直线、平面垂直的判定与性质

1、（见表8-8-1414）第五节直线、平面垂直的判定与性质考纲解读：1 1 以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和 判定定理。2 2 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。命题趋势探究：在高考中，对垂直关系的考察一般有两种方式：（1 1）考察垂直关系的有关定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关 的判定和性质定理。（2 2）以空间几何体为载体，证明有关线线、线面、面面的垂直关系。预测在20152015年高考中，对本专题的考查在客观题中以证明线面垂直为重点。知识点精讲：1 1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意

2、一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相 互垂直. .2 2 .判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-138-13）表 8-138-13文字语言图形语言付号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则 该直线与此平面 垂直2 27 7a,ba,b u u a a a a丄1 1 b b丄1 1 a a b b 二 PJPJ= =l l丄a面丄面？线丄面两个平面垂直，则 在一个平面内垂 直于交线的直线 与另一个平面垂 直BDM ,MK图 8-130例8.358.35如图8-1318-131所示，在长方形ABCD中，AB =2,BC詔,E为CD的中点，F为线段EC上（端点

3、除外）一动点. .现将 AFD沿AF折起，使平面ABD _平面ABCF，在平面ABD内过点D作DK丄AB，K为垂足. .设AK =t，则t的取值范围是 _8-131分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键就本 题而言，在矩形 ABCD中，引DK _ AF于M交AB于K，在折起的过程中,始终保持与AF垂直的关系，即 D在平面ABC内的射影D 始终保持着与M、K共线,所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点F的位置确定后，K的位置将固定不动，t值也不会因折起而变化，因此在平面图形中，利用相似建立t的表达式，求其取值范围解析：如图8-1328-132（a a）所

4、示，过K作KM - AF于点M，连接DM，易得DM AF， 与折前的图形相比，可知折前的图形中，D，M，K三点共线，且DK AF （如图8-1328-132（ b b）AK AD t 11t :所示），于是DAK s FDA，所以AD DF，即1 DF，所以 DF，又t乏（丄1）DF），故（2）. .(a)(b)图 8-132评注：本题的解法为借助平面解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路立体几何问题的基本思路. .变式1 1如图8-1338-133所示，正四面体ABCD中，棱长为4 4, M是BC的中点，P在线段AM 上运动（P不与A，

5、M重合），过点p作直线| 一平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给 出下列命题：BC 一平面AMD ；点Q一定在直线DM上；VCMD二尔2，其中正 确的是（）ABC. D.4例8.368.36如图8-1348-134所示，在直三棱柱ABC-ABG中，平面ABC丄侧面AABB. .求证:AB 丄 BC分析 通过线面垂直，证明线线垂直解析如图8-1358-135所示，过点A在平面AABB内作AD 一 AB于点D，连接CD ,则由平面ABC丄侧面AABB，则平面ABC侧面AABB = AB，得AD丄平面ABC，又BC ABC ,所以A D_ B C因为三棱柱ABC - ABQ是直三棱柱，故A A丄底

6、面 A B C所以 AA丄BC 又AA AD= A从而BC丄侧面AABB 又AB u 侧面AABB!,故 AB 丄 BC图 8-134图 8435评注垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直变式1 1如图8-1368-136所示，在三棱锥P - ABC中，AC = BC，PA二PB . .求证：PC丄AB. .P图 8 136二、线面垂直垂直关系中线面垂直是重点. .P垂直两条相交线；垂直里面作垂线；直（正）棱柱的侧棱是垂线；线垂面哪里找i i正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线其中正确的命题是（AB.C.D.线垂面有何用面面垂直 = 线面垂直，符号表示为:-=b，a :，a _ b，那

7、么 a_ -，1，则下列命题中正确的是（）. .B.若 l/a , ,l /B，则a /pD.若I丄吓丄0，则I丄B8-1378-137所示在正方体ABCD-ABCQ中，另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项A正确. . 垂直面里所有线（证线线垂直）； 过垂线作垂面（证面面垂直） .证明线面垂直常用两种方法 方法一：线面垂直的判定线线垂直二线面垂直，符号表示为：a丄b，a丄c,bua ,cua ,bc = P，那么a丄a .方法二：面面垂直的性质例8.378.37 已知直线1和两个不同的平面A若丨丄SI丄0，则a/BC.若I丄吓丄0,则I/P解析 举反例排除法，如图AB/平面ABCD

8、 iAB/平面CDDC 1而平面ABCi Di与平面CDDiCi相交 故选项B 错.AA -平面 ADD1A1 平面 BCC1B _ 平面 A)B1C1 D1 而 AD / /平面 BCC1B1 故 选项D错. .故选A. .图 8437变式1 1已知直线1 -平面,直线m 平面,有下面4 4个命题： a / /P 二丨丄m . 口 / 沖二 I /m . I / /m= a 丄 P .丨 /m二 a / P变式2 2设m和n是两条不同的直线，:-和：是两个不同的平面，给出下列4 4个命题：若 m 丄 n,m 丄c(,n u o，则 nIla.； 若 m/ct,o 丄 P P，则 m/B ；若

9、m丄0 0, ,。丄B B ,则m/ot或mu a ；若m丄n,m丄c(,n丄B B，则口丄P P . .其中正确命题的序号为例8.388.38如图8-1388-138所示，在正方体ABCD-ABCIU中，ACi为其对角线. .求证:AC, _ 平面 B1CD1分析由线面垂直的判定定理，证明直线AC1与B,CDI的两条相交线垂直解析如图8-1398-139 所示，连接BGGD. .因为在正方体中AB _平面BCGB, ,所以AB_ BQ1, , 且BC1丄AC1又AB a BC1 = B所以BC丄平面ABC1因此B1C丄AC1同理CD1丄AC1 又BCCU =C所以AC1丄平面BCD1AD爲G

10、图 8-139评注判断线线垂直与线面垂直，最基本的思路是：“一直线与三角形两边所在的直线垂直，必垂直于第三边所在直线”，这里要抓住线线垂直与线面垂直的互相转化 变式1 1如图8-8-140140所示，正四棱柱ABCD-ABCQ中，AA=2AB = 4，点E在CC1上且GE = 3EC求证.AC丄平面BDE图 8-140变式2 2如图8-1418-141所示，在四棱锥P-ABCD中，PA 平面ABCD , E为BD的中点,G为PD的中点，八DAB二DCB , EA = EB = AB，连接CE并延长交AD于F . .求证:AD 平面CFG图 8-141变式3 3如图8-1428-142所示，四棱

11、锥S - ABCD中,AB / /CD , BC / /CD，侧面 SAB 为等边三角形，AB = BC = 2 , CD = SD =1求证：SD _ 平面 SAB图 8 142三、面面垂直主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直=面面垂直）证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决 例8.398.39如图8-8-143143所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA二a，PB二PD = -、2a，则它的5 5个面中，互相垂直的面有对. .pB图 E143解析依题意，PA = a,PB *2a，底面ABCD是边长为a的

12、正方形，则AB二a，故PAB为直角三角形，所以AB _ PA，由AB _ AD PA AD = A同理可证平面PAD _平面PCD. .故互相垂直的面有 5 5对. .A直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D ABC内部A A如果平面-平面AB 一 PATHAB丄平面PAD1 古古二H 平面PAB丄平面PADAB u平面PAB平面PAD丄平面ABCD 平面PAB丄平面ABCD 平面PAB丄平面PBC? ? ?变式1 1如图8-1448-144所示，在斜三棱柱ABC-ABGABC-ABG中，-BAC = 90 , BGBG 一 ACAC，则G G在底面ABC上的射影H必在(图 8-144变

13、式2 2下列命题中错误的是(，那么平面:内一定存在直线平行于平面B-如果平面:不垂直于平面，那么平面:内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面-平面 ，平面-平面 ， = 1，那么1 -平面D.如果平面平面：，那么平面:内所有直线都垂直于平面：例8.408.40如图8-1458-145所示，在三棱柱O-ABC中，0C _底面ABC ,乙ACB = 90，点D 在棱OB上. .求证：平面ACD丄平面OBC . .图 8-145分析 根据面面垂直的判定定理， 由线面垂直=面面垂直. .究竟是证哪个面内线垂直于哪个面，这就需要先分析图形结构与题设条件，考虑哪条线与面的垂直关系易证解析 因为OC丄底面A

14、BC， AC匚平面ABC，所以OC丄AC . .又Z ACB = 90 ，所以AC丄BC，OC BC = C，故AC丄平面OBC又AC u平面ACD ，所以平面ACD丄平面OBC . .变式1 1如图8-1468-146所示，在三棱锥V - ABC中，VC 底面ABC，AC BC , D是AB的中点，且AC二BC . .求证：平面VAB _平面VCD . .V图 146变式2 2如图8-1478-147所示，四边形 ABCD为正方形,PD _ 平面 ABCDPD / /QAQA = AB J PDPQCDCQ2求证：平面PQC丄平面DCQ变式3 3如图8-1488-148所示，在五棱锥P -A

15、BCDE中,PA _ 平面 ABCDEAB / /CDAC/ED AE /BC ABC = 45 AB=2.2BC =2AE =4三角形PAB等腰三角形求证：平面PCD丄平面PAC . .8-148最有效训练题3535 （限时4545分钟）1.1. 设1是直线，：是两个不同的平面，则有（）A若I /a ,丨/邛，则a/PB-若 I/八，1 则:-C.若 I ：，则 1 1 D.若:-，H-，则 I 12.2. 设平面与平面相交于直线 m m，直线a a在平面内，直线b在平面-内，且b m，则是“ a _ b ”的（）. .A充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

16、3.3. 已知,表示两个互相垂直的平面，a,b表示一对异面直线， 则a b的一个充分条件是（ ）. .A a/a,b 丄 B BB. a/ 从 b /卡/C. a 丄b/PD. a 丄丄 P P4.4. 设m，n是两条不同的直线，：是两个不同的平面， 则下列命题中不正确的是 （）A 若 m _ n，m 丄a， nUa，贝y n/aB.若 m -，。丄 P，则 m/ /a 或 mu aC.若 m/：，。丄B,则m丄BD.若 m _ n ，m丄a , n丄Pya 丄 P55如图 8-1498-149 所示，四边形 ABCD 中,AD / /BC , AD = BC , BCD =45 , BAD

17、二 90 将ADB沿线段BD折起，使平面ABD _平面BCD，构成三棱锥A - BCD，则在三棱 锥A-BCD中，下列命题中正确的是（）. .A平面ABD -平面ABCB.平面ADC _平面BDCC.平面ABC 平面BDCD.平面ADC 平面ABC66在四面体P 一 ABC中，D， E，F分别是AB， BC , CA的中点，下面四个结论中不 成立的是（）A BC/ 平面 PDFB. DF _ 平面 PAEC.平面PDF 平面ABCD.平面PAE 平面ABC7.7.a，b表示直线，表示平面. . 若，-a , b 二：则:-:； 若a : , a垂直于：内任意一条直线，则:-：； 若。丄 0 0

18、, , G 仃 丫 =a , PIY =b，贝y a 丄b ； 若a不垂直于平面:-，则a不可能垂直于平面:-内无数条直线; 若a丄.b丄B，a/b，则。.上述五个命题中，正确命题的序号是 88已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC BD，则平行四边形ABCD 一r曰疋是. .9.9. 已知四棱锥P - ABCD的底面ABCD是矩形，PA 一底面ABCD，点E, F分别是棱PC, PD的中点，则 棱AB与PD所在的直线垂直； 平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于 PAB的面积； 直线AE与直线BF是异面直线. .以上结论正确的是. .(写出所有正确结论的编号)10.10. 平面外有两条直线 m和n，如果m和n在平面内的射影分别是 m和n，给出下列 四个命题：m，_n=m_n ；笑口_门=m，_ n 口，和n相交= m和n相交或重合；m，和n平行= m和n相交或重合. .其中不正确的命题个数是个. .11.11. 如图 8-1508-150 (a a)所示，等腰梯形 ABCD 中, AD/BC , AB = AD , ABC = 60 , E是BC的中点将ABE沿AE折起后如图8-1508-1