随机变量及分布ppt课件

1、主要内容主要内容2学时学时一、一维随机变量函数一、一维随机变量函数Y=g(X)Y=g(X)的分布。的分布。 1 1、离散型、离散型Y=g(X)Y=g(X)； 2 2、延续型、延续型Y=g(X)(Y=g(X)(重点重点二、二维二、二维 (X, Y)(X, Y)函数的分布函数的分布 1 1、离散型、离散型Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分布的分布 2 2、Z=X+YZ=X+Y的分布的分布( (重点重点 3 3、M=Max(X, Y)M=Max(X, Y)和和N=Min(X,Y)N=Min(X,Y)的分布重点的分布重点第九节第九节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题的提出问题的提出实践中，人

2、们经常对随机变量的函数很感兴趣实践中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.1、知圆的直径、知圆的直径 d 的分布，求园的面积的分布，求园的面积S= d 2 的分布的分布.例如：例如：2、变速直线运动质点的速度、变速直线运动质点的速度v、时间、时间t结合分布知，求结合分布知，求 位移位移S=vt的分布的分布.归纳：归纳：1、随机变量、随机变量X 的分布知，的分布知，Y=g (X) ，求，求 Y 的分布？的分布？2、设随机变量、设随机变量(X,Y)的结合分布知，的结合分布知，Z=g (X,Y) , 如何如何 由由 (X,Y) 的分布求的分布求 Z的分布？的分布？一、一维随机变量函数一、一维随机变量函

3、数Y=G(X)的分布的分布解：当解：当 X 取值取值 1，2，5 时，时，Y 取对应值取对应值 5，7，133013502075.YX=a与与Y=2a+3两事件同时发生，两者具有一样的概率两事件同时发生，两者具有一样的概率.故故1 1、离散型、离散型Y=g(X)Y=g(X)125 ,23.0.20.5 0.3XYX例1.设随机变量求的分布律2(P611) X2 -1 0 1 2 P| 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 2 2 例例类类似似例例离离散散型型随随机机变变量量X X的的分分布布律律为为: :求求: :Y Y= =X X + +X X的的分分布布律律. .X -2 -1 0 1

4、2Y 2 0 0 2 6 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.32 2解解: :( (1 1) ) Y Y= =X X + +X X的的分分布布律律Y 0 2 6P0.2 0.5 0.3再对等值合并再对等值合并2 2( (2 2) ) Y Y= =X X + +X X的的所所0 0有有可可能能取取值值 , ,2 2, ,6 62 2X X + +X X= =0 0( (X X= =- -1 1) ) ( (X X= =0 0) )P P( (Y Y= =0 0) )= =P P( () )= =P P = =0 0. .1 1+ +0 0. .1 1= =0 0. .2 22 2X X +

5、 +X X= =P P( (Y Y= =6 6) )= =P P( () )= =6 6X X= =2 2P P = =0 0. .3 3解：设解：设X，U的分布函数分别为的分布函数分别为 FX (x) , FU(u) X XU U 例例3 3( (P P6 61 1- -例例2 2) ) 一一炼炼纯纯糖糖机机器器一一天天可可生生产产纯纯糖糖1 1吨吨, ,但但由由于于机机器器损损坏坏和和减减速速, ,一一天天实实际际产产量量X X是是一一随随机机变变量量, ,设设X X的的概概率率密密度度为为2 2x x 0 0 x x1 1f f( (x x) )= =一一天天的的利利润润U U= =3

6、3X X- -1 1, ,求求U U的的概概率率密密度度f f( (u u) ). .0 0 其其它它2 2、延续型、延续型Y=g(X)Y=g(X)1( )XgyP1( ) ( ) ()YFyP YyP g Xy1( )XFgy12( ) ( )( )( )YYXfyFyFgy设函数设函数Y=g(X)Y=g(X)严厉单调严厉单调( (递增递增) )Y=g(X)Y=g(X)非严厉单调时，分段单调，分段求反函数即可。非严厉单调时，分段单调，分段求反函数即可。11( )( )Xfgygy( )11( )() ()33UUXudFuuufufdu U 的概率密度的概率密度1 112013330. (

7、) Uuufu其其它它211290() ( ) Uuufu即即其其它它31( )UFuP UuPXu 13uP X13)XuF()yPyX 当当 y0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 留意到留意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 ， )()(yFyFXX X X2 2X X2 2Y Y 例例4 4( (P P6 62 2- -例例3 3) ) 设设随随机机变变量量X X的的概概率率密密度度为为f f( (x x) )( (x xR R) ), ,求求: :x x+ +1 1 - -1 1x

8、x1 1( (1 1) )随随机机变变量量Y Y= =X X 的的概概率率密密度度. .( (2 2) )设设概概密密f f( (x x) )= =2 20 0 其其它它求求Y Y= =X X 的的概概率率密密度度f f( (y y) ). .那么那么 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：10200XXYYf (y )f (y ) ,ydF ( y )yf ( y )dy,y 1 ()20 01 Xyyfy其其它它 1()20 1 0 Xyyfy其其它它 111() ()2220 0 1 Yyyyfyy其其 它它 启示：从例启示：从例3-4中看到，在求中看到，在求F(y)=P(Yy) 过程中

9、，过程中，关键就是设法从关键就是设法从 g(X) y 中解出中解出X，从而得到与，从而得到与 g(X) y 等价的等价的X的不等式的不等式 .目的：为了利用目的：为了利用X X的分布，从而求出的分布，从而求出Y=g(X)Y=g(X)的概率的概率. . 1313uXXu如如例例3 3: : 用用 代代替替 X 2 2例例4 4: : 用用 - - y yy y 代代替替 X Xy y 求延续型随机变量求延续型随机变量F(x)F(x)或或f(x)f(x)的通用做法。的通用做法。 例例5P63,例例4 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布。上服从均匀分布。求：求：1(略略).2Y=-2

10、lnX的概率密度的概率密度. ()y y2 2- -Y Y1 1e e y y 0 0f f ( (y y) )= =即即 = =2 2的的指指数数分分布布2 20 0 其其它它 :(0,1), 2ln0XUYX解解 2( )lnYFyP YyPXy2/yP Xe2211 /()yyXP XeFe22/( )( )()()yyYYXfyFyfee212/ye000, ( ) ( )YYyFyfy二、二维二、二维(X,Y)函数的分布函数的分布P=P (,)kkZzg X Yz(X,Y) , Zg( X,Y ) i ij ji ij jP P X X= =x x , ,Y Y= =联联合合分分布布

11、律律: :p p y y = =ijkg(x ,y ) zij=pijkg(x ,y )=zi ij jk k即即P P Z Z= =z z 等等于于所所有有p p满满足足之之和和. .(,), (,). .X YZg X YZ分分布布已已知知如如何何求求 的的分分布布 1 1、离散型、离散型Z=g(X,Y)Z=g(X,Y) 例例6 6( (类类似似P P7 72 2- -习习3 34 4) ) 设设离离散散型型( (X X, ,Y Y) )联联合合分分布布律律如如下下表表, ,求求: :( (1 1) )Z Z= =X X+ +Y Y. . ( (2 2) )W W= =X X- -Y Y.

12、 . ( (3 3) )M M= =m ma ax x( (X X, ,Y Y) ). .( (4 4) )N N= =m mi in n( (X X, ,Y Y) )的的分分布布律律. .X Y - 1 1 2-12 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解解: 将将(X,Y)及各函数值列表如下：及各函数值列表如下：2 0 1 1 3 4 0 -2 -3 3 1 0ZXY WXY 1 1 2 2 2 2 Mmax(X,

13、Y ) 1 -1 -1 -1 1 2 Nmin( X ,Y ) 合并后可得各变量的分布律如下：合并后可得各变量的分布律如下：Z=X+Y - 2 0 1 3 4P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20W=X-Y - 3 -2 0 1 3P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20M=max(X,Y) - 1 1 2P 5/20 2/20 13/20 N=min(X,Y) - 1 1 2P 16/20 3/20 1/20 设设(X，Y)的结合概率密度为的结合概率密度为 f (x,y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 分析分析: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是Ddxd

14、yyxf),(积分区域积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方半平面左下方半平面2 2、Z=X+YZ=X+Y的分布的分布( (重点重点 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)( )( , )zZxyFzf x y dxdy ( , )zyf x y dx dy Z=X+Y的概率密度为的概率密度为 由对称性由对称性( )( ,)Zfzf x zx dx特别特别: 当当X和和Y独立时，设独立时，设(X,Y) 的边沿密度为的边沿密度为fX(x) , fY(y)( )()( )ZXYfzfzy fy dy( )()XYfx fzx dx卷积公式卷积公式 ()(, )zf

15、yyyzdyz ( )(, )Zfzf zy y dy( )( )ZZfzF z ( , )zzyf x y dx dydxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式0110zxx积积分分区区域域101zxxz 即即1 0 x10 f ( x ) 例例7 7 设设随随机机变变量量X X, ,Y Y相相互互独独立立, , 且且具具有有相相同同的的概概率率密密度度. . 求求Z Z= =X X+ +Y Y的的概概率率密密度度. .其其它它011,01( )2,120,zzZdxzzfzdxzz其其它它( )()( )ZXYfzfzy fy dy解解: 由卷积公式由卷积公式001z

16、yy积积分分区区域域 01zyzy即即1 01 0 0 0 yXYZXY,xeyf ( x )f ( y )ZXYf (z ) 例例8(P64-8(P64-例例5) 5) 设设 和和 是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量 其其概概率率密密度度分分别别为为,.,.求求随随机机变变量量其其它它其其它它的的概概率率密密度度. . 0101( ) 10 zzyyzZe dyzfze dyz其其它它 101(1) 10 zzezeez其其它它01()( ) 01( )()( ) 10 XYZXYzzzfzy fy dyzfzfzy fy dyz其其它它( )( )() ( 6566)ZXYf

17、zfx fzx dxP或或 设设X、Y是两相互独立的随机变量，分布函数分别为是两相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和和FY(y)，求，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.3 3、 M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布重点的分布重点FM(z) =P(Mz)=P(max(X,Y) z)=P(Xz,Yz)=P(Xz)P(Yz) = FX(z)FY(z) 即即 FM(z)= FX(z)FY(z) FN(z) =P(Nz)=P(min(X,Y) z)=1-P(min(X,Y) z)=1-P(Xz,Yz) =1-

18、 P(Xz)P(Yz)即即 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) 特例特例: 当当X1,Xn相互独立且具有一样分布函数相互独立且具有一样分布函数F(x)时时N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FN(z)=1-1-F(z) n 12( )1 1( )1( ).1( )nNXXXFzFzFzFz12( )( )( ).( )nMXXXFzFz FzFz推行推行:设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分它们的分布函数分别为布函数分别为 (i =0,1，, n) ，那么，那么( )iXFxFM(z)

19、=F(z) n( )( )xXXFxfx dx解解1串联方式：串联方式： 系统系统L的寿命的寿命 Z=min(X,Y) x0 y0 000 0 xyXYeef ( x)f ( y), 1 12 21 12 21 12 2 例例9 9( (P P6 67 7- -例例6 6) ) 设设系系统统L L由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系统统L L , ,L L 联联接接而而成成, ,联联接接的的方方式式分分别别为为: :( (1 1) )串串联联. .( (2 2) )并并联联. .( (3 3) )备备用用( (当当系系统统L L损损坏坏时时, ,系系统统L L 开开始始工工作作) )( (

20、补补充充) ). .设设系系统统L L , ,L L 的的寿寿命命分分别别为为, , ( (且且) ). .x x0 0y y0 0试试分分别别就就以以上上三三种种联联接接方方式式求求系系统统L L的的寿寿命命Z Z的的概概率率密密度度. .0 x0 0 x10 xxxxeed y0: ( )( ) 0 01yyYYyeFyfy dy 同同理理可可得得min(,):ZX Y的的分分布布函函数数1 1( )( )1( )ZXYFzFzFz() z0 0 z01 ze min(,): ZX Y概概率率密密度度() z0 0 ( z0)ze ( )( )ZZfzFzmax(,):ZX Y的的分分布布

21、函函数数( )()(XYZFFz Fzz z0 0 (1) z0(1)zzee max(,): ZX Y概概率率密密度度() z0 0 ) ( z0zzzeee 2并联方式：并联方式： 系统系统L的寿命的寿命 Z=max(X,Y)( )( )ZZfzFz0()( )zZxz xeefzdx () z0( ) 0 z0zzZeefz 即即Z Z= =X X+ +Y Y概概率率密密度度: : 3备用方式：备用方式： 系统系统L的寿命的寿命 Z=X+Y( )( )()ZXYfzfx fzx dx0 0 0 xzzxx 积积分分区区域域即即0()zzxexed ()zzee 本节重点总结本节重点总结一

22、、延续型随机变量函数一、延续型随机变量函数Y=g(X)的分布的分布二、二维延续型二、二维延续型(X, Y)函数的分布函数的分布 1、Z=X+Y的分布。的分布。 2、M=Max(X, Y)和和N=Min(X,Y)的分布。的分布。1 1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；2 2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；3 3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；4 4、边沿分布律、边沿概率密度；、边沿分布律、边沿概率密度；4 4、随机变

23、量独立的定义与性质；、随机变量独立的定义与性质；5 5、延续型随机变量函数的分布计算、延续型随机变量函数的分布计算 Y=g(X) Y=g(X) 、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。本章重点总结本章重点总结备选备选1：假设：假设X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 解

24、一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn1111211(2)nnnpqqq记记1-p=q 备选备选2：设随机变量：设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有一样的并且有一样的几何分布几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=0,1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )-P(max(X

25、1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq11(2)nnnpqqqn=0,1,2, 1 YXybYaXb: f ( y )f ()( yR)aa的的概概率率密密度度 1 ybxh( y), h( y)aayaxb严严格格单单调调可可导导, ,反反函函数数 222 (xR),2 2( (x x- - ) )- -X X1 1证证明明: :X XN N( () ), , 故故 f f( (x x) )= =e e2 2 22 (a),b, 备备选选3 3 设设随随机机变变量量

26、X XN N( () ), ,证证明明随随机机变变量量Y Y= =a aX X+ +b bN N( (a a) ). . ( (a a0 0) )2222 (yR)1y b()baaaa2 22 2( (- - ) ) y y- -( () ) - - -a aY Y1 11 1f f( (y y) )= =e ee e2 22 2 2 (a)b,Y Y= =a aX X+ +b bN N( (a a) )从从而而 122 -2 20 ,解解:(1) U(-), :(1) U(-), 概概率率密密度度为为f( )=f( )=其其它它 02 2U,U, 备备选选4 4 设设电电压压V V= =A

27、 As si in n , , A A为为正正常常数数. .相相角角 为为一一随随机机变变量量, ,在在下下列列两两种种情情况况下下: : ( (1 1) ) ( (- -) ); ; ( (2 2) ) ( () ). .求求电电压压V V的的概概率率密密度度. .2 2VAsin,vh(v)arcsinA在在( (- -) )严严格格单单调调可可导导, ,反反函函数数 221vvarcsinh (v )AAv反反函函数数的的导导数数 - 220 Vvvf (arcsin) h (v )arcsinf (v )AA概概率率密密度度其其它它 1 000 ,( (2 2) ) U U( () )

28、, , 概概率率密密度度为为f f( ( ) )= =其其它它 0VAsin,在在( () )非非单单调调, ,因因而而反反函函数数不不存存在在. . 221 - 0 VAvAf ( v )Av其其 它它 211221 0 vh (v)arcsin,h (v)AAv,( () )时时, , 反反函函数数导导数数 222221 vh (v)arcsin,h (v)AAv( ( , , ) )时时, , 反反函函数数导导数数 222211+ 0 0 vAAvAv其其 它它 112212 0 0 Vf h(v) h(v)f h (v) h (v)h(v),h (v)f (v)VAsin 的的概概率率

29、密密度度: :其其它它 222 0 00 Vv AVA sin ()f (v )Av概概率率密密度度其其它它 )()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X 当当0y1时时, 22 0 X ()0Y=sinXxxfx 备备选选5 5随随机机变变量量概概率率密密度度其其它它求求的的概概率率密密度度. . 0y=sinx1,解解: : 当当0 0 x x 时时 YYF (y)=0. F1 (y)=,因因此此, , 当当y y0 0时时当当y y1 1时时 arcsin202yxdx 2arcsin2yxdx 2arcsin()y 2arcsin1()y =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X dyydFyfYY)()(而而22, 01: ( )10,