苏教版九年级数学全册知识点汇总情况

1、实用标准文档第一章教学内容：证明（二）重点：直角三角形，线段垂直平分线与角平分线的证明难点：证明逆命题的真假，角平分线的证明及其对逆命题的理解 易错点：线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别 第二章教学内容：一元一次方程重点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程难点：黄金分割点的理解，用配方法解方程易错点：利用因式分解法和公式法解方程第三章教学内容：证明（三）重点：特殊的平行四边形的性质与判定，平行四边形的性质与判定难点：特殊的平行四边形的证明易错点：各定理之间的判别第四章教学内容：视图与投影重点：某物体的三视图与投影难点：理解平行投影与中心投影的区别易错点：三视图的理解，中心投

2、影与平行投影的区别第五章教学内容：反比例函数重点：反比例函数的表达式，反比例函数的图像的概念与性质难点：反比例函数的运用，猜想，证明与拓展易错点：主要区别反比例函数与 x轴和与y轴无限靠近 第六章教学内容：频率与概率定义和命题：频率与概率的概念难点：理解用频率去估计概率易错点：频率是样本中才出现的，概率是整体中出项的苏教版九年级数学上知识点汇总第一章 图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

3、（简称“等角对等边”）。1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“hl”）。角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。直角三角形中，30。的角所对的直角边事斜边的一半。1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。定理1:平行四边形的对边相等。定理2:平行四边形的对角相等。定理3:平行四边形的对角线互相平分。判定一一从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3两组对边分别相等的四边形是平行四边

4、形。从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。定理1:矩形的4个角都是直角。定理2:矩形的对角线相等。定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：1有三个角是直角的四边形是矩 形。2对角线相等的平行四边形是矩形。菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。定理1:菱形的4边都相等。定理2:菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。判定：1四条边都相等的四边形是菱形。 2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，

5、对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。1.4 等腰梯形的性质与判定定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。定理1 :等腰梯形同一底上的两底角相等。定理2:等腰梯形的两条对角线相等。判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。2对角线相等的梯形是等腰梯形。1.5 中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。 中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形(中点四边形一定

6、是平 行四边形)。原四边形对角线中点四边形相等菱形互相垂直矩形相等且互相垂直正方形第二章数据的离散程度2.1 极差：一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据 的波动幅度越小。2.2 方差各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作s2o巧用方差公式：1、基本公式：s2=n1(x1-x)2+(x2-x)2+, , +(xn-x )22、简化公式：s2=n1(x12+x22+, , +xn2)-nx 2也可写成：s2=n1(x12+x22+, , +xn2)-x 23

7、、简化：s2=n1(x 12+x 22+, , +x n2)-nx 2也可写成：s2=n1(x 12+x 22+, , +x n2)-x 2标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作s。 意义：1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。第三章二次根式3.1 二次根式定义：一般地

8、,式子（a0）叫做二次根式，a叫做被开方数。有意义条件：当a0时，有意义；当aw 0时，无意义。性质：1、三 0 （a0）2、 （）2=a （a）3 2= i a i = a （a= 0）a（a 0）=(a= 0,b化简：，ab=va mb（a 三0,b 三 0），=（a 0,b 0）0）第四章一元二次方程4.1 概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a，0）,其中ax2称为二次项，a称为二次项系数，bx称为一次 项，b称为一次项系数，c称为常数项。4.2 解法：1、直接开平方2、配方法：先把一元二次方程变形

9、为（x+h） 2=k的形式（其中h,k都是常数），如果 k 0,再通过直接开平方法求出方程的解3、公式法（求根公式）：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a，0）,当b2-4ac三0时，它的根是（兰0）4、因式分解法根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0 （a，0）的根的情况可由b2-4ac来判定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根的 判别式。当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=当b2-4ac 0时，方程没有实数根。反之，也成立。一元二次方程应用题步骤：“设、找、歹u、解、验、答”第五章中心对称图形（二）5.1 圆定义：圆是

10、定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。与圆有关的概念：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。3、定点在圆上的角叫做圆心角。4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。点与圆的位置关系：在平面内，点与圆有 3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设。的半径为r,点p到圆心。的距离为d,那么“点 p在圆内 -dr” 5.2 圆的对称性

11、圆是中心对称图形，圆心是对称中心。圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等。5.3 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。2、90。的圆周角对的弦是直径。5.4 确定圆的条件条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆：

12、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接 三角形5.5 直线与圆的位置关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（dr） 直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。切线的性质与判定：判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）1、 经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。2、 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心3、 切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半

13、径；切线垂直于过切点的半径。内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。这个三角形叫做圆的外切三角形。5.6 圆与圆的位置关系性质与判定：如果两圆的半径分别为 r和r ,圆心距为d,那么 两圆外离-dr+r两圆外切-d=r+r两圆相交 r-r d r） 两圆内切 d=r虫r r）两圆内含 0 dr）连心线的性质：圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿01、02所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线o1o2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。5.7 正多边形与圆正多边形概念：各边相等、各角也相等的

14、多边形叫做正多边形。性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。1、 边数相同的正多边形相似。2、 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。友情提醒：(1)边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。(2)任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。作正多边形：作半径为 r的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两

15、种方法：(1) 用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。(2) 用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。5.8 弧长及扇形的面积圆的周长公式c=2无r其中无是圆的周长与直径的比值，无称为圆周率。弧长公式：1=,其中，表示1的圆心角的倍数，

16、它不带单位，r为圆的半径，l为n的圆心角所对的弧长。扇形面积公式：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆心角为n。的扇形面积的计算公式为 s扇形=。弧长为1的扇形面积的计算公式为 s扇形=1ro公式中的n应理解为1的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：1=公式进行比较，避免混淆。公式与三角形面积公式相类似，在s=1r中，把扇形看成一个曲边三角形，把弧长 1看作底，r看作高,这样对比，有助于理解与记忆公式。5.9 圆锥侧面积和全面积圆锥的侧面展开：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长1=2无r。这个扇形的半径等于圆锥的母线长1母线=这个扇形的圆心角

17、a= 360这个扇形的面积等于圆锥的侧面积 s侧面积=s扇形=, 2无r , 1=无r , 1圆锥与圆柱的比较圆柱：由一个矩形旋转得到，如矩形 add g绕直线ab旋转一周s 侧=2无rhs 全=s侧+2s底=2无rh+2无r2v=无 r2h圆锥：由一个直角三角形旋转得到，如rtsoa绕直线so旋转一周s 侧=无rs 全=s侧+s底=4 +无r2v=无 r2h文案大全(一)、知识框架九年级数学全册知识点总结上册第一章、图形与证明(二)厂等腰三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定(寸形2. 1、性质:等腰三角形等腰三角形线段的垂直平分线的性质和判定、角的平分线的性明出质及推论的两个底角相等(等

18、边对等角)判定:推论:22 .j有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的n定定理hl性质定理：等边三个角都等于60度;m3的等边三角2. 3、线段的垂直 形。平行四边形的性质和判定: 等边三角形的三条边都满足靠步的性质和判定蔗影60f簿嬲定！形明抛回篇感哪者三个角都相等的三角形是q正方形的性质和判定：2个判定定理平分线高互相重合(即“三线合一”4个判出那三个角都相等并且每 “三线合一”的性质；等边三角形是轴对称(1)线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段

19、的垂直等。平分线上。(2)三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点 a、b为圆心，以大于 ab的一半长为 则直线mn就是线段ab的垂直平分线。顶点的距离相等。半径作弧，两弧交于点n；作直线mn2. 4、角平分线(1)角平分线的性质及判定定理饵佻等n梅箔i例械翔匆修的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。(2注短形条角解阙郴脚题瞿)基本思路：通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形 进行解决。性质：三角形的国踊费噂卿目萧祚的辅助绩这一点到三条边的距离相

20、等。(3)如何用尺规作图法作出角平分线2. 5、直角缢阴形的面积公式：(1)勾股定理及其逆定理定理：直角 三角形的中位线一 1s=1(a+bh=lh (l -中位线长) 2三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。道定理位线 0) b . b加减法：先将二次根式化成最简的二次 根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并。运算* 乘法：jai，b=jab(a 之 o,b 之 0)混合运算除法：a=a 仁。小 0)配方法2方程axx2xi0a#0),的 0,方程有两个不两根梅渤勺灾植u xv=x2时,-一,方程有两个相等的实ax1口姬干7c 0时，方程无 a实用标准文档(二)、知识详解1、一元二次

21、方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。(二)、一元二次方程的一般形式2ax +bx + c= 0(a#0),它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x的二次多项式，等式右边是2蚕，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b的一元二次方程。当b20时,x + a =jb ,x = -a jb ；当b0时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：(1) 方程ax2+bx+c =0(a 00)两边同时除以a,将二次项系数化为1.(2) 将所得方

22、程的常数项移到方程的右边。(3) 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方2(4) 配万，化成(x+a) =b(5)开方。当b20时，x = aj6；当b0时，方程有两个不相等的实数根；当 b2 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b2 4acr = 无交点；d = r = 有一个交点;d r = 有两个交点;文案大全ab四、圆与圆的位置关系外离（图1）二 无交点外切（图2）= 有一个交点相交（图3）= 有两个交点 内切（图4） 口 有一个交点内含（图5）二 无交点= d r r ;二d =r r ；二r - r 二 d ： r r ；=d=r-r；二d：r-r；图4图5五、垂径定理垂

23、径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个 即： /aob =/doe ; ab = de ；结论，即：ab是直径 ab_lcd ce=de中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。弧bc =弧bd 弧ac =弧ad即：在。o中，;:弧ac =弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，a

24、b / cdbd相等的圆心角所对的d弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，文案大全oc =of ;弧ba =弧bd 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：: /aob和/acb是弧ab所对的圆心角和圆周角aob =2 acb2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。中，/c、/d都是所对的圆周角.c =./d推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。0中，

25、 ab是直径 或 nc=90 /c=903 ab是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在 abc中,oc =oa=obabc是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。o中，四边形 abcd是内接四边形.c . bad -180 . b . d =180dae 二，c九、切线的性质与判定定理(d切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：: mn 1oa且mn过半径oa外端：mn是。o的切线

26、 (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。. c = 90在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理a十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。即： pa、pb是的两条切线 pa = pb po平分/bpah一、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：o1o2垂直平分ab o即：。1、q

27、o2相交于a、b两点o1o2垂直平分ab十二、圆内正多边形的计算实用标准文档文案大全(1)正三角形：在。中 abc是正三角形有关计算在rtabod中进行：od : bd : ob =1:(2)正四边形同理，四边形的有关计算在 rtaoae中进行,oe : ae :oa =1:1: .2 ：(3)正六边形同理，六边形的有关计算在 rtaoab中进行,ab:ob:oa=1: 3:2.十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：1 =9r ；1802(2)扇形面积公式：s = 更r-360jr2s：扇形面积l :扇形弧长n：圆心角 r:扇形多对应的圆的半径图形的形成过程由一个矩形旋转得到，如矩形add g绕直线ab旋转一周由一个直角三角形旋转得到，如 rtso畸直线so旋转一周图形的组成两个底面圆和一个侧面一个底面圆和一个侧面