矩阵论及其应用_习题1解答

1、习题一1检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设是阶实数矩阵.的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法和数乘运算：（4）设是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：其中；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设，中元素对于通常的加法与数乘，并证明：是的一个基，试确定的方法.解 （1）是.令.由矩阵的加法和数乘运算知,其中为实数，是实系数多项式.中含有的零多项式，为的零元素.有负元.由于矩阵加法与数乘运算满足其

2、它各条，故关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为,以及任意实数,则有 ; ;存在(0,0),使得,即(0,0)为零元;存在,使得,即是的负元; .（4）是.对任意a，bR+，有；又对任意和，有，即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：1是零元素：a的负元素是：所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.（5）否.设，则该集

3、合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的.故不构成线性空间.（6）是.集合对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是的零元素；对任意的，是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.为证明函数组是的一个基，由于中的任意函数均可由该组函数表示，故只需证明线性无关.设，分别用乘以上式，并从0到求定积分，得，由于，故，即线性无关.设，则,故.2求下列线性空间的维数与一个基：（1）中全体对称（反对称、上三角）矩阵构成的实数域上的空间；（2）第1题（4）中的空间；（3）实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的空间，其中解 （1）设是第行第列的

4、元素为1而其余元素全为0的阶方阵.令，则是对称矩阵，易证线性无关，且对任意阶对称矩阵，其中，有，故是中全体对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.令，则是反对称矩阵，易证线性无关，且对任意的阶反对称矩阵，有，故是中全体反对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.对任意阶上三角矩阵，其中，有，又均为上三角矩阵且线性无关，故它们是中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.（2）数1是该空间的零元素，于是非零元素2是线性无关的，且对于任一正实数，有，即R+中任意元素均可由2线性表示，所以2是该空间的一组基，该空间的维数是1.事实上任意不等于1的正实数均可

5、作为该空间的基.（3）因为，故于是 则任意可以表示成的线性组合.又是线性无关的.实际上,设, 即，因为关于的该方程组的系数行列式，故方程组只有零解，即，于是线性无关，故是该空间的一组基，该空间的维数为3.3设表示实数系数多项式全体构成的线性空间，问下列向量集合是否构成的子空间：（1）；（2）；（3）;（4）.解 这四个向量集合都是的子空间.由于这些集合均包含零多项式，故非空，下面证明这些集合对多项式的加法和数乘是封闭的.(1)设，对任意的，由于，故，即，因此是的子空间.（2）设，对任意的，由于的常数项均为零，故和的常数项也均为零，即，因此是的子空间.(3)设，对任意的，令，由于，故即，因此是的

6、子空间.(4) 设，对任意的，令，由于，故即，因此是的子空间.4证明下列向量集合组成线性子空间，并求基和维数：（1）第偶数个坐标为零的所有维向量；（2）形如的所有维向量，其中为任意数.解 （1）该集合可表示为，显然该集合非空.又对任意的，由于的第偶数个坐标为零，故和的第偶数个坐标也均为零，即，因此是的线性子空间.当时，中向量的一般形式为，的维数是，向量组是的一组基.当时，中向量的一般形式为，的维数是，向量组，是的一组基.（2）该集合可表示为，显然该集合非空.又对任意的，有故是的线性子空间.的维数是2，是的一组基.5.在中求由基到的过渡矩阵，并求向量在指定基下的坐标，设（1） 在下的坐标；（2）

7、 在下的坐标.解 设.(1)因为，其中，故 ，即由基到的过渡矩阵为.又 ，则在下的坐标为.（2）因为，其中 ，故 ，即由基到的过渡矩阵为.又 ，则在下的坐标为.6.在中给定两个基 求一非零向量，使它在两个基下有相同的坐标.解 设所求向量为，它在给定的两组基下的坐标均为，即，又 其中，则即也即，解之，得该方程组的通解为，其中为任意常数.故所求向量为，其中为任意非零常数.7.设，求中全体与可交换的矩阵所生成子空间的维数和一个基.解 将分解为，其中，设与可交换，即，则有，于是.即根据矩阵相等的定义，有解此方程组，得其通解为其中为任意常数.于是其中则中任一与可交换的矩阵均可由表示，又线性无关，则是中全

8、体与可交换的矩阵所生成子空间的一组基，该子空间的维数是5.8.设是实系数多项式空间中的两个子集，其定义为，证明：.证明 对任意的，有，其中 ，即中的多项式均可表示为中的多项式与中的多项式的和，故.又，因为若，则，故.从而是直和，故.9设与分别是齐次线性方程组和的解空间，证明:.证明 方程组的解空间是维的. 是其一组基，即；方程组的解空间是1维的，是其一组基.，即.由于线性无关，故，又，根据维数定理，有，故.10设，证明：.证明：对任意的，均存在矩阵及矩阵，其中，则，又，故.11.证明：和空间为直和的充要条件是 .证明 必要性.设为直和，则对任意的，其分解式是唯一的.现对任意证明.任取，则零向量

9、可表示为，由于零向量的分解是唯一的，且，故，即.充分性.设 ，如果中存在向量有两种分解式现证.假设有，即，由上式得，则，而，这与矛盾，故，即中任意向量的分解式是唯一的,即为直和.12.求下列由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交与和的维数和基：（1） （2） 解 （1）设，则考虑向量组的秩和极大线性无关组，对矩阵作初等变换，则为向量组的极大线性无关组，故的维数为3，是的一组基.因为，由维数定理知，设，有，即，求其通解为，为任意常数.则，故，是的一组基.（2）设，则，对矩阵作初等变换，则为向量组的极大线性无关组，故的维数为4，是的一组基.因为，由维数定理知，由于，故，则是的一组基.13设是一

10、个阶正定矩阵，而，在中定义内积，试证明：在这个定义下，为欧氏空间.证明 由于矩阵是正定矩阵，故，且对任意的非零向量，有.则对任意的，有，当且仅当时等号成立则运算是内积，故在这个定义下，为欧氏空间.14.设，作出到的同构对应.解 令，则是的一组基，对于中任意矩阵在基下有唯一的坐标，则在矩阵与其坐标之间建立对应关系，即显然，此对应是同构对应，而这正是到的一个同构对应.15.设是微分方程的解的全体证明：与同构.证明 由于函数组线性无关，且中的函数均可由表示，故函数组是的一组基.对于中任意函数在基下有唯一的坐标，则在函数与其坐标之间建立对应关系，即显然，此对应是同构对应，而这正是到的一个同构对应，故与

11、同构.16.在中求一单位向量与正交.解 设与已知的三个向量正交，则解之，得方程组的通解为（为任意常数）取，得，单位化得即为所求.17.设是中一组标准正交基，其中，求的一组标准正交基.解 显然是线性无关的.将其正交化，得单位化，得则是的一组标准正交基.18.设，并对中任意的向量，设内积为，若，计算，及距离，并验证CauchySchwarz不等式.解 ；因为，故.又，则.19.用Schmidt正交化方法，将内积空间的给定子集S正交化，再找出的标准正交基，并求出给定向量在标准正交基下的坐标：（1）；（2）；（3），定义内积为解：（1）设，由于线性无关，令则是与等价的两两正交的向量组.设是与均正交的向

12、量，即解之，得方程组的通解为，其中为任意常数.令，则是的一组正交基，将其单位化得的一组标准正交基：向量在标准正交基下的坐标为.（2）设，由于线性无关，令则是与等价的两两正交的向量组.设是与均正交的向量，即解之，得方程组的通解为，其中为任意常数.令，则是的一组正交基，将其单位化得的一组标准正交基：向量在标准正交基下的坐标为(3) 设，由于线性无关，令则是与等价的两两正交的向量组.由于线性无关，由Schmidt正交化方法，令则是的一组正交基，将其单位化得的一组标准正交基： 向量在这组基下的坐标为.20用向量生成子空间，求的正交补的基底及正交补空间.解 由于向量组中，且线性无关，故是向量组的极大线性

13、无关组，则，即是的一组基.如果向量与正交，则与正交；反之，如果与正交，则与均正交，故的正交补由满足方程组的所有向量组成，设，则就是方程组的解空间.该方程组的一个基础解系，即的基底为而.21.判断下列所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是?（1）在线性空间中，其中是一固定向量；（2）把复数域看作复数域上的线性空间，；（3）在中，；（4）在中，；（5）在中，其中是两个固定的矩阵；（6）在中，；（7）在中，其中是一个固定的数.解 （1），则若，则.故当时，是线性变换；当时，不是线性变换.（2）不是.例如取，则.（3）不是.例如取，则。（4）是.因为，其中,故对任意的，有，,故是线性变换.（5）是.任

14、取，有，.故是线性变换.(6) 是.任取令，则，故是线性变换.（7）是. 任取则，故是线性变换.22.求下列线性变换在指定基下的矩阵：（1）第21（4）中变换在基下的矩阵；（2）六个函数.的所有实系数线性组合构成实数域上一个六维空间，求微分变换在基下的矩阵；（3）已知中线性变换在基下的矩阵为，求在基下的矩阵；（4）在中，线性变换定义如下：其中求在基下的矩阵.解 （1）因为即，故变换在基下的矩阵为.(2) 因为故微分变换在基下的矩阵为.(3) 已知，其中，又,其中，则 ，故在下的矩阵为.（4）因为 ,其中，所以 ，而已知 其中，故 ，则在下的矩阵为.23.证明：用给定矩阵左乘和右乘二阶方阵，是所

15、有二阶方阵组成的空间中的两个线性变换，并求这两个线性变换在由以下矩阵组成的基下的矩阵.证明 设，则上述变换分别为和.对于变换，任取，有，故变换是线性变换.又因为故在基下的矩阵为.类似，可证明变换也是线性变换，且在基下的矩阵为.24.设是四维线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为，（1）求在基下的矩阵；（2）求的核与值域；（3）在的核中选一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵；（4）在的值域中选一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵；解 （1）设线性变换在这组基下的矩阵为，即，因为，其中，故在基下的矩阵为.（2）先求的核.设，即，又设，则即 解此方程组，得其通解为（

16、其中为任意常数）于是 （其中为任意常数）令，则是的一组基，即.由于的秩为2，且的第1，2列构成的列向量组的一个极大线性无关组，故的秩为2，且是其极大线性无关组。从而其中是的基.(3)由(2)知，是的一组基，易知是的一组基，实际上，其中可逆，故在基下的矩阵为.(4)由（2）知，是的一组基，易知，是的一组基，实际上，其中可逆故在基的矩阵为.25是数域上的维线性空间的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，则是数乘变换.证明：设在基下的矩阵为，只需证明矩阵为数量矩阵即可.设是任意可逆矩阵，取，则也是一组基，且在这组基下的矩阵为，从而，即，说明与一切可逆矩阵可交换.取，由得，即，再取 ，由

17、，得，即为数量矩阵，故是数乘变换.26.设，证明：（1）与有相同的值域；（2）与有相同的核.证明 （1）必要性 若.任取，则，故存在使得，于是，由的任意性，故有.同理可证.充分性 若，任取，则有，即，同理可证，则.(2)必要性 若，对任意，作向量，则，所以.从而即，由的任意性，故有.类似地，可证明.充分性 若，任取，由于，所以，从而.类似地可以证明，因而有.27求复数域上线性空间的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为（1），（2），（3），（4）.解 （1）设在基下的矩阵为，因为，则特征值为.对应的线性无关的特征向量为；对应的特征向量为.（2）设在下的矩阵为.因为，故特征值为.对

18、应的特征向量为.对应的特征向量为.对应的特征向量为.（3）设在下的矩阵为.因为，故特征值为，.对应的特征向量为.对应的特征向量为.(4)设在下的矩阵为.因为所以特征值为，.当时，解方程组，得其基础解系为，故对应特征值2的三个线性无关的特征向量为.当时，解方程组，得其基础解系为，故对应特征值2的线性无关的特征向量为.28.在第27题中，哪些是单纯矩阵?对于单纯矩阵，求出矩阵，使得为对角阵.解 （1）是.设则.(2)是.设，则.(3)不是.因为属于二重特征值1的线性无关的特征向量只有1个.(4)是.设则.29设是线性空间上的线性变换.证明：可逆的充要条件是没有等于零的特征值.证明 设在线性空间的某组基下的矩阵为，则与的特征值相等，而且所有特征值的积等于.若可逆，则矩阵可逆，即，所以没有等于零的特征值.反之，若没有等于零的特征值，则，即矩阵可逆，故可逆.30若方阵，但（为某一正整数），则不可能相似于对角阵.证明 设是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，即.由于，则，因为，所以，即的特征值全为零.假设相似于对角阵，则，即存在可逆矩阵，使得，所以，即，这与矛盾，故不可能相似于对角阵.31.设，试证：的特征值只能为；若特征值都等于1，则.证明 设是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，即.由于，则，因为，所以.若特征值都等于1，则不是特征值，因此，即矩阵可逆.又因为，即，此式两端同