第二章 应力状态

1、第二章第二章 应力状态应力状态研究对象三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。目录目录2.1 体力和面力体力和面力2.2 应力与应力张量应力与应力张量2.3 二维应力状态与平衡微分方程二维应力状态与平衡微分方程2.4 应力状态的描述应力状态的描述2.5 边界条件边界条件2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向2.7 应力球张量和球应力偏张量应力球张量和球应力偏张量2.1 体力和面力体力和面力 物体外力物体外力 分为两类分为两类 体力体力 面力面力 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面

2、体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。积的载荷。2.2 应力与应力张量应力与应力张量内力内力外界因素作用下，物体内部各个部外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。分之间的相互作用力。附加内力附加内力应力应力应力矢量应力矢量pn随截面的法线方向随截面的法线方向n的方向改变而变化的方向改变而变化 SSFplim0n应力状态一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力

3、状态的参数，通常将应力矢量分解。2.2 应力应力2应力矢量应力矢量沿坐标分解没有工程意义正应力和切应力正应力和切应力正应力正应力s n与切应力切应力t n 与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量应力张量应力张量应力张量应力张量可以描述一点应力状态应力状态2.2 应力应力3333231232221131211sssssssssstttstttsszzyzxyzyyxxzxyxij应力张量应力张量应该注意应该注意应力分量是标量应力分量是标量箭头仅是说明方向箭头仅是说明方向 2.2 应力应力42.3 平衡微分方程平衡微分方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须

4、讨论一点的平衡。微分平行六面体单元平衡微分方程切应力互等定理 jiijss0,bjiijFs0bxzxyxxFzyxtts00bzzyzzbyzyyxyFzyxFzyxstttst2.5 平衡方程平衡方程22.4 应力状态应力状态如果应力张量能够描述一点的应力状态，则如果应力张量能够描述一点的应力状态，则1.应力张量可以描述其它应力参数；应力张量可以描述其它应力参数；2. 坐标变换与应力张量关系；坐标变换与应力张量关系；3. 最大应力及其方位的确定。最大应力及其方位的确定。公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。微分面的应力矢量。当然可

5、以确定正应力当然可以确定正应力s s n与切应力与切应力t t n。jijinps应力矢量与应力分量的关应力矢量与应力分量的关系系2.4 应力状态应力状态2l应力不仅随位置改变而应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位变化，而且随截面方位改变而变化。改变而变化。l同一点由于截面的法线同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应方向不同，截面上的应力也不同。力也不同。l讨论应力分量讨论应力分量在坐标变在坐标变换时的变化规律换时的变化规律。 2.4 应力状态应力状态3 任意斜截面的应力任意斜截面的应力 转轴公式转轴公式 应力分量应力分量满足满足张量张量变化规则变化规则 应力张量应力张量为二阶对称张量为

6、二阶对称张量 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。量可通过原坐标系的应力分量确定。 应力张量应力张量可以确定一点的可以确定一点的应力状态应力状态。 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的作为整体所描述的应力状态没有变化应力状态没有变化。 2.4 应力状态应力状态4jjiiijjinnss平面应力状态转轴公式平面应力状态转轴公式弹性力学以坐标系定义应力分量；弹性力学以坐标系定义应力分量； 材料力学以变形效应定义应力分量。材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异正应力

7、二者定义没有差异而切应力定义方向不同而切应力定义方向不同2.4 应力状态应力状态5)sin(cossincos)()sin(cos2cossin)sincos2sincos2212222tssttssstsssxyyxyxxyyxyxyyxx2.5 边界条件边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知边界面力已知面力边界Ss s iijsjnFs面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。边界的应力分量

8、的关系。2.5 边界条件边界条件2面力边界条件描述弹性体表面的平衡，描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。 2.5 边界条件边界条件3位移边界条件位移边界条件边界位移已知边界位移已知位移边界Su 位移边界条件就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 wwuvuu2.5 边界条件边界条件4混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 SSs sSu部分边界

9、位移已知部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界Ss s不论是不论是面力边界条件，位移边界条件，还是还是混合边界条件，任意边界的边界条件，任意边界的边界条件数必须等于数必须等于3 3个。个。2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数结构强度分析需要简化和有效的参数最大正应力、最大切应力以及以及方位主应力和和主平面应力状态分析重要参数应力状态分析重要参数应力不变量进一步探讨进一步探讨应力状态 主应力和主平面 主应力分析主应力分析0)(0)(0)(nmlnmlnmlz

10、yzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0sstttsstttsszzyzxyzyyxxzxyx2.6 主应力主应力2展开 032213IIIsss032213IIIssszyxIsss1其中：其中： 主元之和主元之和 ijs2222xzyzxyxzzyyxItttssssss代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxIstttsttts3应力张量元素应力张量元素构成的行列式构成的行列式主应力特征方程2.6 主应力主应力3 应力状态特征方程应力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力确

11、定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即因此，特征方程的根是确定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不随坐标轴的改变而变化的。的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1 1、I2 2、I3 3 分别称为应力张量的分别称为应力张量的第一、第二第一、第二和第三和第三不变量不变量。2.6 主应力主应力4特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根s s1 1，s s2 2，s s3 3分别表示这三个根，代表某点三个分别表

12、示这三个根，代表某点三个主应力。主应力。对于对于应力主方向应力主方向，将，将s s1 1，s s2 2，s s3 3分别代入分别代入和和 l2+m2+n2=1则可求应力主方向。则可求应力主方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss2.6 主应力主应力5主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。

13、应力不变量正是对应力状态性质的描述。2.6 主应力主应力6l不变性l实数性l正交性主应力正交性证明：主应力正交性证明：下面证明下述结论：下面证明下述结论：1. 若若s1s2s3，特征方程无重根；特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直应力主轴必然相互垂直；2. 若若s1s2s3，特征方程有两重根；特征方程有两重根； s s1和和s s2的方向必然垂直于的方向必然垂直于s s3的方向。而的方向。而s s1和和s s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若若s1=s2=s3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，三个应力主轴可

14、以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力7 设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 0)(0)(0)(111111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(333333333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可

15、得 0)(21212121nnmml lss0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss2.6 主应力主应力80)(21212121nnmml lss0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss如果 s1s2s3000313131323232212121nnmmllnnmmllnnmmll3个应力主方向相互垂直 如果 s1=s2s300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零。 s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2

16、的应力主向。2.6 主应力主应力9如果 s1=s2=s3则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力10 主应力是一点所有微分面上最大或最小的主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；作用方位； 最大切应力的确定。最大切应力的确定。 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势势应力圆。 最大切应力以及方位的确定。最大切应力以及方位的确定。2.6 主应力主应力11正应力和切应力分析分析1 2 3应力圆最大切应力方位2.6 主应力主应力122.7 应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量 应力张量的分解应力张量的分解 应力球量改变单元应