D102二重积分的计算法ppt课件

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二重积分的计算法二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第十章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案xbad 设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxy

2、oab0 xD一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为那么其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd)(1yx)(2yxzyxocd0yD机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案且在D上延续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知

3、, 假设D为 X 型区域 那么)(1xy)(2xyxboyDax假设D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法依然有效 .由于Dyxyxfdd),(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电

4、子教案oxy阐明阐明: (1) 假设积分区域既是假设积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区型区域域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc那么有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 假设积分域较复杂,可将它分成假设干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案xy211xy o221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx

5、所围的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例2. 计算计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21y

6、yyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线那么 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案练习：练习：计算计算其中 是由直线所围成的闭区域。 Ddyxy 221Dxy 1 x1 y，及解既是X型的， 103111222221)1(3211dxxdxdyyxydyxyDx 111222211yDdydxyxydyxy D是Y型的计算比较费事D机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例3. 计算计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭

7、区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx先对 x 积分不行, 阐明阐明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例4. 交换以下积分顺序交换以下积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280

8、:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例5. 计算计算,dd)22(22yxxyyxID其中D 由, 10 x10 y所围成.解解:yxyxIDdd)2(oxy1D1xy 2DyxyxDddyxDdd2yxyxDdd)(1yxxyDdd)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例6. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32

9、D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下图)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例7. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222RyxyxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(8022222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222Rz

10、xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数那么除包含边境点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(dd

11、rr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案假设 f 1 那么可求得D 的面积d)(21202Dd思索思索: 以下各图中域以下各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点

12、,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例8. 计算计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故此题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案注注:利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex现实上, 当D 为 R

13、2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例9. 求球体求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案baxxfd)() )(txtttf

14、d)()(定积分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数延续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 变换DDT:那么Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案oyxDovuD证证: 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直

15、线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv经过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令那么12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4

16、 近似于平行四 边形, 故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxhkvyuyvxuxhkvuJ),(khkhvyvxuyux机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学

17、A A电子教案电子教案例例10. 计算计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所围成的闭域. 解解: 令令,xyvxyu那么2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例11. 计算由计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积

18、 S .解解: 令令Duvopqab那么bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例12. 试计算椭球体试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax那么D 的原象为20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等