第2章应变分析(修改)

1、2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析1第一节第一节 一点的应变状态一点的应变状态 应变与位移的关系应变与位移的关系第二节第二节 应变状态分析应变状态分析第三节第三节 主应变主应变第四节第四节 应变张量和应变偏量应变张量和应变偏量第五节第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）应变协调方程（连续性方程、相容方程） （Equations of compatibility）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析2 在静力学理论中，通常在静力学理论中，通常假定物体是刚性假定物体是刚性的，即在力的作用的，即在力的作用下，构成该物体质点之间的距离保持不变。前

2、章建立平衡条件下，构成该物体质点之间的距离保持不变。前章建立平衡条件时，就忽略了固体变形，即假定固体是刚体。实际上刚体是不时，就忽略了固体变形，即假定固体是刚体。实际上刚体是不存在，所有物体在某种程度上都是可以变形的，也即是说，在存在，所有物体在某种程度上都是可以变形的，也即是说，在力的作用下，实际物体质点之间的距离总是要发生变化的。一力的作用下，实际物体质点之间的距离总是要发生变化的。一个物体是否可以被假定为刚体，关键在于刚体假定的有效范围。个物体是否可以被假定为刚体，关键在于刚体假定的有效范围。 本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。反映物体反

3、映物体变形规律的数学方程变形规律的数学方程也有两类，即也有两类，即几何方程几何方程和和变形协调方程变形协调方程。由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均属于属于“普适方程普适方程”。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析3 前面讨论了受力物体的应力，现在开始讨论物体的变形。前面讨论了受力物体的应力，现在开始讨论物体的变形。 在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生位移。在外力作用下，物体各点的

4、位置要发生改变，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为刚体刚体位移位移。 如果物体各点发生位移如果物体各点发生位移后改变了各点间初始状态的后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时产相对位置，则物体就同时产生了形状的变化，统称该物生了形状的变化，统称该物体产生了变形。（书图体产生了变形。（书图21）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析4 为了确定正应变的定为了确定正应变的定义，在一受拉杆

5、上有线段义，在一受拉杆上有线段ABAB，在变形后，变为，在变形后，变为 （见右图）。（见右图）。 若线段若线段 AB AB 的长度的长度为为 ，变形后的，变形后的A A点的点的xBA 物体不论是发生空间的刚体运动或实形状的变化，终归物体不论是发生空间的刚体运动或实形状的变化，终归体现为物体内部每一点产生位移；因而，只要确定了物体内体现为物体内部每一点产生位移；因而，只要确定了物体内各点的位移，物体的变形状态也就确定了。因此研究物体内各点的位移，物体的变形状态也就确定了。因此研究物体内一点的变形是很重要的。一点的变形是很重要的。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析5 下面

6、我们讨论一般情况，给出下面我们讨论一般情况，给出应变应变的概念。设在直角坐标的概念。设在直角坐标系中，变形前系中，变形前A点的坐标是（点的坐标是（x，y，z），变形后的坐标是），变形后的坐标是（x+u，y+v，z+w），这里），这里u，v，w是是A点的位移在点的位移在x，y，z三三轴上的投影，它们都是坐标轴上的投影，它们都是坐标x，y，z的的连续函数连续函数，而且，而且位移的位移的导数也是连续的导数也是连续的。dxduxuxx0lim定义：定义：正应变正应变（21）显然，如果变形的分布是均匀的，则有显然，如果变形的分布是均匀的，则有: :即：即：材料力学的拉伸应变材料力学的拉伸应变。000ll

7、lllx（22）位移是位移是u u，而，而B B 点的位移是点的位移是 u u+ + u u，则线段，则线段 增加了增加了 u u。x2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析6 设由变形体中取出一个微小六面体（见书中图23变形体的投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。 由于变形很微小，所以可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因而，两个平行面的投影可以合并为一个投影面。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分

8、析7 首先，研究平行六面体首先，研究平行六面体在在xoz面上的投影面上的投影ABCD（见（见书中图书中图24）。在变形前六）。在变形前六面体面体A点的坐标为（点的坐标为（x，y，z），在六面体变形时，投影），在六面体变形时，投影上的上的A点移到了点移到了 点，同时点，同时而整个而整个ABCD移到移到 。A，BB，CC，DDDCBA 设设A点的位移是点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：，它们是坐标的函数，因此有： ),(1zyxfu ),(2zyxfw （23） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析8而而B点的坐标为（点的坐标为（x+dx，y，z），因此），因此

9、B点在点在x方向的位移为：方向的位移为： ),(11zydxxfu根据根据泰勒级数展开式泰勒级数展开式，可得：，可得： 2212111),(! 21),(),(dxxzyxfdxxzyxfzyxfu略去略去高阶项高阶项后得到：后得到：dxxuuu1（24） 由于由于 则则AB在在x轴上的投影的伸长量为轴上的投影的伸长量为 ，则有：则有： dxxuuu1dxAB xudxuux12021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析9同理可得平行于同理可得平行于 y 轴和轴和 z 的边长的正应变，因此有：的边长的正应变，因此有：（25） xuxyvyzwz 取变形前的直角取变形前的直角BA

10、C或或 ，变形时，棱边，变形时，棱边 转动转动一个角度一个角度 ，棱边，棱边 转动一个角度转动一个角度 ，在，在xoz平面内，角平面内，角应变用应变用 表示，其值为表示，其值为 和和 之和，即：之和，即： CAB BACAzxzx（26） 若若A点在点在z 轴方向的位移为轴方向的位移为 ， ),(2zyxfw 当当 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。zyx，2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析10 xzAAB BBwudxxuudxxwwCoC图：位移矢量在图：位移矢量在xoz平面上的投影平面上的投影返回2021-7-27周书敬

11、周书敬第二章第二章 应变分析应变分析11则则B点在点在Z 轴方向的位移为轴方向的位移为 ， dxxwwzydxxfw),(21dxxwwwBB 1B点与点与A点点沿沿Z 轴方向的位移之差为轴方向的位移之差为: : 在直角三角形在直角三角形 中，可得：中，可得： BBA xuxwdxxudxdxxwBABBtg 1在分母中在分母中 （ ）与）与1相比是一个微量，故可以略去，因而相比是一个微量，故可以略去，因而得出，得出， xuxxw2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析12同理可得：同理可得： zu所以有剪应变：所以有剪应变：xwzuzx 同理可得另外两个剪应变同理可得另外

12、两个剪应变 。即有剪应变的表达。即有剪应变的表达式（式（27） yzxy，（27） xvyuxyywzvyzxwzuzx说明：剪应变的正负号说明：剪应变的正负号表示夹角变大表示夹角变小),(0),(0zyxjizyxjiijij2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析13所以，正应变和剪应变的表达式为（所以，正应变和剪应变的表达式为（28）：）：xwzuzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx，（28） 式（式（28）称为）称为柯西（柯西（Cauchy）几何关系）几何关系。式式(28)的的提出者：法国工业学院的数学教授柯西（提出者：法国工业学院的数学教授柯西（Cauc

13、hy）(17891857)，于，于1822年发表的论文提出的年发表的论文提出的 注意：书中注意：书中P48给出了帮助记忆的图形（图给出了帮助记忆的图形（图25）。）。可知：如果可知：如果已知位移分已知位移分量可以很简量可以很简单的求出应单的求出应变分量；反变分量；反之，则问题之，则问题比较复杂。比较复杂。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析14 利用类似的方利用类似的方法，可以导出柱坐法，可以导出柱坐标表示的几何方程标表示的几何方程为式（为式（29）：）： zurwzwzvwrruvrrvurrvruzrzzrr111 ，（29）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二

14、章 应变分析应变分析15其中，其中， 分别表示一点位移在径向（分别表示一点位移在径向（r方向），环向方向），环向（ 方向）以及轴向（方向）以及轴向（z方向）的分量。方向）的分量。 wvu， 对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示的对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示的几何方程为几何方程为： rvrvurruvrrurr11（210） 下面给出式（下面给出式（210）的推导过程。）的推导过程。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析16首先假定只有径向位移而没有环向位移首先假定只有径向位移而没有环向位移： 如图（如图（26）所示，在）所示，在P点沿径向

15、和环向取两个微段点沿径向和环向取两个微段PA和和PB，设，设PA移到了移到了 ，位移为位移为u；PB移到了移到了 ，则，则P，A，B三点的位移分别为：三点的位移分别为：AP BPuPPdrruuAAdfrfdrfduuBB),(),(odxyrpBpBAA径向位移图径向位移图2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析17则则PA的正应变为：的正应变为： rudrudrruuPAPAAPr)(PB的正应变为：的正应变为： rurdrddurPBPBBP)(pBpB径向线段径向线段PA的转角为：的转角为： 0urrduduuPBPPBBtg1)(环向线段环向线段PB的转角为：的转

16、角为： 所以有：所以有： urr12021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析18其次，假定只有环向位移而没有径向位移其次，假定只有环向位移而没有径向位移: 见图见图27，由于，由于P点的环向位移点的环向位移v，径向线，径向线段段PA移段到了移段到了 ，环，环向线段向线段PB移到了移到了 ，则则P，A，B三点的位移三点的位移分别为：分别为： AP BP dvvBBdrrvvAAvPP ,可见：径向线段可见：径向线段PA的正应变为的正应变为 ：0rxydpp BB AA rdr图图2-7 环向位移图环向位移图o2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析19环向线

17、段环向线段PB的正应变为：的正应变为： vrrdvdvvPBPBBP1)(径向线段径向线段PA的转角为：的转角为： rvdrvdrrvvPAPPAAtg )(环向线段环向线段PB的转角为：的转角为： rvOPPPPPO 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析20所以剪应变为：所以剪应变为： rvrvr 因此，如沿径向和环向都有位移，则根据叠加原理可得式因此，如沿径向和环向都有位移，则根据叠加原理可得式（210）。）。 对于轴对称问题：对于轴对称问题： ， ，则式（，则式（210）的平）的平面极坐标几何方程为（面极坐标几何方程为（211） )(ruu 0vrurur，（21

18、1） 对于球对称问题：变形的几何方程为式（对于球对称问题：变形的几何方程为式（212） rurur，（212） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析21 注意：书中注意：书中P47对方程（对方程（210）的相关项进行了解释，自）的相关项进行了解释，自己看一下。己看一下。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析22xyzpNNdro 现在已知物体内任一点现在已知物体内任一点P P 的六个应的六个应变分量变分量 ，试求经过该点（试求经过该点（P点）的沿点）的沿N方向的任一方向的任一微小线段微小线段PNdr的正应变，以及经过的正应变，以及经过P点的微小线段

19、点的微小线段PN和和 的夹角的改变。的夹角的改变。 zxyzxyzyx，NP 令令PN的方向余弦为的方向余弦为l、m、n，则，则PN在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为： 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析23ndrdzmdrdyldrdx，（213） 设设P点的位移分量为点的位移分量为u，v，w，则，则N点的位移分量为：点的位移分量为：的高阶项),(),(),(dzdydxdzzfdyyfdxxfzyxfdzzdyydxxfuN略去高阶项（小量）得：略去高阶项（小量）得： dzzudyyudxxuuuN同理可得同理可得 ：NNwv ，即有式（即有式（214）202

20、1-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析24dzzwdyywdxxwwwdzzvdyyvdxxvvvdzzudyyudxxuuuNNN（214） 在变形后，线段在变形后，线段PN在坐标轴上的投影为（在坐标轴上的投影为（215）式：即）式：即 dzzwdyywdxxwdzwwdzdzzvdyyvdxxvdyvvdydzzudyyudxxudxuudxNNN（215） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析25 令线段令线段PN的正应变为的正应变为 ，则该线段变形后的长度为：，则该线段变形后的长度为： 而且有而且有 NdrdrN2222)()()()(dzzwd

21、yywdxxwdzdzzvdyyvdxxvdydzzudyyudxxudxdrdrN（216） 上式两边同除以上式两边同除以 ，并利用，并利用（213）式得：式得： 2)(drndrdzmdrdyldrdx，2222)1 ()1 ()1 ()1 (zwnywmxwlzvnyvmxvlzunyumxulN2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析26 因为因为 和位移分量的导数都是微小的，它们的平方和乘和位移分量的导数都是微小的，它们的平方和乘积可以不计，可得：积可以不计，可得： NywnmxwnlzwnywmxwlxvmlzvmnyvmzunlyulmxulN22)21 (2

22、2)21 (22)21 ()21 (222利用利用 ，上式可得：，上式可得： 1222nml)()()(222yuxvlmxwzunlzvywmnzwnyvmxulN再利用几何方程可得：再利用几何方程可得： xzzxyzzyxNlmnlmnnml222（217） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析27下面来求下面来求PN和和 的夹角的改变的夹角的改变 NP 设设PN在变形后的方向余弦为在变形后的方向余弦为 ，则由式（，则由式（213）和式（和式（215）可以得到：）可以得到： 111nml，1)1 ()1()1 ()1 (211NNNNzunyumxulzunyumx

23、uldrdzzudyyudxxudxl注意到注意到 ， 都是微小量，在展开上式后，略去都是微小量，在展开上式后，略去二阶以上的微小量得：二阶以上的微小量得： Nzuyuxu，2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析28zunyumxullN)1 (1同理可得出同理可得出 ，即得出式（，即得出式（218） 11nm，ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1 ()1 ()1 (111 （218） 与与 此此 类类 似，设线段似，设线段 在在 变形变形 之之 前前 的的 方方 向向 余余 弦弦 为，为， 则其在变形后的方向余弦为：则其在变形后的方向余

24、弦为：nml，NP 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析29ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1 ()1 ()1 (111（219） 1111111cosnnmmll（220） 其中，其中， 是是 的正应变。的正应变。 NNP 令令PN和和 在变形之前的夹角为在变形之前的夹角为 ，变形之后的夹角为，变形之后的夹角为 ，则有：则有： 1NP 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析30将式（将式（218）和（）和（219）代入，并略去高阶微量可得：）代入，并略去高阶微量可得： )()()()(2)1)(cos1yuxv

25、mlmlxwzulnl nzvywnmnmxwnnyvmmxul lnnmml lNN利用几何方程，并注意到利用几何方程，并注意到 ，则有：，则有： nnmml lcosxyzxyzzyxNNmlmllnl nnmnmnnmml l)()()()(2cos)1 (cos1（221） 由此可求出由此可求出 ，进而可求得，进而可求得 。 112021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析31 由此可见：由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变分量，在物体内的任一点，如果已知六个应变分量，就可以求出经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经就可以求出经过该点的任一线段的正应变，也可以

26、求得经过该点的任意两线段之间的夹角的改变。这就是说，六个过该点的任意两线段之间的夹角的改变。这就是说，六个应变分量完全决定了这一点的应变状态。应变分量完全决定了这一点的应变状态。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析32 在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的没有在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的没有剪应力作用的平面，将这些面称为剪应力作用的平面，将这些面称为主平面主平面，而这些平面的法，而这些平面的法线方向称为线方向称为主方向主方向。 在研究应变问题时，同样可以找到在研究应变问题时，同样可以找到三个相互垂直的平面三个相互垂直的平面，在这些平面上在这

27、些平面上没有剪应变没有剪应变，将这些面称为，将这些面称为应变主平面应变主平面，而这，而这些平面的些平面的法线方向法线方向称为称为应变主方向应变主方向。对应于该主方向的正应。对应于该主方向的正应变称为变称为主应变主应变。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析33 一点的应变状态也可以用一点的应变状态也可以用张量张量表示，这时引进符号表示，这时引进符号 )(2121)(2121)(2121xwzuzvywyuxvzxzxyzyzxyxy（222）（书：（书：213） 则应变张量为：则应变张量为： zzyzxyzyyxxzxyxij（223）（书：（书：214） ijjiij

28、ijjiijij2,:而因式中的值得注意 通常通常称为称为“工程剪应变工程剪应变”zxyzxy,2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析34应变张量还可以写为：应变张量还可以写为： zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxxij222222 式中的不同符号可以交换使用，这就要看在某些特定用途中哪个哪个用起来更方便。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析35下面分析如何确定主应变：下面分析如何确定主应变： 在直角坐标系空间中取一微小线段在直角坐标系空间中取一微小线段 ，设，设A点在点在x方向的位移为方向的位移为u，则有，则有

29、B点在点在x方向的位移为：方向的位移为： drAB 的高阶项),(),(),(dzdydxdzzfdyyfdxxfzyxfdzzdyydxxfuBxyzoABdr图图2-8略去高阶微量得：略去高阶微量得： dzzwdyyvdxxuuuB显然（或由全微分概念）有：显然（或由全微分概念）有： dzzwdyyvdxxudu2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析36进一步可写成式（进一步可写成式（224）（书：）（书：215） dzxwzudyxvyudzxwzudyxvyudxxudu)(21)(21)(21)(21（224）（书：（书：215） 这里要注意的是：当一个物体从一

30、个这里要注意的是：当一个物体从一个位置变形到另一个空间位置（图位置变形到另一个空间位置（图29）时，）时，其中可能包括一部分刚体位移（平动或转其中可能包括一部分刚体位移（平动或转动），而这部分位移不引起形变，其实式动），而这部分位移不引起形变，其实式（224）中的）中的 和和 恰恰恰恰表示物体的微小刚性转动。（表示物体的微小刚性转动。（下页图下页图） )(21xvyu)(21xwzuxyzoABdr图图2-9AB2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析37AABBB B B点的三部分位移点的三部分位移 一般来说，对于可变形固体而言，与物体内任一点A无限临近的一点B的位移有三

31、个部分组成：1、随同A点的一个平动位移，如图中的 所示；2、绕A点的刚性转动在B点所产生的位移，如图中的 所示；3、由于A点临近微元体的形状变化在B点引起的位移，如图 所示，这部分位移与应变张量分量有关。BB BB BB 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析38因此，当考虑纯变形时有：因此，当考虑纯变形时有： dzdydxdwdzdydxdvdzdydxduzzyzxyzyyxxzxyx（225）（书：）（书：216） 如果用张量表示，则为如果用张量表示，则为 )(zyxjidxdujiji、， 其中，其中，j 称为称为“哑标哑标”（表示求（表示求和）。和）。 现在取一

32、微小四面体现在取一微小四面体O123（图（图210），）， 为法线方向，设斜面为法线方向，设斜面123上上只有正应变只有正应变 （即主平面），则有：（即主平面），则有：dr2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析39并且并且 一定为要求的主应变。一定为要求的主应变。 dzdwdydvdxdurdrdrr（成比例是因为（成比例是因为 与与 方向一致）方向一致）dzdwdydvdxdu（书：（书：217） 代入式（代入式（225）（书：）（书：216）得出：（书：）得出：（书：218） 0)(0)(0)(dzdydxdzdydxdzdydxzzyzxyzyyxxzxyx（226

33、）（书：）（书：218） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析40若上式有非零解，必须有若上式有非零解，必须有“系数行列式为零系数行列式为零”，可得：，可得： 032213III（227）（书：）（书：219） 其中，其中， 为应变第一、二、三不变量，且有：为应变第一、二、三不变量，且有： 321,III)(4141)(2)(41222222322222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxzyxIII（228）（书：（书：220） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分

34、析应变分析41若方程式（若方程式（227）可以因式分解，则应有：）可以因式分解，则应有： 0)()(321式中，式中， 为主应变。为主应变。用主应变表示的应变不变量将为：用主应变表示的应变不变量将为： 321，321313322123211III（书：（书：220） 在主应变平面上，剪应变为零。在主应变平面上，剪应变为零。则由方程（则由方程（227）可以求出三个主应变。）可以求出三个主应变。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析42 增例1：已知物体中任意一点的位移分量如下式表示，试比较点A（1，2，3）与点B（0.5，-1，0）的最大伸长值（绝对值）。xyzwyzxv

35、zxyu33333333101 . 01010101 . 01005. 01051005. 0101 . 01010 解：利用几何方程求得应变分量为：xyzyzyx333101 . 0101 . 0101 . 0yzxzyxzxyzxy333333101 . 01005. 0101 . 0101 . 01005. 0101 . 02021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析43点A 的应变分量值为：333101 . 0101 . 0101 . 0zyx331005. 001005. 0zxyzxy应变不变量为：93623110001. 01001125. 0101 . 0III

36、；该点的主应变值可由下式确定，即010001. 01001125. 0101 . 09623301125. 123xxx为计算方便，令 代入上式，得x4102021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析44以 代入上式，消去二项式，得31 yx。；1.364.4340.9310321yyy此方程的解为：0552. 046. 13yy由此得A点的主应变为：。；333231100.103110.0767010.12460故点A的最大伸长的绝对值为310.12460 可以用获可以用获得的三个主得的三个主应变之和是应变之和是否等于第一否等于第一应变不变量应变不变量的值，检验的值，检验所得

37、结果是所得结果是否正确。否正确。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析45 用同样的方法可以求得点B的主应变为：。；333231100.104510.0287010.08320故点B的最大伸长的绝对值为310.10450 由以上计算可知，点A最大伸长值大于点B 的最大伸长的绝对值。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析46 增例2：已知物体中某点的应变分量为：01004. 01015. 033zyx01012. 003zxyzxy试求该点的主应变方向。解：首先计算应变不变量，并解三次方程，求得主应变值为。；333231100.083310.04330

38、10.150为求解主应变方向，利用下列方程组：2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析470)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx将 代入上式，第一式自然满足，其余两个方程式为1015. 006. 0006. 019. 01111nmnm以上两式的唯一解为 。为满足 ，则有 。即 的方向余弦为（1，0，0）。011 nm1212121nml11l12021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析48将 代入方程组，得200433. 006. 0006. 00833. 001067. 022222nmnml 由第一

39、式得 。由二、三式可得 。再由 得 ，由该式求得 ，而 。即 的方向余弦为（0，0.585，0.811）。02l811. 0388. 122mn1222222nml1388. 122222mm585. 02m22388. 1mn 2同样可求得 的方向余弦为（0，-0.811，0.585，）32021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析49 仿照应力张量分解，仿照应力张量分解，应变张量应变张量可以分解为与体积变化有可以分解为与体积变化有关的关的“球形应变张量球形应变张量”和与物体形状变化有关的和与物体形状变化有关的“应变偏应变偏量量”。利用书中（。利用书中（214）式可以分解为：

40、）式可以分解为： ijijijijee0其中球形应变张量为：其中球形应变张量为： 0000000000ij（230）（书：）（书：222） 一、应变张量的分解一、应变张量的分解2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析501321031)(31)(31Izyx应变偏量应变偏量 可写为：可写为： ije式中，式中， 为平均正应变。为平均正应变。 0000zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxijeeeeeeeeee其中，其中， ， ， 称为称为“应应变偏量分量变偏量分量”。可写为：。可写为： 0 xxe0yye0zze2021-7-27周书敬周书敬第二章第

41、二章 应变分析应变分析51323232000yxzzyzxyzzxyyxxzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxije（232）（书：）（书：223）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析52若用主应变表示应变偏量，则有式（若用主应变表示应变偏量，则有式（233）（书：）（书：224）320003200032213312321ije（233）（书：（书：224） 三个坐标平面三个坐标平面为应变主平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：在主应变为坐标的应变空间中有：011e022e033e 由应变偏量张量的定义式（书由应变偏量张量的定义式（书2-23）可）可见，它

42、是一个实对称二阶张量，因此，存在见，它是一个实对称二阶张量，因此，存在三个主值及其相应的主方向。可以证明，应三个主值及其相应的主方向。可以证明，应变偏量张量的主方向与应变张量的主方向一变偏量张量的主方向与应变张量的主方向一致，而且它的主值致，而且它的主值e1，e2，e3与应变张量的主与应变张量的主应变存在如左的关系。应变存在如左的关系。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析53注意：纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且充分条件是 ，因此， 为纯剪状态且 与 有相同的主轴。00ijeijeij同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：)(

43、)()(61)(41)()()(61021323222122222222223211zxyzxyzxyzxyxzzyyxzyxJeeeeeeJ或当用张量给出一点的应变状态时，需注意2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析543213eeeeeeeeeeeeJzzyzxyzyyxxzxyx其三次方程为：032213JeJeJe二、体积应变二、体积应变 在考虑塑性变形时，经常采用在考虑塑性变形时，经常采用“体积不变体积不变”假设，这时假设，这时球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即“应变分量应变分量与应变偏量的分量相等与应变偏量的分

44、量相等”，这一假设，对于简化计算来了方，这一假设，对于简化计算来了方便。便。 现在我们来研究每单位体积的体积改变，即现在我们来研究每单位体积的体积改变，即体积应变体积应变。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析55 设有微小的正平行六面体，它的设有微小的正平行六面体，它的棱边长度棱边长度是：是： 变形前变形前它的体积为：它的体积为： 变形后变形后它的体积称为：它的体积称为： dzdydx，dxdydz)()(dzdzdydydxdxzyx因此，它的因此，它的体积应变体积应变为：为： zyxyxxzzyzyxzyxzyxdxdydzdxdydzdzdzdydydxdxVV

45、1)1)(1)(1 ()()(对于对于小应变（忽略高阶微量）小应变（忽略高阶微量）有：有： 验证体积不变假设的成立验证体积不变假设的成立2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析56zwyvxuzyx（234） 由此则有：由此则有： 103Izyx 显然，显然，若体积不变，则必有球形应变张量为零成立若体积不变，则必有球形应变张量为零成立，且，且有有 。ijije在主应变空间在主应变空间： 1)1)(1)(1 (321VV对于对于小应变小应变有：有： 103213IVV2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析571 1、主剪应变（工程主剪应变）、主剪应变（工

46、程主剪应变） )()()(213132321（235）（书：）（书：225） 三、相关结论三、相关结论 与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下面给出有关结论：下面给出有关结论：如果如果 ，则，则最大剪应变最大剪应变为：为：32131max（236）（书：）（书：226） 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析58（1 1）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的剪应变剪应变为为 ，则有：，则有： 021212212132322322210)3(322)()()(3232II（237）（书：）（书：227）

47、 2、八面体应变（正应变、剪应变） 对任意一组坐标轴对任意一组坐标轴x，y，z的应变分量的八面体剪应变可写为：的应变分量的八面体剪应变可写为：21222222212222220)(23)()()(32)(6)()()(32zxyxxyxzzyyxzxyxxyxzzyyx2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析59321，单向拉伸情况单向拉伸情况：可得：可得 000000ij此时的此时的应变张量应变张量为：为： 平均应变平均应变为为: )21 (3)(3132103 3、单向拉抻时的应变、单向拉抻时的应变 （2 2）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的正应变正应变

48、为为 ，则有：，则有： 01321031)(31I（三个主应变的平均值）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析60应变偏量的分量应变偏量的分量为：为： )1 (31)1 (31)1 (32033022011eee（书：（书：228） 球形应变张量球形应变张量为：为： )21 (3000)21 (3000)21 (30ij2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析61应变偏量应变偏量为：为： )1 (31000)1 (31000)1 (32ije 在以主应变在以主应变 为坐标轴的为坐标轴的主应变空间主应变空间内讨论。内讨论。321，4 4、应变强度（等效应

49、变）、应变强度（等效应变） 213232221)()()(32iie（239）（书：（书：230）当体积不可压缩时，令当体积不可压缩时，令 ， 称为称为应变强度应变强度或或等效应变等效应变。 iiei 这里之所以不称这里之所以不称 为应变强度，而又引进符号为应变强度，而又引进符号 ，是因，是因为要与应力分析中的情况相一致。为要与应力分析中的情况相一致。 iei2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析625 5、应变率、应变率 应变率：在变形过程中，应变率：在变形过程中，单位时间中应变值的增量单位时间中应变值的增量称为称为“应变率应变率”。即：。即： t （241）（书：）（

50、书：231） 根据小变形的几何关系，可得根据小变形的几何关系，可得应变率分量应变率分量：即：即：应变率应变率分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量对时间的偏导数对时间的偏导数。 见书中解释。见书中解释。 2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析63txvywtzwtywzvtyvtxvyutxuxyzxzzyzyzyyxyxyxx（242）（书：（书：234） 增加：关于应变率的推导增加：关于应变率的推导 在小变形的条件下，设物体内任一点速度在坐标轴上在小变形的条件下，设物体内任一点速度在坐标轴上的投影为：的

51、投影为：),(tzyxVVyy),(tzyxVVxx),(tzyxVVzz2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析64其中其中,tvVytuVxtwVz 此处用到此处用到“小变形小变形”假设：即在小变形条件下，（假设：即在小变形条件下，（a a）物体）物体内各点的位置坐标因变形而有的改变可以忽略不计，即内各点的位置坐标因变形而有的改变可以忽略不计，即初始位初始位置与瞬时位置坐标可以不加区别置与瞬时位置坐标可以不加区别；（；（b b）此处，还可以略去物体）此处，还可以略去物体内各点的位移梯度分量的影响，内各点的位移梯度分量的影响，用对时间的偏导数代替全导数用对时间的偏导数代替

52、全导数。应变率分量用符号表示为：应变率分量用符号表示为：zxyzxyzyx,则有：则有：txutuxxuttVxxx)()(类推得（书中类推得（书中2-342-34）式，与应变张量相似，可得）式，与应变张量相似，可得应变率张量应变率张量。2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析65 在塑性力学中经常使用应变增量的概念。实验证明，在塑性力学中经常使用应变增量的概念。实验证明，静静力学中塑性变形规律和时间因素是没有关系的，此处力学中塑性变形规律和时间因素是没有关系的，此处dtdt并不并不代表时间，因此，用应变增量来代替应变率往往更能表示塑代表时间，因此，用应变增量来代替应变率往

53、往更能表示塑性静力学应变不受时间参数影响的特点性静力学应变不受时间参数影响的特点。 即：通常使用的不即：通常使用的不是应变率张量，而是在是应变率张量，而是在时间步长时间步长 或或dtdt 内的应内的应变增量。变增量。t应变增量应变增量： d6 6、应变增量、应变增量2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析66 有了应变增量的概念，则可描述应变成比例变化或不成有了应变增量的概念，则可描述应变成比例变化或不成比例变化时的规律。比例变化时的规律。7 7、应变强度增量、应变强度增量 在比例变形的条件下，在比例变形的条件下， 在应变空间是一条直线，在应变空间是一条直线，而当各应变分量

54、的变化不成而当各应变分量的变化不成比例时，在三个坐标轴互成比例时，在三个坐标轴互成120角的坐标中，角的坐标中， 将是将是一条折线或曲线，如图一条折线或曲线，如图217（书（书P63）。）。ii2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析67 如果变形过程是两条折线组成的，则这一情况表示两个比如果变形过程是两条折线组成的，则这一情况表示两个比例变形的过程。例变形的过程。 当变形由曲线表示时，则可认为变形过程的总应变强度等当变形由曲线表示时，则可认为变形过程的总应变强度等于曲线的总长度，即应变强度于曲线的总长度，即应变强度 不仅与初始应变状态和最终不仅与初始应变状态和最终应变状态

55、有关，而且还与应变历史即变形过程有关。应变状态有关，而且还与应变历史即变形过程有关。 i 由图由图217可见，应变强度增量可见，应变强度增量 与应变增量分量与应变增量分量 ， 和和 有关。有关。id1d2d3d213232221)()()(32dddddddi（243）（书：）（书：236） 注：注： 的表达式中，只有简单加载条件下才有的表达式中，只有简单加载条件下才有 idiid2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析68 此式即为此式即为应变强度增量应变强度增量的表达式，的表达式，它是各应变分量增量的它是各应变分量增量的函数函数。 在塑性力学中，当在塑性力学中，当应变较

56、大应变较大时，需采用另外一种表示应变时，需采用另外一种表示应变的方法的方法。 8、工程应变、工程应变 有一截面为有一截面为 而长度为而长度为 的受拉构件，在某一时刻其长的受拉构件，在某一时刻其长度达到度达到 而截面积为而截面积为 ，且杆件伸长量为，且杆件伸长量为 ，则应变增量及，则应变增量及应变的表达方法如下：应变的表达方法如下： 0A0llAdl工程应变工程应变：假设两质点相距：假设两质点相距 ，变形后为，变形后为 ，则有工程应，则有工程应变表达式（变表达式（244）：）： 0ll2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析691000lllll（244） 10ll 对数应变

57、：设某瞬时的应变增量为对数应变：设某瞬时的应变增量为 ，积分后得，积分后得到对数应变的表达式（到对数应变的表达式（245）：）： ldld0*ln0llldlll（245）（书：）（书：237） )1ln(ln0*ll（246）（书：）（书：238） 显然有对数应变和工程应变之间的关系为：显然有对数应变和工程应变之间的关系为：2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析70截面收缩率截面收缩率 ： 0001AAAAA（247） 10AA其中其中A0为初始时截面面积，为初始时截面面积，A为某一时刻的截面面积。为某一时刻的截面面积。 若材料为不可压缩，则有：若材料为不可压缩，则有：

58、 llAA00（ ） )1ln(e1 或或 （248） )1ln(*e1不同应变指数之间的关系不同应变指数之间的关系见书中表见书中表2-2（P65）2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析71增例3：给定一点的应变张量ij00200. 0000785. 00000785. 000100. 000000100. 0ij计算：（a）主应变 、 和 ； （b）最大剪应变 ； （c）八面体应变 和 。001max32解：（a）计算应变不变量，求主应变。0)00200. 0()00100. 0()00100. 0(1 I2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析72

59、62221062. 3)00100. 0()00200. 0()00100. 0()000785. 0()00200. 0()00100. 0( I931062. 200200. 0000785. 00000785. 000100. 000000100. 0 I特征方程变为01062. 21062. 3963或00119. 000100. 000219. 0321，求得三个主应变为)(321按0)1062. 200100. 0)(10(6232021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析73校核：用 、 和 的值代入三个不变量的表达式，以校核所得结果。12303211I61332

60、2121062. 3I932131062. 2I（b）计算最大剪应变 。max00338. 000119. 000219. 031max（c）八面体应变 和 。00031)(3113210I2021-7-27周书敬周书敬第二章第二章 应变分析应变分析7400311. 0)1026. 3(30322)3(322)()()(3221621212212132320II增例4：一点的应变状态由给定的应变张量 表示ij001. 0000001. 0004. 00004. 0005. 0ij确定：（a）应变偏量张量 ； （b）应变偏量不变量 和 ； （c）单位体积的体积变化（膨胀） 。ije3J2J202