ARMAARIMA模型介绍及案例分析

1、1适用于平稳时序的三种根本模型(1) AR(p)模型(Auto regression Model )自回归模型p阶自回归模型：?= ?r+? 1 ?-1 +? 2 ?-2 +? +? ?-?+ ?-1,?是随机式中，？?为时间序列第？时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量； ?-2，?，?-?为时序？?的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量； 误差项；？1，?，?，?为待估的自回归参数。(2) MA(q)模型(Moving Average Model)移动平均模型q阶移动平均模型：式中， 为时间序列的平均数，但当%序列在0上下变动时，显然 =0， 可删除此项；et，e 1，et2，e q为模

2、型在第t期，第t 1期，第t q期 的误差；1，2，q为待估的移动平均参数。(3) ARMA(p,q)模型自回归移动平均模型( Auto regression MovingAverage Model)模型的形式为：显然，ARMA(p,q)模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q=0,时，退化为纯自回归模型 AR(p);当p=0时，退化为移动平均模型 MA(q)。2改良的ARMA模型(1) ARIMA(p,d,q)模型这里的d是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳 (具有一定趋势的)序列变换为平稳的，通常来说d的取值一般为0,1,2。对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建

3、立 ARMA模型，只能对经过平稳化 处理，而后对新的平稳时序建立 ARMA(p,q)模型。这里的平文化处理可以是差 分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。(2) ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型对于具有季节性的非平稳时序(如冰箱的销售量，羽绒服的销售量)，也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的D即为进行季节差分的阶数；P,Q分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S为季节周期的长度，如时序为月度数据，那么S=12，时序为季度数据，那么S=4。在中的操作如下必须要先翻开一个数据源，才可以定义日期数据 定义日期 选择日期的起始点，此时变量

4、栏中会出现日期变量。(3) ARIMAX 模型在ARIMA( p, d,q)(P,D,Q)s模型中，再参加除自身滞后时序变量以外的解释 变量X。3模型的识别模型的识别的本质是确定ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中的p,d,q以及P, D,Q与S的取值。借助于自相关函数(Auto correlation Function, ACF)以及自相关分析 图和偏自相关函数(Partial Correlation Function, PACF)以及偏自相关分析图来 识别时序特性，并进一步确定 p、q、P、Q。自相关函数自相关是时间序列,Y2丄Yt诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变 量之间的

5、简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。 自相关程度的大小，用自相关系数rk度量。式中，n为样本数据的个数；k为滞后期；y为样本数据平均值。自相关系数rk，可看作自变量k的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞 后k个时间段的两项之间相关的程度。如 *表示每相邻两项间的相关程度；r2表 示每隔一项的两个观察值得相关程度。随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，1 ,斯为标准差的正态 分布。自相关系数的95%置信区间为(1.96 ,1.96 )，此处 1用。如果一个 时间序列的自相关系数全部落入这个区间，那么认为该序列是纯随机序列。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标

6、出一定的置信区间(通常采用2倍 标准差作为置信区间的两个端点)，被称作自相关分析图。中的操作1. 输入变量数据；定义时间序列日期(数据 定义日期)2. 分析 预测 自相关(如下)；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选(如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2)未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复 第2步时，差分选项选择1或2。偏自相关函数偏自相关函数是时间序列Y，在给定了 Y1,Y；2,L Yt ki的条件下，Y与Yt k之

7、 间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。 偏自相关系数kk计算公式如下。偏自相关系数kk，可看作自变量k的函数，即偏自相关函数，1 kk 1。它用以测量当剔除其他滞后期(t 1,2,3,L ,k 1 )的干扰的条件下，Y与Y； k之 间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行 识别。模型的参数确定Step1：判断时序是否平稳，假设不平稳，经过假设干次逐期差分或季节差分使其平稳，那么可确定d和D。对于社会经济现状，一般d和D的数值取0,1或2。假设自相关系数ACF随着滞后期(一般设为16)增大，而迅速趋于0,那么认 为该时序是平稳的。假

8、设自相关系数ACF随着滞后期增大，自相关系数 ACF不趋于0,那么认为该 时序是非平稳的。更具体地说，假设随着时滞 k的增大，自相关系数ACF缓慢减 小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，那么序列具有趋势性；假设对于 季度数据或月度数据，当滞后期为 4 (或12)，8 (24)等时，自相关系数ACF 显着地部位0,即在随机区间之外，那么意味着该时序具有季节性。如果时序具有 趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定 d的取值；如果序列具 有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D的值。左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF图，可以看出自相关系数并未迅速趋于

9、0,说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示ARMA p,q序列特征表模型自相关函数拖尾指数衰减和或正弦衰减截尾拖尾指数衰减和或正弦衰减偏自相关函数截尾阶拖尾指数衰减和或正弦衰减拖尾指数衰减和或正弦衰减关于p,q的取值当不包括时滞k 12 或4, 24或8，p取落入随机区间之外的偏相关系 数PACF的个数或与0有显着差异的PACF的个数，q取落入随机区间之外的自 相关系数ACF的个数或与0有显着差异的ACF的个数。当仅观察时滞k 12 或4, 24 或8， p取显着不为0的

10、PACF的个数, q取显着不为0的季节自相关数目。4案例分析数据准备某城市农村居民收入数据1980-2021年单位：元198019922004198119932005198219942006198319952007198419962021198519972021198619982021198719992021198820002021198920012021199020022021199120032021对36年农村居民收入建立B-J模型，并预测2021年的收入情况时序分析Stepl:将数据输入到中，并定义变量的精度为小数点后两位； Step2:定义日期。数据一一定义日期一一输入“ 1980因为

11、本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为1980年，如下列图。Step3:绘制其时序图，观察其是否平稳。分析一一预测一一序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。 同时，也可以绘制自相关图形操作：分析一一预测一一自相关来观察其 趋势，如下列图。由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显着的趋近于0,且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并 非平稳的。差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。操作为：分析预测自相关勾选：1阶差分从右侧图形可以看出，在滞后期k=3之后，自相关函数衰减，并且均在置信 区间范围

12、之内，因此可以认为该序列平稳了。再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下列图。其中33 较大，其他并没有明显趋于 0,可以认为在K=3后拖尾，而 自相关函数可以看做是K=3后截尾，也可以看做为拖尾。自拖，偏拖ARIMA模型，自截，偏拖一一MA模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收 入所选定的模型为ARIMA3,1,3或ARIMA0,1,3。分别对两个模型进行拟合和预 测，比拟其精度。建立ARIMA模型4.4.1 ARIMA 3,1,3模型Step1:菜单栏：分析预测创立模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择ARIMA模型，点击右侧“条件，输入自回归，差分和移动平均数的值。Step2：确定输出的统计量和相关信息。其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再参加一个 年份值，否那么不会显示预测值，如下列图模型结果分析可以看到模型的R平方为0.990,平稳的R方为,说明模型的拟合效果 较好，预测值为 。将实际值和预测值画在