射影定理的证明

1、精品资源射影定理的推导证明直角三角形射影定理证法可以只用勾股定理来证明。cd2=ad bd;aca2=ab ab;bca2=bb ab;acx bc=ab cd射影定理（2张）证明：cda2+ada2=aca2,cda2+bda2=bca2 2cda2+ada2+bda2=aca2+bca2 2cda2=aba2-ada2-bda2. 2cda2=(ad+bd)a2-ada2-bda2 2cda2=ada2+2adbd+bdaada2-bda2 2cda2=2ad bdcda2=ad bdcda2=ad bd(已证)cda2+ada2=adbd+ada2：aca2=ad(bd+ad) .aca

2、2=adab bca2=dca2+bdahdca2+bda2=adbd+bda2=(ad+bd)bd=ab bdbca2=ab bd saacb=1/2ac bc=1/2ab cd1/2acx bc=1/2ab cdacx bc=ab cd欢迎下载证法二用三角函数证明直角三角形中的射影定理由等积法可知：abx bc=bd ac在 rtaabdf口 rtaabc, tan / bad=bd/ad=bc/ab故abx bc=bd(ac两边各除以tan / bad得：ab2=ax ac 同理可得 bc2=cd ca在 rtaabd口 rtabcdtan / bad=bd/ad cot / bcd=c

3、d/bd又tan/badfotz bcd故 bd/ad=cd/bd得 bd2=ax cd任意三角形射影定理内容任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：则有 abc勺三角是a b、c,它们所对白边分别是a、b、c,a=b - cosc+c cosb,b=c - cosa+a - cosc,c=a - cosb+b - cosao注：以“ a=b cosc+c cosb”为例，b、c在a上的射影分别为 b - cosc、c - cosb,故名射影定理。定理证明证明1:设点a在直线bc上的射影为点d则ab ac在直线bc上的射影分别为bd cd且 bd=c- cosb, cd=b- cosc a=b

4、d+cd=b cosc+c - cosb同理可证其余射影定理的推广证明证明2:使用正弦定理证明证法 b=asinb/sina ,ssinbc=asinc/sina=asin(a+b)/sina=a(sinacosb+cosasinb)/sina=acosb+(asinb/sina)cosa=a - cosb+b - cosa.同理可证其余。证法:在 abc . sina=sin(180 -a)sina=sin(b+c)sin a = sinbxcosc + sinc xcosb *根据正弦定理，可得a = bx cosc + c x cos bo同理可证其余。欧几里得面积射影定理定理内容欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即cos =s 射影/s 原）。”cos0 =oringnal（平面多边形及其射影的面积分别是altitudc和cringnal,它们所在平面所成的二面角为）正射影二面角的欧几里得射影面积公式证明思路因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度 是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图 形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角 三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边