选修4-5 不等式选讲

1、人教人教A A版数学版数学选修选修4-5 4-5 不等式选讲不等式选讲第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式第二节第二节 不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学选修4-5 不等式选讲人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.理解绝对值不等式的几何意义，理解绝对值不等式的几何意义， 并能利用绝对值不等式的几何意并能利用绝对值不等式的几何意 义证明以下不等

2、式：义证明以下不等式： (1)|ab|a|b|； (2)|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解会利用绝对值的几何意义求解 以以 下类型的不等式：下类型的不等式：|axb|c；|ax b|c；|xa|xb|c. 从近两年的高考从近两年的高考试题可以看出，本节试题可以看出，本节重点考查含绝对值不重点考查含绝对值不等式的解法等式的解法(可能含可能含参参)或以函数为背景或以函数为背景证明不等式，题型为证明不等式，题型为解答题，如解答题，如2012年高年高考新课标考新课标T24等等.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学

3、学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学归纳归纳知识整合知识整合1绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法|axb|c .|axb|c .(2)|xa|xb|c(c0)和和|xa|xb|c(c0)型不等型不等式的解法式的解法法一：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；形结合思想；caxbcaxbc或或axbc人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值

4、不等式人教人教A A版数学版数学法二：法二：利用利用“零点分段法零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；求解，体现了分类讨论思想；法三：法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想函数与方程的思想探究探究1.解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？是什么？提示：提示：关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数

5、学版数学2绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理定理1：如果：如果a，b是实数，则是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立(2)定理定理2：如果：如果a，b，c是实数，那么是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当，当且仅当 时，等号成立时，等号成立探究探究2.绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么？是什么？提示：当提示：当a，b不共线时，不共线时，|ab|a|b|，它的几何意，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边义是三角形的两边之和大于第三边ab0(ab)(bc)0人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主

6、干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学自测自测牛刀小试牛刀小试1求不等式求不等式|2x1|3的解集的解集解：解：|2x1|3等价于等价于2x13或或2x13，解得，解得x2或或x1.所以解集为所以解集为(，12，)人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学2已知函数已知函数f(x)|x2|x1|，求，求f(x)的值域的值域人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破

7、热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学4已知关于已知关于x的不等式的不等式|x1|x|k无解，求实数无解，求实数k的取的取值范围值范围解：解：|x1|x|x1x|1，当当k1时，不等式时，不等式|x1|x|k无解，故无解，故k1.5如果关于如果关于x的不等式的不等式|xa|x4|1的解集是全体实的解集是全体实数，求实数数，求实数a的取值范围的取值范围解：在数

8、轴上，结合实数绝对值的几何意义可知解：在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a5或或a3.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学绝对值不等式性质的应用绝对值不等式性质的应用 例例1确定确定“|xa|m且且|ya|m”是是“|xy|2m(x，y，a，mR)”的什么条件的什么条件 自主解答自主解答|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m， |xa|m且且|ya|m是是|xy|2m的充分条件的充分条件 取取x3，y1，a2，m2.5，则有，则有|xy|252m，但，

9、但|xa|5，不满足，不满足|xa|m2.5， 故故|xa|m且且|ya|m不是不是|xy|2m的必要条件的必要条件 故为充分不必要条件故为充分不必要条件人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学两数和与差的绝对值不等式的性质两数和与差的绝对值不等式的性质 |a|b|ab|a|b| (1)对绝对值三角不等式定理对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时数的最值时 (

10、2)该定理可强化为该定理可强化为|a |b|ab|a|b|，它经，它经常用于证明含绝对值的不等式常用于证明含绝对值的不等式人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升

11、学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值漏区间的端点值 (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不用

12、图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法观，是一种较好的方法人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检

13、测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学3(2011辽宁高考辽宁高考)已知函数已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：证明：3 f(x)3；(2)求不等式求不等式f(x)x28x15的解集的解集人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学 形如形如|xa|xb|c(或或

14、c)型的不等式主要有如下解法：型的不等式主要有如下解法： (1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设此处设ac(c0)的几何意义：数轴上的几何意义：数轴上到点到点x1a和和x2b的距离之和大于的距离之和大于c的点的集合的点的集合 (3)图象法：作出函数图象法：作出函数y1|xa|xb|和和y2c的图象，结的图象，结合图象求解合图象求解.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人

15、教A A版数学版数学创新交汇创新交汇含参数的绝对值不等式的恒成立问题含参数的绝对值不等式的恒成立问题 1含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力 2解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法解决，是常用的思想方法 人教人

16、教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学 1本题有以下创新点本题有以下创新点 把绝对值不等式与集合、函数知识、恒成立问题紧把绝对值不等式与集合

17、、函数知识、恒成立问题紧密结合起来研究，尽管难度不大，但需要有一定的知识密结合起来研究，尽管难度不大，但需要有一定的知识综合能力综合能力 2解决本题的关键点解决本题的关键点 解答本题的关键点：解答本题的关键点：(1)先求解不等式先求解不等式|ax1|3，并，并将解集与已知解集对照求出将解集与已知解集对照求出a的值；的值；(2)利用零点分段讨论利用零点分段讨论去掉绝对值，将问题转化为恒成立问题去掉绝对值，将问题转化为恒成立问题人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学3在

18、解决恒成立问题时应注意在解决恒成立问题时应注意Cf(x)恒成立恒成立Cf(x)max，Cf(x)恒成立恒成立Cf(x)min.1(2012陕西高考改编陕西高考改编)若存在实数若存在实数x使使|xa|x1|3成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围解：解：|xa|x1|a1|，则只需要，则只需要|a1|3，解，解得得2a4.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学2(2012苏北四市调研苏北四市调研)已知函数已知函数f(x)|x1|x2|.若若不等式不等式|ab|

19、ab|a|f(x)对对a，bR，且，且a0恒成立，恒成立，求实数求实数x的范围的范围“演练知能检测演练知能检测” ” 见见“限时集训限时集训（七十五）（七十五）”人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提

20、升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 绝对值不等式人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版

21、数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学考考 什什 么么人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 1.该部分是对必修该部分是对必修

22、5中中“不等式不等式”的补充和深化，属选学的补充和深化，属选学 选考内容单独命题时，多以解答题形式出现，属中选考内容单独命题时，多以解答题形式出现，属中 等难度题目等难度题目2.高考考查的重点是不等式的证明、基本不等式、柯西高考考查的重点是不等式的证明、基本不等式、柯西 不等式、数学归纳法的应用，利用基本不等式、柯西不等式、数学归纳法的应用，利用基本不等式、柯西 不等式求函数的最值等，如不等式求函数的最值等，如2012年新课标年新课标T24等等.怎怎 么么 考考人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等

23、式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学归纳归纳知识整合知识整合1比较法比较法作差比较法与作商比较法的基本原理作差比较法与作商比较法的基本原理ab1人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学2综合法与分析法综合法与分析法方法方法特征特征综合法综合法证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过公理、定理、性质等，经过 而得出命而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法题成立，综合法又叫顺推证法或由因

24、导果法分析法分析法证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的它成立的 ，直到将待证不等式归结，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式为一个已成立的不等式(已知条件、定理等已知条件、定理等)这这是一种是一种 的思考和证明方法的思考和证明方法.推理论证推理论证充分条件充分条件执果索因执果索因人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 探究探究1.在证明不等式时综合法和分析法有怎样的在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关

25、系？关系？ 提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，成立分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法在实际解题时，综合法与分析法是对立统一的两种方法在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达常常用分析法探求解题思路，用综合法表达 2在什么条件下用分析法证明不等式？在什么条件下用分析法证明不等式？ 提示：如果不适合用反证法、归纳法，而综合法又不提示：如果不适合用反证法、归纳法，而综合法又不易操作时，通过分析又容易找到使要证明结论成立的已知易操作时，通过分

26、析又容易找到使要证明结论成立的已知条件，这时用分析法条件，这时用分析法人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 3反证法反证法 先假设要证的命题先假设要证的命题 ，以此为出发点，结合已知，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 ，得到和命题的条件得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事或已证明的定理、性质、明显成立的事实等实等) 的结论，以说明假设的结论，以说明假设 ，从而

27、证明原命题成，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法立，我们把它称为反证法 4放缩法放缩法 证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地_ 或或 ，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法法不成立不成立推理推理矛盾矛盾不正确不正确 放放大大缩小缩小人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A

28、版数学版数学5数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)验证：当验证：当n取取 时结论正确；时结论正确；(2)假设当假设当 时结论正确，证明当时结论正确，证明当 时结论时结论也正确也正确综合综合(1)(2)可知，结论对于任意可知，结论对于任意nn0，且，且n0，n N*都成都成立立6柯西不等式柯西不等式设设a，b，c，d均为实数，则均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号等号当且仅当当且仅当adbc时成立时成立第一个值第一个值n0(例如例如n01,2等等)nknk1人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型

29、型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学自测自测牛刀小试牛刀小试人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学4设设ab0，求证：，求证：3a32b33a2b2ab2.证明：证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b

30、2(ba)(3a22b2)(ab)因为因为ab0，所以，所以ab0,3a22b20.从而从而(3a22b2)(ab)0.故故3a32b33a2b2ab2成立成立人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学比较法证明不等式比较法证明不等式人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破

31、破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学作差比较法证明不等式的步骤作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差；作差；(2)变形；变形；(3)判断差的符号；判断差的符号；(4)下结下结论其中论其中“变形变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负差的正负 人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基

32、本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学用分析法和综合法证明不等式用分析法和综合法证明不等式人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A

33、版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学分析综合法分析综合法 分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程人教人教A A版数学版数学回回

34、扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学用反证法证明不等式用反证法证明不等式人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学若本例已知中的若本例已知中的q1，求证：，求证：f(1)与与f(1

35、)中至少有一个不小于中至少有一个不小于2.证明：证明：q1，f(x)x2px1假设假设f(1)与与f(1)都小于都小于2，则，则f(1)f(1)4.而而f(1)f(1)(2p)(2p)4，出现矛盾，出现矛盾，f(1)与与f(1)中至少有一个不小于中至少有一个不小于2.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 反证法的适用情形反证法的适用情形 (1)当要证明的结论与条件之间的联系不明显，直当要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论很困难时，常用反证

36、法接由条件推出结论很困难时，常用反证法 (2)如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论，则从反面进行证明，即论，则从反面进行证明，即“正难则反正难则反”的思想的思想人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式人教人

37、教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 用放缩法证明不等式的基本方法及常用技巧用放缩法证明不等式的基本方法及常用技巧 (1)用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证AB，可，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得通过适当放大或缩小，借助一个或多个中

38、间变量，使得BB1，B1B2，BiA，或，或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，达到目的再利用传递性，达到目的人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等

39、式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学柯西不等式的应用柯西不等式的应用例例5若若3x4y2，试求，试求x2y2的最小值的最小值人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式等式的形式人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升

40、升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少至少”“至多至多”等方式等方式给出或否定性命题、惟一性命题，则考虑用反证法；如果给出或否定性命题、惟一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等待证不等式与自然

41、数有关，则考虑用数学归纳法等人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 不等式证明的基本方法人教人教A A版数学版数学 (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式号，转化为常见的不等式(组组)求解多以绝对值的几何意求解多以绝对值的几何意义或义或“找零点、分区间、逐个解、并起来找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据 (3)在使用