!最优风险资产组合

1、第8章最优风险资产组合下面的数据可用于第 1至第8题： 一位养老基金经理正在考虑三种共同基金。第一种是股票基金，第二种是长期政府债券与公司债券基金，第三种是回报率为 8% 的以短期国库券为内容的货币市场基金。这些风险基金的概率分布如 下：名 称期望收益率(% )标准差(% )股票基金(s)2030债券基金(b)1215基金回报率之间的相关系数为0.10。1. 两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少？这种资产组合回报率的期望值与标准差 各是多少？2. 制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投资比率从 0%到100%，按照20%的幅 度增长。3. 从无风险回报率到机会集合曲线画

2、一条切线，你的图表表现出来的最优资产组合的期望收益与标准差各是多少？4. 计算出最优风险资产组合下每种资产的比率以及期望收益与标准差。5. 最优资本配置线下的最优酬报与波动性比率是多少？6. 投资者对他的资产组合的期望收益率要求为 14%，并且在最佳可行方案上是有效率的。a. 投资者资产组合的标准差是多少？b. 投资在短期国库券上的比率以及在其他两种风险基金上的投资比率是多少？7. 如果投资者只用两种风险基金进行投资并且要求 14%的收益率，那么投资者资产组合中的投资 比率是怎样安排的？把现在的标准差与第 6题中的相比，投资者会得出什么结论？8. 假设投资者面对同样的机会集合，但是不能够借款。

3、投资者希望只由股票与债券构成期望收益率为24%的资产组合。合适的投资比率是多少？由此的标准差是多少？如果投资者被允许以无风险收 益率借款，那么投资者的标准差可以降低多少？9. 股票提供的预期收益率为18%，其标准差为22%。黄金提供的预期收益率为10%，标准差为30%。a. 根据黄金在平均收益率和波动性上的明显劣势，有人会愿意持有它吗？如果有，请用图形表示这样做的理由。b. 由上面的数据，再假设黄金与股票的相关系数为 1，重新回答a问题。画图表示为什么有人会 或不会在他的资产组合中持有黄金。这一系列有关期望收益率、标准差、相关性的假设代表 了证券市场的均衡吗？10. 假设证券市场有很多股票，股

4、票 a与股票b的特性如下：股票期望收益率(% )标准差(%)a105b1510相关系数=-1假设投资者可以以无风险收益率 rf贷款。则rf的值为多少 (提示：设想建立股票 a与股票b的无风险 资产组合)？11. 假设所有证券的期望收益率与标准差为已知 (包括无风险借贷利率)，这种情况下所有投资者将 会有同样的最优风险资产组合(正确还是错误？)。12. 资产组合的标准差总是等于资产组合中资产的标准差的加权平均(正确或错误？)。13. 假设投资者有一个项目：有 70%的可能在一年内让他的投资加倍， 30%可能让他的投资减半。 该投资收益率的标准差是多少？14. 假设投资者有100万美元，在建立资产

5、组合时有以下两个机会：a. 无风险资产收益率为 12%/年。b. 风险资产收益率为30%/年，标准差为40%。 如果投资者资产组合的标准差为 30%，那么收益率是多少？下面的数据可用于第 15至第17题：h&a公司为多经理管理的 w养老基金管理着 3 000 万美元的股票资产组合。 w养老基金的财务副 主管杰森琼斯 (jason jones) 注意到h&a在w养老基金的六个股票经理人中持续保持着最优的记录。 在过去的5年中有4年h&a公司管理的资产组合的表现明显优于标准普尔 500指数，唯一业绩不佳的一 年带来的损失也是微不足道的。h&a公司是一个“倒行逆施”的管理者。该公司尽量避免在对市场的

6、时机预测上作任何努力，它 把精力主要放在对个股的选择上，而不是对行业好坏的评估上。六位管理者之间没有明显一致的管理模式。除了 h&a之外，其余的五位经理共计管理着由 150种以上的个股组成的2.5亿美元的资产。琼斯相信h&a可以在股票选择上表现出出众的能力，但是受投资的高度分散化的限制，达不到高 额的收益率。这几年来， h&a公司的资产组合一般包含 4050 种股票，每种股票占基金的 2% 3%。 h&a公司之所以在大多数年份里表现还不错的原因在于它每年都可以找到 10到20种获得高额收益率的 股票。基于以上情况，琼斯向w养老基金委员会提出以下计划：让我们把h&a公司管理的资产组合限制在 20

7、种股票以内。 h&a公司会对其真正感兴趣的股票投入加倍 的精力，而取消其他股票的投资。如果没有这个新的限制， h&a公司就会像以前那样自由地管理资产组合。 基金委员会的大多数成员都同意琼斯的观点，他们认为 h&a公司确实表现出了在股票选择上的卓越能力。但是该建议与以前的实际操作相背离，几个委员对此提出了质疑。请根据上述情况回答下列问题。15. a. 20 种股票的限制会增加还是减少资产组合的风险？请说明理由。b. h&a公司有没有办法使股票数由 40种减少到20种，而同时又不会对风险造成很大的影响？ 请说明理由。16. 一名委员在提及琼斯的建议时特别热心。他认为如果把股票数减少到 10种，h&

8、a公司的业绩将会更好。如果把股票减少到 20种被认为是有利的。试说明为什么减少到 10种反而不那么有利了(假设w养老基金把h&a公司的资产组合与基金的其他资产组合分开考虑 )。17. 另一名委员建议，与其把每种资产组合与其他的资产组合独立起来考虑，不如把 h&a公司管 理的资产组合的变动放到整个基金的角度上来考虑会更好。解释这一观点将对委员会关于把 h&a公司 的股票减至10种还是20种的讨论产生什么影响。下面的数据可以用于第18到第20题：股票之间的相关系数如下： corr(a，b)0.85；corr(a，c)0.60；corr(a，d)0.45。每种股票 的期望收益率为8%，标准差为20%

9、。18. 如果投资者的全部资产现在由a股票组成，并且只被允许选取另一种股票组成资产组合，投资 者将会选择(解释投资者的选择)：a. bb. cc. dd. 需要更多的信息19. 第18题中的回答会使得投资者的风险承受能力更大还是更小？请解释。20. 假设投资者除了可以多投资一种股票外，还可以投资于短期国库券，短期国库券的收益率为8%。投资者对第18、第19题的答案会改变吗？21. 下面哪一种资产组合不属于马克维茨描述的有效率边界？选择资产组合期望收益(%)标准差(%)aw1536bx1215cz57dy92126. a、b、c三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相关系数

10、。根 据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：名称abc股票a+1.0股票b+0.9+1.0股票c+0.1-0.4+1.0a. 平均投资于a，b。 b. 平均投资于a，c。 c. 平均投资于b，c。 d. 全部投资于c。27. a、b、c三种股票的统计数据如下表：股 票 收益标准差abc0.400.200.40收益相关系数abc1.000.900.501.000.101.00收益标准差股票a b c仅从表中信息出发，在等量a和b的资产组合和等量b和c的资产组合中作出选择，并给出理由。 下表为第28、第29题中所需的年收益率(10年为基准)：(单位：%)名 称20304050607080901

11、987年代年代年代年代年代年代年代年代1996年大公司股票6.98-1.25 9.1119.41 7.845.9017.607.6415.30 小公司股票-1.517.2820.6319.0113.728.7512.468.0511.11 长期政府债券1.574.60 3.590.26 1.146.6311.506.79 9.31 中期政府债券1.493.91 1.701.11 3.416.1112.015.60 8.23 短期国库券1.410.30 0.371.87 3.896.29 9.002.92 5.48 通货膨胀率-0.40-2.04 5.362.22 2.527.36 5.101.

12、99 3.68 19261929年。 19901996年。 资料来源：表 5-2中的数据。28. 将上表数据填入电子数据表，计算各类资产收益率和通胀率的序列相关系数，以及和各类资 产之间的相关系数。说明计算数据所揭示的内容。29. 将表中的10年期收益率转化为年收益率，重复第28题中的计算和分析。答案：1. 机会集合的参数为e(rs)=20%，e(rb)=12%， s=30%， b=15%， =0.10根据标准差和相关系数，我们可以推出协方差矩阵 注意cov(rs，rb)=s b：债券股票债券22545股票45900最小方差资产组合可由下列公式推出：222wmin(s)=b -cov(b，s)

13、/ s+b -2cov(b，s)=(225-45)/(900+225-245)=0.173 9wmin(b)=0.826 1最小方差资产组合均值和标准差为：e(rmin)=0.173 9 20+0.826 112=13.39%2222min =w ss+w bb+2wswb cov(s，b)1/2=0.173 92900+0.826 12225+20.173 9 0.826 1 451/2=13.92%2.股票(%)债券(%)预期收益率标准差0.00100.0012.0015.0017.3982.6113.3913.92最小方差20.0080.0013.6013.9440.0060.0015.

14、2015.7045.1654.8415.6116.54切线资产组合60.0040.0016.8019.5380.0020.0018.4024.48100.000.0020.0030.003.投资机会集切点最小方差cml风险资产 的有效边界e(r)图形近似点：最小方差资产组合13.4%13.9%切线资产组合15.6%16.5%4. 最优风险资产组合中的股票的比例由下式给出：222ws=e(rs)-rfb-e(rb)-rfcov(b, s)/e(rs)-rfb+e(rb)-rfs-e(rs)-rf+e(rb)-rf cov( b, s)=(20-8)225-(12-8)45/(20-8)225+(

15、12-8)900-20-8+12-845=0.451 6wb=0.548 4 最优风险资产组合的均值和标准差为： e(rp)=0.451620+0.548 412=15.61%p=0.451 62900+0.548 42225+20.451 6 0.548 4 451/2=16.54%5. 最优资本配置线的酬报与波动性比率为e(rp)-rf/ p=(15.61-8)/16.54=0.460 16. a. 如果你要求你的资产组合的平均收益率为 14%，你可以从最优资本配置线上找到相应的标准 差。资本配置线的公式为：e(rc)=rf +e(rp)-rf/ p c=8+0.460 1 c令e(rc)

16、等于14%，可以求出最优资产组合的标准差为 13.04%。b. 要求出投资于国库券的比例，我们记得整个资产组合的均值为 14%，是国库券利率和股票与债券的最优组合 p的平均值。让y表示该资产组合的比例，在最优资本配置线上的任意资产组合的均值为：e(rc)=(l-y)rf+ye(rp)=rf+ye(rp)-rf=8+y(15.61-8)令e(rc)=14%，可求出：y=0.7884，1-y=0.211 6，即国库券的比例。 要求出我们对每种基金投资的比例，我们用 0.788 4乘以最优风险性资产组合中的股票和债券的 比例：整个资产组合中股票的比例=0.788 4 0.451 6=0.356 0整

17、个资产组合中债券的比例=0.788 4 0.548 4=0.432 47. 仅用股票基金和债券基金来构造均值为 14%的资产组合，我们必须求出投资于股票基金的适当 比例ws，而wb=1-ws即投资于债券基金的比例。资产组合的均值为：14=20ws+12(1-ws)=12+8ws有：ws=0.25因此，投资比例分别为25%投资于股票，75%投资于债券。资产组合的标准差为： p=(0.252900+0.752225+20.250.7545)1/2=14.13%。 与用国库券和最优资产组合构造的资产组合的 13.04%的标准差相比，这一结果是相当大的了。8. 在没有机会借钱的情况下，你想构建一个均值

18、为 24%的资产组合。因为这超过了股票的 20%的 均值，你必须卖空债券，债券的均值为 12%，使用卖空收入来买入额外的股票。在下图中的 q点即是你 的风险性资产组合的图形表示。无风险资产机会集qp标准差(%)投资机会集rqcml切点最小方差风险资产 的有效边界点q是均值为24%的股票/债券组合。用ws表示股票的比重， 1-ws表示债券的比重，则有：24=20ws+12(1-ws)=12+8wsws=1.50，1-ws=-0.50因此，你必须卖空等于你全部资金的 50%数量的债券，并将是你全部资金的 1.50倍的资金投资于 股票。该资产组合的标准差为：q=1.502900+(-0.50)222

19、5+2(1.50)(-0.50)451/2=44.87%如果你允许以8%的无风险利率借钱，达到24%的目标的方法就是，将你的资金 100%地投资于最优 风险性资产组合，即在下图中，投资点从资本配置线上向外移动至右边的 p点，向上到r点。r是最优资本配置线上的点，其均值为 2 4 %。使用最优资本配置线的公式可以求出相应的标准差：e(rc)=8+0.460 1 c=24令e(rc)=24，有： c=34.78%，这要比你不能以 8%的无风险利率借款情况下的标准差 44.87%要小得多。在最优资本配置线上的 r点的资产组合的组成是怎样的呢？在资本配置线上任意一资产组合的均 值为：e(rc)=rf+

20、ye(rp)-rf这里y是投资与最优风险性资产组合p的比例，rp是该资产组合的均值，等于15.61%。24=8+y(15.61-8)y=2.102 5这意味着你在资产组合p中每投入1美元自有资金，你将再另外借入1.102 5美元，并将其也投入到 资产组合p中。9. a.最优cal股票p黄金标准差(%)即便看起来股票要优于黄金，黄金仍然是一种极富吸引力的资产，可以作为资产组合的一部分来持有。如果黄金和股票之间的相关性足够低，它将被作为资产组合最优切线资产组合中的一个元 素持有。b. 如果黄金与股票的相关系数为+1，则不持有黄金。最优的资本配置线将由国库券和股票构成。 因为股票和黄金的组合的风险

21、/收益集合将画出一条负斜率的直线 (见下图)，则股票资产组合 将优于它们。当然，这种情况不会永远持续下去。如果没有人想要黄金，则金价会下跌，它 的预期收益率就会上升，直至它成为一种富于吸引力的值得持有的资产。股票黄金rf标准差(%)10. 因为a和b完全负相关，所以可以构建一个无风险的资产组合，它的收益率在均衡条件下等于 无风险利率。要求出该资产组合的构成比例 (wa投资于a，wb=1-wa投资于b)，令标准差等于零。由于 完全负相关，资产组合的标准差简化为p=abswa a-wb b0=5wa-10(1-wa)wa=0.666 7该无风险资产组合的预期收益率为：e(r)=0.666 710+

22、0.333 315=11.67%因此，无风险利率也应该是11.67%。11. 错。如果借款利率不等于贷款利率，则视个人的偏好而定 (也就是他们的无差异曲线)，借款者 和贷款者可能有不同的最优风险资产组合。12. 错。资产组合的标准差等于各构成成分的标准差的加权平均值只有在所有资产都完全正相关 的特殊情况下才成立。否则，如资产组合的标准差公式所示，资产组合的标准差要小于其构成成分的 各资产的标准差的加权平均值。资产组合的方差则是协方差矩阵中各元素的加权和，权重为资产组合 中所占的比例。13. 概率分布为概率收益率(%)0.71000.3-50均值=0.7100+0.3(-50)=55% 方差=0

23、.7(100-55)2+0.3(-50-55)2=472 5 标准差=4 725 1/2=68.74%14. p=30=y =40y y=0.75e(rp)=12+0.75(30-12)=25.5%15. a. 将资产组合限制在 20种股票而不是 4050种股票将增加资产组合的风险，但是可能增加得 并不多。如果，例如， 50种股票都有相同的标准差 ，且两两之间的相关性都相同，即相 关系数 相同（两两之间的协方差为2)，则一个等权数的资产组合的方差为 (见附录 8a， 式8a-4)：2p=(1/n) 2+(n+1)/n2第二项中 n的减少造成的影响可能相当小 (因为49/50接近于19/20，且

24、2比 2小，但是第一项的字母系数为20而不是50。例如，如果 =45%且 =0.2，则50只股票的标准差为20.91%，当仅 有20只股票时，标准差将上升到 22.05%。如果预期收益率增长得足够多，这个增长是可以接 受的。b. h&a公司可以通过确保它在其资产组合中的 20种股票，以相当的分散性来控制风险的上升， 这要求在剩余的股票间维持一较低的相关性。例如，在 (a)部分中， =0.2，资产组合风险的 增长是很小的。在实际中，这意味着 h&a公司需要将其资产组合分散到很多个行业上；仅 仅集中在少数一些行业将会导致被囊括进来的股票间具有较高的相关性。16. 由于分散化而减少风险的收益不是资产

25、组合中证券数量的线形函数。相反，来自新增的分散化 的边际收益在你求最小分散化时是最重要的。将 h&a公司的投资限制在10种而不是20种，使得它的资 产组合增加的风险，要比从30种降为20种大得多。在我们的例子中，将股票数量限制在10种将使标准差 增加到23.81%。从20种股票变为10种股票导致的标准差1.76%的增长要大于从50种股票变为30种而导致 的1.14%的标准差的增长。17. 这一点很有意义，因为委员会会考虑整个资产组合的波动性。因为 h&a公司的资产组合仅仅 是6个充分分散化的资产组合中的一个且小于平均值，集中于少数几种证券对于整个基金的影响是很 小的。因此，让它去做股票选择工作

26、可能更有利。18. c. 直觉上，我们注意到既然所有的股票都有相同的预期收益率和标准差，我们希望选择可以 使风险最小的股票。即与股票a的相关性最小的股票。更一般地说，我们注意到当所有的股票有相同的预期收益率时，对任一风险厌恶投资者的最优资 产组合是整个方差最小的资产组合 (g)。当限制在a和另一种股票之间时，目标即为找到包含 a的任意 两种股票组合的g，选择具有最小方差的那一个。两种股票， i和j，在g中的权重为：222wmin(i)=j -cov(i，j)/ i +j -2cov(i，j )wmin(j)=1-wmin(i) 因为所有的标准差都等于20%， cov(i，j)=i j =400

27、 wmin(i)=wmin(j)=0.5直觉的结果是有效组合边界定理的应用，也就是整体方差最小的资产组合与其他任何处于有效组 合边界上的资产的协方差都相同且等于它自身的方差 (否则，增加分散化将进一步减少方差 )。在这种 情况下，g(i，j)的标准差简化为：min(g)=200(1+ (i，j)1/2这使我们直接地推出了直觉的结果，即理想的加入股票是与 a的协方差最小的股票，也就是 d。 最优的资产组合比例是等比例地投资于 a和d，而标准差为17.03%。19. 不变，至少只要他们不是风险偏好者。风险中性投资者不会在乎他们所持有的资产组合，因 为所有的资产组合的收益率都是8%。20. 不变。当

28、收益率为8%时，风险资产处在有效边界上。因此，最优资本配置线从无风险利率到g。这里最好的g也具有最小的方差。和通常一样，最优的整体资产组合视风险厌恶程度而定。21. d。资产组合y是无效率的。因为另一种资产组合要优于它。例如，资产组合 x就有更高的预期 收益率和更低的标准差。27. 我们不知道预期收益是多少，因此我们只考虑减少波动性。资产组合 c和a有相等的标准差， 但是组合c和组合b的协方差比组合a和组合b的协方差要小，因此由 c和b组成的资产组合的总体风险 要小于由a和b组成的资产组合。28. 重新排表(将行变为列)，计算相关系数，得下表。年代大公司 股票小公司 股票长期公司 债券长期政府 债券名义利率中期政府 债券国库券通胀206.98%-1.51%2.05%1.57%1.49%1.41%-0.40%30-1.25%7.28%6.95%4.60%3.91%0.30%-2.04%409.11%20.63%2.70%3.59%1.70%0.37%5.36%5019.41%19.01%1.0