和差公式及倍角公式地运用

1、实用标准文案和差公式及倍角公式的运用一、和差公式sin( sincos)cossin, sincos()cos cossin, tan tantan()1tan;tan二、倍角公式sin 22sin cos,cos2 cos2 sin 2 12 sin 2 2 cos2 1,2 tantan21 tan2 三、应用类型（题型一） -给角求值例 1 、求 sin 1000sin(1600 )cos2000 cos(2800 ) 的值【解析】原式 =(cos100 sin 200cos200 sin 100 )sin 3001 2或原式 =(sin 800 sin 200cos200 cos800

2、 )cos6001 .2例 2 、计算 1 2 sin 2 22.50 的结果等于（）A 1B 2C3D 32232【解析】 1 2 sin 2 22.50cos 4502 2答案： B例 3 、已知 sin 2 ，则35AB3cos( 2) 的值为（）1C 1D 5993文档实用标准文案【解析】(1 2sin22 1 241cos(2 )cos2) 2sin199答案： B例 4 、已知 为第三象限角， cos3，则 tan 25【解析】 为第三象限角，cos3，5sin 1 cos2 1(3) 24，55于是 tan sin4 ，cos 342 tan 2243tan 2tan2 4711

3、)2(3例 5 、求 sin 100 sin 30 0 sin 500 sin 70 0 的值【解析】 法一：利用二倍角公式的变形公式sin 2解：sin 2 2 sin cos，sin ，0? 1 ? sin10000原式=sin 2000?sin140 02 cos1022cos502 cos70=sin 2000 ?1?sin 8000 ? sin 400= 1 02 sin 8022 sin 402 sin 2016法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式解：原式 = cos800 ? 1 ?cos400 ?cos200 = 1 cos200 cos400 cos80022=12si

4、n 20 0 ? cos20 0 cos 40 0 cos80 0=sin 400cos 400 cos80 022sin 20 04 sin 200sin 80 0 cos80 0sin 16001=8 sin 200=16 sin 20 0 =16 或原式 = cos800 ? 1 ? cos400 ? cos200 = 1 cos200 cos400 cos80022=1 ? sin 400? cos 40 0 cos80 01 ? sin 80 0 cos8001 ? sin 16001 22sin 20 08sin 20 016 sin 20016文档实用标准文案提示： sin 2

5、2sin cos，cos sin 2，因此 cos200sin 400.2 sin 2sin 200法三：构造对偶式，列方程求解令 xsin10 0 sin 50 0 sin 700 , ycos10 0 cos50 0 cos70 0.则 xysin 10 0 cos10 0 ? sin 500 cos500 ? sin 700 cos700= 1 sin 20 0 ? 1 sin1000 ? 1 sin1400222= 1 sin 200 ?sin 800 ? sin 400 = 1 sin 800 ? sin 400 ?sin 20088= 1 cos100 cos50 0 cos700

6、 = 1 y88x1 ，从而有sin100sin 300sin 500sin 700=1y 0 ，816例 6 、求下列各式的值1（1） sin 2；12【解析】（1）原式 = （2 sin221 tan12（2）原式 =tan12（2）1tan tan121212sin212；1）(1)cos44828212 tan121222 32 tantan126【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：（1 ）对“二倍角” 应该有广义的理解， 如： 4是 2的二倍角， 是的二倍角， 3是 3的二倍角等；2（ 2 ）公式逆用：主要形式有 2 sin cos sin 2，sin cos 1 sin

7、2, 2sinsin 2sin 2 cos2 sin 2 cos2,2 tantan 2., cos2sin,1 tan22 cos【变式训练】同步练习、求下列各式的值2文档实用标准文案tan cos200cos400cos 600cos8008； (cossin8)(cos8sin ) ；2 881tan8（题型二） -给值求值例 1 、已知 sin(x)1(0,求cos2x.4, x),的值54cos(x)4【点拨】求 x的范围求 cos( x)的值利用 cos2xsin( 2x)求值 ,442而；x)x).sin(2x)2 sin(x) cos(x) cos(4sin(x)sin(244

8、244【解析】x(0,x), 4(0,),441x)1226依题意， sin(x)，cos(sin(x),45445又 cos2 x2x)2sin(x) cos(212 64 6,sin(4x)245525x)x)1 ,cos(x)sin(sin(424454646 .原式=25515【题后感悟 】（ 1 ）从角的关系寻找突破口这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论（2 ）当遇到 x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将4文档

9、实用标准文案条件与结论沟通 cos2xsin( 2x)2 sin( x) cos(x).244类似这样的变换还有：cos2xsin( 2x)2 sin( x) cos( x),244sin 2x2x)112 sin2x),cos(2x)2 cos (244sin 2xcos(2x)122(x)1等等.22 cos(x) 2 sin44例 2 、已知 sin( x)2, x( 0, ), 求sin 2x的值434sin(x)4【解析】sin 2x12 sin 2 ( x)12( 2)21 ,cos(2x)2439又x( 0,x(0,),),444依题意， sin(2x)1 sin2x)5x)3，

10、cos(,4443而 sin( x)sin ( x)cos( x)5,424431原式95 .5 153（题型三） -化简例、化简下列各式： cos100 (13 tan100 ) ;2 cos2 1.cos700 1cos40022 tan()sin)44【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式文档实用标准文案03 sin 100cos10(1cos100)cos10 03 sin 10 0【解析】（1）原式 =sin 20 0 ?2 cos 2002sin 400210302(cos10 03 sin100 )22(2cos102sin10)sin 400sin 4002 2(sin 300 co

11、s100cos300 sin100 ) 22 sin 40022.sin 400sin 400提示： 1、1cos40 02cos2 200 ；2、 还可以将1 变为 cos600 , 将3 变为 sin 60 0 ,因此，分子变为 cos500.22【解析】（2）原式 =cos2cos2cos21.2sin(4)sin(22)cos22 ?cos ()4cos(4【题后感悟 】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦” ，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理

12、后，一般都会化简完毕【变式训练】化简：3 tan1203；1sin cos 1sin cos0201sin1sinsin12( 4 cos 122)coscos3 sin120【解析】原式 =cos12033 sin12 03cos1202 sin120 (2 cos2 12 01)2 sin120 cos120 cos2402 3(1sin 1203cos120 )43(sin 300sin 120cos300cos120)22sin 24 0 cos24 0sin 480文档实用标准文案43 cos42 04 3sin 48043.sin 480sin 48 02 sin cos 2 si

13、n2 2sin cos 2 cos2法一：原式 =222222 2sin cos 2 sin 22 sin cos 2cos2222222sin cos sin2 cos222222.sin cossinsin cos2222法二：原式=(1 sin cos)2(1sin cos)22(1sin )22 cos2 （sin）cos)221 cos(1 sin (1cossin )4(1sin )2.2 sinsin(1sin )四、万能公式 （正、余弦的二倍角与正切的单角的关系）2 tan2 tan1sin 2 2 sin cos2sin cos,即sin 2;sin 2 cos2 1tan1

14、tan2 2 2cos 2 cos2 sin 2 cos2 sin21tan21tan2, 即cos2.sin 2 cos2 1tan21tan 2说明：这两个公式叫做“万能公式” ，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了 S2 、 C 2与 T2之间的关系，就会使解题过程更简捷五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系， 所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式主要形式有：、 1 sin 2sin2cos22sin(sin2,coscos )sin sin 2,2sin2cos、 sin 2coscossin 2.2 sin 文档实用标准文案cos 2cos2、 cos2 cos2 sin 2 cos2 sin 2 2 cos2 1,1 2sin 2 ,1 cos2,21 cos 2.2六、错例分析例、解不等式 sin x cosx10.【错解】 sin xcosx1, 两边平方，得 (sin xcos x)21,12sin x cosx1, sin 2x0,2k2x 2k Z ), 因此，k xk Z ).(k2( k即原不等式的解集为 (,),其中kZ.kk 2【正解】sin xcosx1, 两边平方，得 sin x cosx0,必有sin x