气体动理论——分子分布律和碰撞实际气体和输运过程PPT学习教案

1、会计学1 气体动理论气体动理论分子分布律和碰撞实际分子分布律和碰撞实际 气体和输运过程气体和输运过程 理想气体的压强理想气体的压强 n 3 2 Pk 2 k m 2 1 2 3 1 nmnkT 理想气体的温度理想气体的温度 kT 2 3 k 自由度自由度单原子分子：单原子分子： 3t 双原子分子双原子分子 刚性：刚性：, 3t 2r 非刚性：非刚性：, 3t , 2r 1s 多原子分子多原子分子 ( (刚性刚性) )：, 3t 3r 第1页/共31页 分子的平均总能量：分子的平均总能量： 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 kTs2rt 2 1 )( 在温度为在温度为 的平衡态下，物质分

2、子的每的平衡态下，物质分子的每 一个自由度都具有相同的平均动能：一个自由度都具有相同的平均动能： T 2kT/ 分子的平均总动能：分子的平均总动能：kTsrt 2 1 k )( 给定理想气体的内能仅是温度的单值函数，给定理想气体的内能仅是温度的单值函数， 是系统的一个态函数。是系统的一个态函数。 RTsrt M kTsrtNE)2( 2 1 )2( 2 1 理想气体的内能理想气体的内能 第2页/共31页 麦麦 克克 斯斯 韦韦 分分 布布 律律 一、速率分布函数一、速率分布函数 处于平衡态的气体含有总分子数处于平衡态的气体含有总分子数 其中其中 速率界于速率界于 之间的分子数为之间的分子数为

3、, N , dNd NdN / (1)(1) 与速度有关，实际上只与速率与速度有关，实际上只与速率 有关；有关； (2) (2) 与速率间隔与速率间隔 d d 有关。有关。 dN dN f )( dfNdN)(/ 速率分布函数：速率分布函数： 物理意义：物理意义： 平衡态下，速率平衡态下，速率 附近单位速率附近单位速率 区间内分布的分子数占总分子数的比例，定量区间内分布的分子数占总分子数的比例，定量 地反映了给定气体在平衡态下的速率分布的具地反映了给定气体在平衡态下的速率分布的具 体情况。体情况。 第3页/共31页 归一化：归一化：1df 0 )( NdN 0 二、二、麦克斯韦速度分布律麦克斯

4、韦速度分布律 速度处于区间速度处于区间 内的分子数占总分子数内的分子数占总分子数 的比例的比例 ,() , ,( d x x zy x ) , dd zzyy dddNdN zyx/ 23 kT2 m N dN / ddd kT2 m zyx 2 exp z Vz Vy Vx O O d z d y d x y x 第4页/共31页 三、麦克斯韦速率分布律三、麦克斯韦速率分布律 1 1、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 ddd kT2 m kT2 m N dN zyx 2 23 exp)( / 在球极坐标系中：在球极坐标系中： Vz Vy Vx O d d d ,cos sin x ,co

5、s z ,sin sin y ddd ddd 2 zyx sin d kT2 m kT2 m 4 N dN 2 2 23 exp / 对对 和和 积分后，积分后， , 0 , 20 第5页/共31页 曲线曲线 2 2、麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 )(f 2 2 23 kT2 m kT2 m 4f exp)( / N N df )( 2 1 21 O )(f 第6页/共31页 3 3、麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证 ( 1934( 1934年年, ,葛正权葛正权 ) ) R R G G D D P P O O S S2 2 S S1 1 S S3 3 P

6、P s O O Bi O O： 蒸汽源；蒸汽源；Bi R R：有缝圆筒；有缝圆筒； O O ：中心转轴；中心转轴； S S1 1、S S2 2、S S3 3：狭缝；狭缝； G G：玻璃板玻璃板 R R 若不动，原子沉积在若不动，原子沉积在 P P 点；点； R R 转动，高速原子比低速原子距转动，高速原子比低速原子距 P P 更近。更近。 设速率为设速率为 的原子在距的原子在距 P P 为为 的的 P P 点沉积，则：点沉积，则：s d 2 D ds 2 2 , s2 D 2 tD , tD 2 1 2 D s 由由 求求 区间内分子数的相对比率区间内分子数的相对比率 。 dds由由 求求.

7、s 第7页/共31页 四、气体分子的三种统计速率四、气体分子的三种统计速率 定义：定义：对应对应 最大值的速率。最大值的速率。)(f 1 1、最概然速率最概然速率P ，得：，得：由由 v v vv 0 )(d P d f T RT m kT p 22 v f f( (v v) ) 0 0 v v p p v v v v +d+dv v N N f v vv d d)( T T，m m 一定一定 v v 第8页/共31页 f f( (v v) ) 0 0v vp p1 1 m m 一定一定 v vv vp p2 2 T T 1 1 T T2 2 T T1 1 p Tv )( p f v 分分布布

8、曲曲线线趋趋于于平平坦坦 对同种气体（对同种气体（m m 一定一定 ） 则则 O )(f 已知已知1 1： Tm 11, 3 ?3 ?2 ?2 ? ? , :TTm51 1 ? , :Tmm41 1 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 第9页/共31页 气体所有分子的速率的算术平均值气体所有分子的速率的算术平均值。 定义：定义： RT8 2 2、平均速率平均速率 N dN 0 m kT8 0 df )( 3 3、方均根速率方均根速率 定义：定义： 所有分子的速率平方的平均值的平方根。所有分子的速率平方的平均值的平方根。 )( 0 22 df . RT3 m kT3 2 第10页/共31页

9、自由程自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程 . . 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 第11页/共31页 分子平均碰撞次数：单位时间内一个分子和分子平均碰撞次数：单位时间内一个分子和 其它分子碰撞的平均次数其它分子碰撞的平均次数 . . 分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一 个分子自由运动的平均路程个分子自由运动的平均路程 . . 简化模型简化模型 1 1 . . 分子为刚性小球分子为刚性小球 , , 2 2 . . 分子有效直径为分子有效直径为 （分子间距平均值），（分子间距平均值）， 3 3 . .

10、 其它分子皆静止其它分子皆静止, , 某一分子以平均速率某一分子以平均速率 相相 对其他分子运动对其他分子运动 . . d u z 第12页/共31页 单位时间内平均碰撞次数单位时间内平均碰撞次数 nudZ 2 考虑其他分子的运动考虑其他分子的运动 v2u 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 ndZv 2 2 第13页/共31页 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 ndZv 2 2 平均自由程平均自由程 ndz 2 2 1 v nkTp pd kT 2 2 一定时一定时 p 1 一定时一定时Tp T 第14页/共31页 1 1 7 71010-8 -8 1010-7 -7 0.70.7（灯泡内）（

11、灯泡内） 1010-11 -11 7 710103 3（几百公里高空（几百公里高空 ） T = 273KT = 273K： p(atm)p(atm) (m)(m) pd kT 2 2 实例实例: : 第15页/共31页 求：求：? z m/s425 8 RT v 325 /m1069. 2 kT p n 秒！）秒！）亿次亿次（/66 s1058. 62 192 v ndz m1046. 6 8 z v 记住记住 数量数量 级！级！ 解：解： T=273KT=273K、 p p =1atm=1atm 例例 已知：已知： O O2 2，d d 3.6 3.61010-10 -10m m， ， 第1

12、6页/共31页 在等温假设下，积分在等温假设下，积分 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 一、重力场中气体分子按高度分布的规律一、重力场中气体分子按高度分布的规律 1 1、等温气压公式等温气压公式 设设 高度高度 h0dhh 压强压强 dPP P0P H hP dhhdPP 0P0 则则 . RT gh 0eP nmgdhgdhdP, Pdh kT mg kT mgh 0ePP dh RT g dh kT mg P dP 第17页/共31页 在等温假设下，在等温假设下， 2 2、分子数密度公式分子数密度公式 3 3、高度公式高度公式 在等温假设下在等温假设下 ， kT mgh e nn 0 . ln

13、 P P g RT 0 P P mg kT h 0 ln n0. RT gh e 第18页/共31页 二、玻耳兹曼能量分布律二、玻耳兹曼能量分布律 设保守力场中势能为零处的分子数密度为设保守力场中势能为零处的分子数密度为 则势能为则势能为 处的分子数密度处的分子数密度p , n0 ddd e kT2 m NddN zyx kT 23 K / enn kT 0 p 小空间区域小空间区域 内的分子数内的分子数 ) , , () , , (dzzdyydxxzyx dxdydz enNd kT 0 p 在在 个分子中，速度位于区间个分子中，速度位于区间 内的分子数内的分子数 N d ) , ,( z

14、y x ) , ,( dddzzyyx x 第19页/共31页 dddzyxdxdydze kT2 m n kT 23 0 KP / 在保守力场中处于平衡态的气体，位置在区间在保守力场中处于平衡态的气体，位置在区间 ; , , dzzzdyyydxxx kT2 m 23 2 e kT2 m NddN / dddzyx ddd zzzyyyxxx , , 同时速度在同时速度在 区间区间 内内 的分子数为的分子数为 第20页/共31页 实际气体的范德瓦耳斯方程实际气体的范德瓦耳斯方程 实际气体分子：实际气体分子：有吸引作用的刚球。有吸引作用的刚球。 一、对体积的修正一、对体积的修正 d 理想气体：

15、理想气体：mol 1 , V RT P 1 体积修正量体积修正量 :b, bV RT P 1 约为约为 气体分子体积总和的气体分子体积总和的 4 4 倍倍 。 molb 1 第21页/共31页 . V a P 2 1 i 二、对压强的修正二、对压强的修正 R 分子与器壁碰撞时，容器内在有效分子与器壁碰撞时，容器内在有效 作用距离内的分子的引力削弱了碰作用距离内的分子的引力削弱了碰 撞的冲力。撞的冲力。 P bV RT P i 1 Pi ( ( 与器壁碰撞的分子数与器壁碰撞的分子数 ) ) ( ( 对碰撞分子吸引的分子数对碰撞分子吸引的分子数 ) ) 或或 V 1 2 1 2 n 内压强内压强

16、第22页/共31页 三、范德瓦耳斯方程三、范德瓦耳斯方程 . RT M b M V V aM P 22 2 实际气体实际气体 mol1 , RT bV V a P 1 2 1 质量为质量为 摩尔质量为摩尔质量为 的实际气体的实际气体、M 第23页/共31页 流体内分子输运热运动能量的过程。流体内分子输运热运动能量的过程。 流流 体体 的的 输输 运运 过过 程程 一、粘滞现象一、粘滞现象 宏观规律：宏观规律： 粘滞系数：粘滞系数： 微观实质：微观实质：流体分子在热运动中输运定向动量流体分子在热运动中输运定向动量 的过程。的过程。 二、热传导现象二、热传导现象 宏观规律：宏观规律： 导热系数：导

17、热系数： 微观实质：微观实质： )(zuu df z0 dS df B B X X Z Z A A dS dz du df z0 ) (s Pa T1TT12 A AB BZ Z z0 dS dtdS dz dT dQ z0 ) ( 11 KmW 第24页/共31页 流体分子在热运动中输运质量的过程。流体分子在热运动中输运质量的过程。 三、扩散现象三、扩散现象 四、理想气体中的输运过程四、理想气体中的输运过程 宏观规律：宏观规律： 扩散系数：扩散系数： 微观实质：微观实质： . 3 CV 1 12 A AB BZ Z z0 dS dSdt dz d DdM z0 )/(sm 2 D , 3 1

18、 , 3 1 D 第25页/共31页 例例1 1： 设想设想 个气体分子，其速率分布曲线如右图个气体分子，其速率分布曲线如右图 所示，当所示，当 时分子数为零。时分子数为零。5 0 N (1)(1)求求 的值；的值；a 3 020 (2) (2) 求速率求速率 在在 到到 内的分子数；内的分子数； (3)(3) 求分子的平均速率。求分子的平均速率。 解：解： (1)(1) 利用速率分布函数利用速率分布函数 的归一化，有的归一化，有 (2) (2) )( fN a 0 0 ; N 8 3 , N a30 a20a 2 1 0 a20 a 2 1 0 a3N 0 ; 8 N a 0 第26页/共31页 (3)(3) 由图知，由图知， 0 2 5 , 0 , a2 , 0 a , a2 , 0 a a5 , a3 5 0 54 00 43 00 32 00 2 00 0 0 5 0 0 dNf N 1 )( )( 0 df )( fN 第27页/共31页 解：解：(1)(1) 例例2 2：根据麦克斯韦速率分布律，求：根据麦克斯韦速率分布律，求： (2)(2) 平动能的最可几值；平动能的最可几值； (3)(3) 平均平动能。平均平动能。 (1) (1) 平动能介于平动能介于 之间的分子数占总之间的