东北师大附中高三4月模拟考试理科数学试卷

1、精品资源东北师大附中2013届高三4月模拟考试理科数学本试卷分为第i卷(选择题)和第ii卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 .答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。2 .选择题使用2b铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，

2、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第i卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1 .已知集合 a=x|x| 0时，函数f (x) =(x2 2ax)ex的图象大致是2222xyxy10 .已知椭圆 =十三=1(a b 0)与双曲线tummaonao)有相同的焦点(c,0)和(c,0)abmn、,2c.2,若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率、3d .313211 .已知函数f(x)= x +(1b)x a(b3)x+b2的图象过原点，且在原点处的切线 3一、一 x-av - 0 22斜

3、率是-3,则不等式组 0,对任意x 0不等式f(x)g(x)21恒成立，求实数a的取值范围。422 .(本小题满分10分)选彳4 - 1：集合证明选讲bc如图，ab为。o的直径，过点 b作。o白oc交。于点e, ae的延长线交 bc于点d。(1)求证：ce2 = cd cb;(2)若 ab = bc = 2,求 ce 和 cd 的长。23.(本小题满分10分)选彳4 - 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，已知点p(0,j3),曲线c的参数方程为|x = j5coscp (。为 y = . 15 sin ;参数)。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为一 回

4、i - o入 冗2cos(-)6(1)判断点p与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与直线c的两个交点为a、b,求| pa| 1 pb |的值。24.(本小题满分10分)选彳4 - 5:不等式选讲设函数 f(x) =|2x7|+1。(1)求不等式f (x)日x 1|的解集；(2)若存在x使不等式f(x)eax成立，求实数a的取值范围。2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)bccdc bbaba二.填空题（本大题共 4小题,14113. 214.24三.解答题（本大题共6小题, 1

5、7.（本题满分12分）3 斛：（i） cosc = ,，sin c4m a c 1 1, , sin a sinc sinbc每小题5分，共20分）15.316.（e，：:）共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）=,ih2-4214sin a = 11684（n） ；c2 =a2 b22abcosc,. 2=1 b2 -b,. 2b23b2=0,. b = 2 |92s abc ab sin c = - 1 2 =川 12 224418 .（本题满分12分）解：（i）1000m5% =50,由甲图知，甲组有 4+10+8+4+2+1+1 = 30 （人），乙组有20人.又. 40

6、m 60% =24,识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于 60%的在甲组中有1人乙组有（0.0625 +0.0375）父4父20=8 （人）（1 8）-5% =180即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人.|4（n）由乙图知，乙组在 12,24）之间有（0.025+0.025+0.075）父4父20=10 （人）在20,24）之间有 0.075 父 4m 20 = 6 （人）p（x =0）=警c10130c2c1p（x =1）=cc6c1010p（x=2）窄c10. x的可能取值为0,1,2,3|6x的分布列为x01231311p3

7、01026p(x =3)=cw13119数学期望 e(x) =0k +1m +2m+3m= .|103010265(id)参考答案：甲组学生准确回忆音节数共有：2 4 6 10 10 8 14 4 18 21 22 1 26 1=288个故甲组学生的平均保持率为工”8 = 1 9.6=0.24403040乙组学生准确回忆音节数共有：(6 m0.0125+10m0.0125+14m0.025+18m0.025+22 父0.075+26 父0.0625+ 30 父0.037 父 4 =432 个故乙组学生平均保持率为 432 1 21.6=0.54.0.24402040所以临睡前背单词记忆效果更好

8、.川12,(只要叙述合理都给分)19 .解：方法一：(i)取 ae 中点 p ,连接 pm ,pn , ； ae 1 be, mp / be 二 mp _l ae又；bc _l 平面 abe , ae u 平面 abe，二 bc _l ae又j. np _lae,又nppmp =p,np,mp u 平面 pmnj.ae_l 平面 mnp, ：mnu 平面 mnp.ae _ mn |l|4(n)过m作mk _l ne于k ,连接kp/ mp -lae, ad / bc,，ad _l 平面 abe ,又 p pm u 平面 abe ,二 ad 1 pm 又 adpae = apm , 平面 ade

9、 . pm , de二 pm _l ne ,又 mk .l ne,mk imp =m ,j. ne，平面 pmk , n ne 1 pkj.二面角/pkm为二面角m-en -a的平面角|i|8h1在 rt mpk 中，pm =一 be 21 pe pk3= pk =2 , de ad4,km = .pk2 pm16 4421 .cos. pkm =. 21 .面角的余弦值为 |l|12方法二:(i)b bc _l 平面 abe, bc u 平面 abcd ,平面abe _l平面abcd过b作bq _l平面abcd ,则bq二平面abey轴，z轴建立空间直角坐标系4ab =2以ba,bc,bq分

10、别为x轴,1a（2，。,。），b（。,。,。）,. m（1，0，0），d（2,1，0），e（-，0，11 ,313、3mn=(4，27 4丁丁)(n)个法向量mn1 ae = -3 0 3 = 0. mn-ae|i|4mn113巧，2，r1 _3）,设n =（k,w，zi）为平面mne的一.3z| 二。4七二。4=-1为满足题意的一组解 二n = （1,-1,zi 二33 1 3an =( ,-,), ae4 2 432,0,设m = (x2,y2, z2)为平面ane的一个法向量x2 - 14 y2 = 0为满足题意的一组解，z2 = j3313 cx2、2 4=04 2 243.3八-x2

11、7-z2 =022a m = (1,6, 137cos m, n 之217,21 .面角的余弦值为 川12720.解：(i )不妨设bfi bf2 =fi(-c,0), f2(c,0),bi(0,b), |而 bf7|=2b =2,. b=1 |1-c2 b2 = 2c=、3, a =2 |l|32所以椭圆方程为y2 =1 |1|4 4(n)当直线li与x轴重合时,设 a(2,0), b(2,0), c(1,立)，d(1, 立)则ac db =31+ =151115*22224当直线1i不与x轴重合时，设其方程为 x=my+1,设a(x1,y1),b(x2,y2)x = my+1 ,n 22x

12、2 + 4y2=4 倚(m+4)y +2my 一 3=0,y1+y2- 2m二m,y1y-3hi6ac db =(mc -ma) (mb -md) = mc md - ma mbma =(x 1,y1)=(my1,y),mb =& - 1,y2) =(my2,yz)2 八23(m1)-ma mb = -(m1)y1y2 二m2 4由l2与1i垂直知：mc md3(1 -m2)1 4m2ac db - -mc md -ma mb3(m2 1) 3(1 - m2)15(m2 1)2|l|10= r =m2 41 4m2(m2 4)(1 4m2)15(m2 1)212 5m2 +5 ：5 2 )当且

13、仅当m=1取到=”.t 12综合，(ac db)min =111125,、，、，, a -1，21.解：(i ) g(x)l= n xfx ( )l= nxa( x+) m1 恒成立，xg(x) w1 恒成立即 g(x)max 0 , g (x)在(0,1)单调递增， a当xw(1,+8), gx)0, g(x)在(1,收)单调递减，则 g(x)max =g(1)1= -2a -1 ,符合题意.即g(x)w1恒成立，实数a的取值范围为a 21 ；巾6/2，、，、1 a -1-axx a -1( - ax a -1)(x- 1)方法二：g(x)= a + =2=2,川 2x xxx(1)当 a=

14、0 时，g(x)=q, xw(0,1), gx)0, g(x)在(1,收)单调递增，则 g(x)min =g(1) = 1,不符题意；，,、 1 ， 八ax -(-1)(x -1)(2)当 a 0 0 时，g(x)=a；)(x-) =-a=。= x=1,x = -1+-,xxa1若 a 0 , 1+10, x (0,1) , g(x)0, g(x)单调递增，贝u g(x)mx =g(1)=12a1,矛盾，不符题意；川 4若a a 0 ,411.1.(i)右 0 1,x= (0,1), g (x) 0；2 aa11xw(_1+ , +空内 x ) 0 g(x)在(0,1)单调递减，g(x)在(1

15、,-1+ )单 aa1 倜递增，g(x)在(-1 +-,+)单调递减，g(1) = 12a a0不符合题意；a41-(n)若2=一时，xw(0,+8), g(x)w0, g(x)在(0,口)单调递减， 2g(1)=1_2a=0,不符合题意., 、什 1c ,11.1(出)右 a1, 0 -1 +- 1 , x 之(0,1+-)，g (x)0, xw(1,y), g(x)1,与已知矛盾不符 a题意.1(w)若 a a 1 ,+40, x=(0,1), g(x)0, g(x)在(0,1)单调递增； a当 xw(1,依)，g(x)0,g(x)在(1,g)单调递减，则 g(x) ag(1) = 1 -

16、2a -1 ,符合题意；综上，得g(x) 1 |6(n )由(i)知，当 a =1 时，有 ln x ex 1, x 0 ；于是有 ln(1 十x) e x , x -1 .|8,1 -1.则当 x0时，有 一ln(1)1x u n(1x x 1p 1x x e |10* x1 11*在上式中，用1, 一, j |,4(nw n )代换x ,可得2 3 n2 e,(3)2 e,(4)3 e,lll,(n1)n e相乘得(n + 1) enu n+1 /5.ce=oc-oe= 75-18 分由（i）ce2 = cd?cb彳#（新1）2=2cd .cd = 3 - 75 10 分23.（本题满分1

17、0分）选修4 4:极坐标与参数方程解：（1）直线l :2pcos（日2）=j3即j3pcos日+psin0 = j3二直线l的直角坐标方程6为技+ y=j3,点p在直线l上。|“51x = -t22（2）直线1的参数方程为22 l （t为参数），曲线c的直角坐标方程为 上+l =-3515y = 3 -t2将直线l的参数方程代入曲线 c的直角坐标方程，13有3（t）2 +（73 + t）2 =15,t2 +2t8 = 0,设两根为 t1上， 22.pa pb t2 i 8 =8|1024.（本题满分10分）选修4 5:不等式选讲设函数 f（x） = 2x7|+1.（1）求不等式f （x） e x -1的解集；(2)若存在x使不等式f(x)eax成立，求a的取值范围.解：(1) 2x -7 +1 |x -1当 x 1 时，一(2x7) +1 7a x不存在当 1 ex w7 时，(2x