高中数学必修2直线和平面所成的角

1、 第二课时第二课时 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 问题提出问题提出 1. 1.直线和平面垂直的定义和判定直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？定理分别是什么？ 定义：定义：如果一条直线与平面内的任如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直与这个平面垂直. . 定理：定理：如果一条直线和一个平面内的两如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面于这个平面. 2. 2.当直线与平面相交时，对于直

2、线当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形，关研究，对于直线与平面不垂直的情形， 我们需要从理论上作些分析我们需要从理论上作些分析. . 知识探究（一）：知识探究（一）：平面的斜线平面的斜线 思考思考1:1:当直线与平面相交时，它们可当直线与平面相交时，它们可 能垂直，也可能不垂直，如果一条直能垂直，也可能不垂直，如果一条直 线和一个平面相交但不垂直，这条直线和一个平面相交但不垂直，这条直 线叫做这个平面的线叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面，斜线和平面 的交点叫做的交点叫做斜足斜足. .那么过一点作

3、一个平那么过一点作一个平 面的斜线有多少条？面的斜线有多少条？ l P 斜线斜线 斜足斜足 思考思考2:2:过斜线上斜足外一点向平面过斜线上斜足外一点向平面 引垂线，连结垂足和斜足的直线叫引垂线，连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的做这条斜线在这个平面上的射影射影.那那 么斜线么斜线l在平面在平面内的射影有几条？内的射影有几条？ l P AB 思考思考3:3:两两条平行直线、相交直线、条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射影可异面直线在同一个平面内的射影可 能是哪些图形？能是哪些图形？ 思考思考4:4:如图，过平面如图，过平面外一点外一点P P引平引平 面面的两条斜线段

4、的两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、 B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足的垂线，垂足 为为O O，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么OAOA与与OBOB的大的大 小关系如何？反之成立吗？小关系如何？反之成立吗？ PAPBOAOB O P A B 思考思考5:5:如图，过平面如图，过平面内一点内一点P P引平引平 面面的两条斜线的两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜，这两条斜 线段在平面线段在平面内的射影分别为内的射影分别为PCPC、 PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大的大 小关系确定吗？小关系确定吗？ C P A B

5、 D 思考思考6:6:如图，直线如图，直线l是平面是平面的一条的一条 斜线，它在平面斜线，它在平面内的射影为内的射影为b b，直，直 线线a a在平面在平面内，如果内，如果abab，那么直，那么直 线线a a与直线与直线l垂直吗？为什么？反之成垂直吗？为什么？反之成 立吗？立吗？ a l babal 知识探究（二）：知识探究（二）：直线和平面所成的角直线和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一条斜线与这个平面总存平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平

6、面的相对位置关系所确大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？定，那么角的顶点宜选在何处？ l 思考思考2:2:如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜的一条斜 线，线，A A为斜足，为斜足，ACAC为平面为平面内的任意内的任意 一条直线，能否用一条直线，能否用BACBAC反映斜线反映斜线ABAB 与平面与平面的相对倾斜度？为什么？的相对倾斜度？为什么？ C A B 思考思考3:3:反映斜线与平面相对倾斜度反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足，角的一边的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上，另一边在平面内的哪个在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？为什么

7、？位置最合适？为什么？ P A B 思考思考4:4:我们把平面的一条斜线和它在平我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫做面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线这条斜线 和这个平面所成的角和这个平面所成的角. .在实际应用或解题在实际应用或解题 中，怎样去求这个角？中，怎样去求这个角？ P A B 思考思考5:5:特别地，当一条直线与平面垂特别地，当一条直线与平面垂 直时，规定它们所成的角为直时，规定它们所成的角为9090；当；当 一条直线和平面平行或在平面内时，一条直线和平面平行或在平面内时， 规定它们所成的角为规定它们所成的角为0 0. .这样，任何这样，任何 一条直线和一个平面

8、的相对倾斜度都一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映，那么直线与平可以用一个角来反映，那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么？面所成的角的取值范围是什么？ 0 ,90 思考思考6:6:如图，如图，BADBAD为斜线为斜线ABAB与平面与平面 所成的角，所成的角，ACAC为平面为平面内的一条内的一条 直线，那么直线，那么BADBAD与与BACBAC的大小关的大小关 系如何？系如何？ D C A B BACBAC BADBAD 思考思考7:7:两条平行直线与同一个平面两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面

9、所立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？成的角的大小关系如何？ 思考思考8:8:过平面过平面外一点外一点P P引平面引平面的的 斜线，斜足为斜线，斜足为A A，若斜线，若斜线PAPA与平面与平面 所成的角为所成的角为5050，那么点，那么点A A在平面在平面 内的运动轨迹是什么图形？内的运动轨迹是什么图形？ P AO 理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. . （1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角； （2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. . D1 1 A B A1 1 C B1 1 C1 1 D O 例例2 2 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线， B B为斜足，为斜足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为