交通系统工程教学讲义

1、第五章 交通系统动态控制我们知道，世界绝大部分系统尤其是交通系统，都是动态系统，而且很多是动态反馈系统，不断的反馈使系统的输出与理想输出之间的误差越来越小，成为使系统能够按照理想的输出予以实现，来完成我们的目标，这就构成了系统的控制。交通系统大部分为人造动态系统，构造的交通系统可控性能与目标优化成为我们的中心任务，只有实现这些，才能使交通系统按照我们的目标予以实现，同时投入最小或产出最大。因此需要对交通系统的控制进行专门研究。首先用一个简单例子来说明运用状态空间法建立动态系统控制的优化模型过程。mgxu图5.1.1. 快速降落问题假定有一控制器可以控制物体m垂直上升和降落，见图5.1.1。设m

2、的质量为1，受重力g的作用，该控制器对m的垂直作用力为u(t)，u(t)的最大幅值为k, m可解释为一架直升飞机或矿井的升降机。若已知m在t=t0时离地面高度为x10，垂直运动速度为x20，现在要解决的问题是如何确定控制作用力u(t)，使m最快的达到地面，并且达到地面时速度为零。解：假定x(t)以地面向上为正，作用力向上为正，得到运动方程：d2x/dt2=u(t)-g(t)令x=x1,=x2,得状态方程： 1 0 1 x1 0 = + （u-g） 2 0 1 x2 1 初始条件： x1 (t0) x10 = x2(tf) x20控制约束： |u(t)|k性能指标则表示为： j=tf-t0于是问

3、题就可归结为求满足控制约束u(t)，使系统从初始状态转移到终止状态所需的时间最小.这里再以城市单一交叉路口动态系统优化控制模型为例来近一步说明交通动态系统优化控制的基本概念。交通控制是通过安装在路口的信号灯来控制车流的有序运动，以达到提高通行能力的目的。其控制方案主要包括参数有：(1)信号周期：路口的各个相位是按顺序切换的，一次循环称为一个信号周期。(2)绿信比：对一个相位，其绿灯持续时间与周期长度之比。对于某个特定相位的车辆，绿信比决定了其在路日的等待时间。(3)绿灯时间：路口某相位绿灯持续的时间。(4)相位差：相邻路口同方向的相位，绿灯开始时刻的时间差。(5)绿灯间隔时间（黄灯时间）：相邻

4、相位从一个相位结束到下一个相位绿灯的开始之间的时间间隔，其目的是腾空路口，避免不同相位车辆间的冲突。(6)最短（长）绿灯时间：各相位规定的绿灯时间的下（上）限值。其控制目标和约来为：信号控制交叉路口的运行效率一般由四个基本指标来衡量，即通行能力、饱和度、延误时间和停车次数。控制效果就是寻求最大的通过能力，最低的饱和度，使道路上车辆的延误时间和停车次数最少。另外，有时还要考虑其他参数，如最大等待队长，耗油量等。在来往各个相邻路日距离比较短的时候，为了不使下游路日的等待队列延续到上游路口，以至影响上游路口，有必要将队列长度作为控制目标。耗油量多少不仅直接影响运行费用的经济指标，同时也决定了尾气排放

5、量和对环境的污染程度，因此，在考虑能源和环境因素时，必须将耗油量作为一个目标。除了上述目标外，控制方案还必须满足约束条件，保证控制方案的可行性，这些约束包括最大（小）绿灯时间，非负约束等。交通流按照其控制的范围，可分为孤立路口控制，主干道控制（绿波带控制）和区域控制等不同层次，也称为点控、线控、面控、孤立路口控制等。我们一般所讲的城市交叉路口控制研究主要是在静态条件下进行的，并没有从控制角度出发去研究交叉路口各项品质指标对控制变量变化的响应，也即设有研究其动态性。然而解决任何控制问题都必须首先解决控制对象的动特性问题。因此要真正实现对交叉路口的有效控制实现真正的交通控制，其动特性是不可回避的问

6、题。对每一交叉路口，将其交通流作为控制对象，通过控制红绿灯信号显示、相位差、绿信比等交通管理部门可以直接控制的动作，来实现通过该交叉路口的车辆单位时间内最多，排队等待车辆最少，等待时间最少。而对于该交叉路口的交通流状态正是该系统的状态，因此我们可以建立交叉路口的非线性动态控制模型为：状态转移方程：x(k+1)=a(0,k)x(k)+b(0,k)u(k)系统输出： y(k)=c(0,k)x(k)系统指标函数：j=minf(y(k)其中：x为状态变量，通常取交通流的流量，速度和密度为描述交通流的状态向量。y为系统输出，y= (l,v,t). l为周期内各红灯相排队车辆的总量单位:辆;v为周期内交叉

7、路口各相通过车辆的总量，单位:辆;t为周期内各红灯相车辆等待时间的总量，单位:秒.u为系统控制变量，u=(c,o,s).c为周期即红绿灯信号显示一周所需的时间，单位：秒; o为相位差，即相邻两个交叉路口同方向或同一相的绿灯起始时间之差,单位:秒;s为绿信比。为便于分析，可以对目标函数纯量化如可采用其形式为 f(y)=a1l(k)+a2t(k)/a3v(k)这里a,b,c分别为系数矩阵。从上述这两个例子，可以看到最优控制问题的一些特点，一般来说，一个最优控制系统包含有以下部分的内容。1.动态系统的数学模型要对一个动态系统实现最优控制，当然必须首先了解对象的运动规律。这种运动规律的数学描述就是教学

8、模型。根据对象的不同特点，数学模型可以有不同的形式。对一个集中参数的连续时间系统，其数学模型的一般形式可以用一阶常微分方程组表示。=fx(t),u(t),t y(t)=px(t),u(t),t对于离散系统可以用离散方式来表示为：x(k+1)=fx(k),u(k),k y(k+1)=px(k),u(k),k该类方程一般称为系统状态方程(或系统动力学方程)和系统输出方程，通称为系统状态空间描述。其中向量x(t)=x1(t),x2(t), xn(t) t称为系统状态向量；向量u(t)=u1(t),u2(t),ur(t)t称为系统控制向量，又称为输入变量；y(t)=y1(t),y2(t),ym(t)t

9、称为系统的输出向量。系统就是通过输入变量改变系统的状态变量，同时产生系统的输出变量。也就是说通过系统的输入变量的不断调整（动态性），使系统的输出变量不断改变为决策者希望的状态，从而达到系统可控的目的。2.系统变量受到的约束。在实际问题中，系统变量x(t)和y(t)、u(t)不仅要满足状态转移方程，还要受到各种各样的约束条件的限制，根据所受约束在t0点、tf点、to,tf区间的不同，约束也不同，分别称为起点约束、终点约束（统称为端点约束）和区间约束，约束若针对状态变量的，我们称为状态约束，若针对控制变量的，我们称为控制约束。约束般可以用如下约束方程来描述：gx(t),u(t),t=0 hx(t)

10、,u(t),t0其中gt=g1,g2,gq，h=h1,h2,hr当上式在t=t0和t=tf成立时，就是端点约束，如果对整个时间区间都成立，那就是区间约束。为了以后叙述方便，我们称满足状态方程，并满足所有端点约束和状态约束的状态轨线x(t)为容许轨线。称满足所有控制约束的控制向量u(t)为容许控制，所有容许控制构成的集会称容许控制集，用u表示。如果容许控制u(t)代入状态方程时所得到的解x(t)为容许轨线，在称x(t),u(t)为一个容许对。显然，如果u*(t)为问题的最优控制解,x*(t)为对应的最优轨线，则u*(t)和x*(t)必定是一个容许对.3.系统的性能指w为了衡量控制系统工作的好坏或

11、者希望以最少的代价取得最佳的控制效果，要根据系统的实际需要提出一个度量标准，这个标准就是性能指标，又称为目标函。所谓最优控制，就是指在性能指标意义上的最优。连续系统的性能指标一般有三种形式：j=(x,t)|tftoj=(x,u,t)dtj=(x,t)|tfto +(x,u,t)dt上述三个指标形式中第一个成为迈耶(mayer)问题，其性能指标是终端、始端时间和状态的函数；第二个指标形式称为拉格朗日问题，是一个积分型性能指标，强调系统过程的指标，应用最广泛；第三个指标形式称为波尔扎问题，它是一个复合型的性能指标，代表更一般情况，这三种性能指标能相互转化。对于离散系统，其性能指标可以表示为：j=l

12、x(k),u(k),k若系统的状态空间可以用线性方式描述，则该系统称为线性系统，其方程为：1=a11x1+a12x2+a1nxn+b11u1+b12u2+b1rur2=a21x1+a22x2+a2nxn+b21u1+b22u2+b2rurn=an1x1+an2x2+annxn+bn1u1+bn2u2+bnrur y1=c11x1+c12x2+c1nxn+d11u1+d12u2+d1rury2=c21x1+c22x2+c2nxn+d21u1+d22u2+d2rur ym=cm1x1+cm2x2+cmnxn+dm1u1+dm2u2+dmrur写成矩阵形式： =ax+bu y=cx+du这是一个多输

13、入（r维），多输出（m维）的线性系统，若系数矩阵与时间有关，即为a(t)、b(t)、c(t)、d(t)，该系统为线性时变系统,与时间无关为线性定常系统。虽然状态空间法描述了系统的动态结构，但对于一个动态系统，尤其是动态交通系统，必须具有其他一些特性才能使系统成为我们希望的系统，它是我们进行交通系统分析、设计与交通系统工程的理论基础。这些基本特性为系统的能控性、能观测性、稳定性。交通系统是一个复杂动态系统，因此动态优化控制的应用覆盖了大部分方面，即大部分交通系统需要建立其动态模型才能真正符合实际与实现其预定目标，如交通控制、项目管理等，这里以交通信号控制为例来予以说明。我们知道beckmann等

14、根据wardrop最优原理建立了交通静态最优分配模型,用它来预测交通网络的流量起到了非常重要的作用，目前这种静态最优分配模型是教学、科学研究和实际应用中的主要模型。但交通系统是动态系统,尤其是城市交通系统的优化控制以及智能交通诱导系统的实施迫切需要采用动态模型,很多学者从事动态交通分配模型的研究,1978年merchant和 namhauser首次提出系统最优分配模型,该模型为离散、非凸非线性规划模型:有人研究了该模型的分段线性形式,并提出了一些求解方法;caray证明了m-n模型最优解的有效性，并将该模型改进为非线性规划问题,以上模型的最大缺点是局限于多个起点、一个终点的简单网络.与上述利用

15、数学规划方法解决动态均衡模型不同，friesz等提出一个应用最优控制原理解决动态均衡模型的新思想，他们将m一n模型改进成一个连续的最优控制问题利用最小值原理获得最优解条件目前很多学者都在利用数学规划方法和最优控制理论研究各种动态均衡模型，这种动态均衡模型利用仿真技术进行求解优化，该领域将成为交通研究领域的一个主要方向这里使用不同的目标函数，提出一个动态多用户均衡分配模型，并利用最小值原理推导、分析该模型的最优解条件，证明了该条件与动态用户均衡条件相一致,该模型可以调控交通网络中的交通流量1.模型考虑交通网络有向图g（n,a），这里n表示节点集,a表示有向孤集即路段集合,a=a:a是路段,n分为

16、起点集、中间节点和终点集三部分，这三部分可以相交.a(k)表示以节点k为起点的所有路段集合,b(k)表示以节点k为终点的所有路段集合,prs由r到s的所有路径集合,sk(t)为t时刻节点上产生的交通流量(已知),ok(t)为t时刻节点k吸收的交通流量(已知).ca(q)为路段a上交通量为q时的路权,即路权函数(已知),该函数是非负、单增、具有二阶导数的凸函数,该函数也称为路阻函数,包含很多因素,如运行时间、安全性、交通费用等,由于运行时间、交通费用较容易测算，一般情况下主要用运行时间或交通费用来代表路权，这里用运行时间来表示路权的具体含义。系统状态变量x(t)=x1(t),x2(t), xs(

17、t)t,xk(t)为t时刻路段a上的交通负荷,s为网络中路段条数。系统决策变量(控制变量)u(t)=u1(t),u2(t), us(t)t,ua(t)为t时刻分配到路段a上的交通流。gaxa(t)为t时刻流出路段a的交通流量，即a的流出函数是非负、单增具有二阶导数的凹函数，对xa(t)0,aa,t0,t.动态用户均衡的定义是wardrop第一原理的推广,在所考虑的时段0,t中的任一时刻t,对于任一od对(r,s),若在r到s的路径上可分配流量，则该路径上的路权应为r到s的最小路权,该路权为动态意义下的路权,根据动态用户均衡的含义,目标也应该为beckmann静态模型目标函数的推广,目标函数为：

18、 min j =ca(q)dqdt系统状态方程:在路段a上的交通量关于t的改变率为流入量与流出量之差。 =ua(t)-gaxa(t) aa,t0,t系统中间方程和约束：(1)在节点k处流量保持平衡, ga(0)=0, aa sk(t)+gaxa(t)=ua(t)+ok(t) k,t0,t(2)设xa(0)=xa0。aa ua(t)0, xa(t)0 aa,t0,t(3)其他约束2.最优解条件上述模型的哈密尔顿函数为: hx(t),u(t),(t)=ca(q)dq+a(t)ua(t)-gaxa(t)其中a(t)为伴随(协态)变量根据ca(q)及gaxa(t)的假设可知哈密尔顿函数是关于xa(t)

19、的凸函数，根据最优控制原理得出最优解的必要条件亦为充分条件。建立拉格朗日函数： lx(t),u(t),(t),(t)=hx(t),u(t),(t)+k(t) sk(t)+gaxa(t)-ua(t)-ok(t) 其中k是拉格朗日乘子由最优控制原理可知：(1) 伴随(协态)方程： -a(t)=caxa(t)-a(t)gaxa(t)+k(t)gaxa(t) =caxa(t)-a(t)-k(t)gaxa(t) ab(k),t0,t (2)边界条件: a(t)=0, aa设x*(t)为最优状态,则关于控制变量的最小化问题为 min lx*(t),u(t),(t),(t) s.t. ua(t)0上式存在最

20、优解的必要条件由 kuhntucker条件可得： =a(t)-k(t)0， aa(k),k,t0,t ua(t)=ua(t)a(t)-k(t)0， aa(k),k,t0,t由上式可以看出对某些k及aa(k),若a(t)k(t),则有ua(t)=0;若a(t)=k(t),则有ua(t) 0，即说明t时刻流入路段a的交通量ua(t)是受到a(t)-k(t)的影响。对于模型中关于控制变量ua(t)的最优解问题，由上式可知ua(t)只可能两种情况:ua(t)=0和ua(t)o,我们不关心ua(t)=0的情形,对ua(t)o，可以求出ua(t)的具体表达式由前知,当ua(t)0，a(t)=k(t)，aa

21、(k),t0,t两边求导可得: a(t)=k(t)，a(t)=k(t)， aa(k),t0,t考虑某个具体路段a=(k,l),k是a的起点,l为a的终点,由伴随(协态)方程可将上式写为： a(t)-l(t)gaxa(t)- caxa(t)-k(t)=0 a(t)-l(t)gaxa(t)+a(t)-l(t)gaxa(t)a(t)-caxa(t)a(t)-k(t)=0将上述整理可得： ua(t)=3.模型最优解的解释上述模型得出最优解满足用户配流动态模型的最优解，符合动态用户均衡的定义首先动态路权是相对于静态路权而言的,在静态均衡模型中使用的是静态路权.ca(q)也仅考虑了路权与交通量的关系,若q

22、给定,则ca(q)就确定,它是一种静态路权.在实际交通网络中,路段上的交通量在不断变化,因此路权也在不断变化,这种变化不仅与交通量大小变化有关，而且受到路段上流出函数以及其他因素的影响，这种随时间变化且受各种因素影响的路权称为动态意义下的路权，简称动态路机由于各种模型所考虑的对路权的影响因素不一样，所以动态路权的定义形式也不一样，这里给出动态路权形式为：定义(动态路权) 在交通网络g(n,a)中,对任意aa,t时刻a路段h的动态路权为： a(t)=ea(t)caxa(t)+da(t)因此交通网络中任一路径q的动态路权为： q(t)=a(t)在该定义中,da(t)为a路段上各种动态因素对路权的影

23、响,ea(t)为a路段上流出函数对路权的影响因子,若da(t)=0,在a上不存在动态因素对路权的影响,流出函数对路权的影响因子为1，则有q(t)=caxa(t),说明定义中的动态路权是静态路权的一种推广形式.考虑某一特定的od对(r,s),设路径qprs q=r=k0,a1,k1,km-1,am,km=sk0,k1,km-1,km表示路径q的m+1个节点,a1,am表示q的m条路段,对任意qprs考虑下面函数: q(t)=caxa(t)+有以下定理定理: 若对某些t0,t,对apprs,uaxa(t)0,ua(t)是用户均衡动态模型的最优解,则p(t)=infq(t)|qprs 证明:由2中的

24、伴随方程可知 q(t)=caxa(t)+ ai(t)-ki(t)由前知ai(t)ki-1(t) ， i=1,2,m可得对任意qprs,有 q(t)ai-1(t)-ki(t)=a0-km=r-s对某些t0,t,模型的最优解为ua0，对任意apprs可知ai(t)=ki-1(t) i=1,2,m可得p(t)= p(t)=infq(t)|qprs ,即定理成立由定理的证明及定义可知,q(t)就是路径上的动态路权,a(t)为动态因素对路权的影响, caxa(t)是a上t时刻的静态路权加动态因素对路权的贡献,a(t)=1gaxa(t)则为a路段上流出函数对路权的影响因子。以上定理说明,当od对(r,s)的p路径上分配流量(ua0)时,这p路径上的动态路权一定是r到s的最小动态路权，即模型的最优解与动态用户均衡原则相一致第六章 交通系统仿真系统尤其是交通系统一般为复杂大系统,建立通过系统分析、系统建模等方法建立的数学模型确定的系统方案只有到实际使用中才能得到检验,可能的任何误差和失误对实际系统都造成无法挽回的损失,必须在实际投入使用和决