，所以在中由余弦定理得19（12分）在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在中，角，的对边分别为，且_.（1）求角；（2）若，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）若选，用和角正弦公式或正弦定理，余弦定理求解；若选，用正弦定理，余弦定理求解；若选，用面积公式，正弦定理，余弦定理求解；（2）用正弦定理和三角恒等变换得到，进而可求得结果.【详解】（1）选择条件 ：解法一：因为，所以，即. 因为，所以.又，所以.解法二：因为，所以，即，所

15、以.又，所以.选择条件 ：因为，所以，即，所以.又，所以.选择条件 ：因为，所以，从而，所以.又，所以.（2）因为，所以，从而.因为，所以，从而，所以的取值范围为.20（12分）在中，角，所对的边分别为，的周长为.（1）求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，转化为，结合二倍角公式和两角和与差的三角函数转化为，再利用正弦定理结合的周长为求解；.（2）由（1）利用基本不等式得到，再由平方，将余弦定理代入得到求解.【详解】（1）因为，所以，所以，化简得，又因为，故，在中，由正弦定理得，故，从而，即.（2）由于，所以，当且仅当时等号成立，而，在中，由余弦定理得，故，所以，故面积的最大值为.21（12分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b3，sinA+asinB2（1）求角A的大小；（2）求ABC周长的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理将sinB转换成sinA，即可得到角A；（2）利用正弦定理将边a，c转换成与sinB有关系的量，然后根据角B的范围求三角形周长即可【详解】解：（1），asinBbsinA，sinA+asinBsinA+bsinA4sinA2，ABC为锐角三角形，于是（2）由正弦定理：可得，周长，又ABC为锐角三角形，,，周长的取值范围为22（12分）如图，在中，是角的平分线，