(全国卷)普通高等学校招生全国统一考试(理数)

1、（全国卷）2012年普通高等学校招生全国统一考试（理数）绝密启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理科）本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择 题）两部分，第i卷第1至2页，第n卷第3至 第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上 交。注意事项:全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项:1 .答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的 准考证号、姓名和科目。2 .没小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。

2、在试题卷上作答无效。 3 .第i卷共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。一、选择题1、复数产=1+za 2+1 b 2-1 c l+2i d 1-2i【解析】#二中*二券i =选c.1 + z (1 + 0(1-/)22、 a, ad【答案】c 已知集合从=13.布, b=1, m ,aub=则m=0或g b 0或31或3【解析1因为力= 所以8口力,所以加=3或小=诟.右 ? = 3,贝!i 3 = 1,3,扬,3 = 1,3,满足 /1u8 = 4.若 m = m 9 解得 5=0或加=1 若町=0 ,贝!| 4 = 1,3,0, l ,

3、 满足ajb = a.4 = 1， a = 1,3,1, 8 = 1,1显然不成立，综上吁。或7 = 3, 选b.【答案】b3椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为b + e=ic 工 +仁=112825r+=i12 4【解析】椭圆的焦距为4,所以2c = 4,c = 2因为准线，所以椭圆的焦点在轴上，且-7,以 a1 = 4c = 8 , b2 =6/2-c2 =8-4 = 4二十 = 1,选 c.84【答案】c,所以椭圆的方程为4 已知正四棱柱abcd-a迅icidi中，ab=2,cc1=2v2 e为cc1的中点，则直线ac1与平面bed的距离为a 2 b v3

4、 c v2 d 1【解析】连结ac,bd交于点。，连结。石，因为。西是中点，所以oe/ac,，且=9 所以 acj/bde , 即直线g与平面bed的距离等于点c到平面bed 的距离，过c做cf loe于f,则b即为所求距离. 因为底面边长为2 ,高为2及，所以 ac = 2fi,oc = &,ce = /i ,oe = 2所以利用等积法得b = l，【答案】d（5）已知等差数列伯力的前n项和为a5=5,s5=15,则数列 的前100项和为仆喘（b）（c）爵（d）器【解析】由s=15 ,得 q = 1/ = 1 ,所以 %1 1 1 11 11111f =- 4】(x)k)i12 2 3100

5、 101101第选4【答案】a（6） aabc中，ab边的高为cd,cb a. j h、ai(a)3飞萨 b=0, lal=l, lbl=2,则而4 (d)5【解析】在直角三角形中,cb = l ca = 2,43 =的，贝1|cd = j ,所以丘e了=曜=3，所以喘=3即 -75v 5 j53通而=为/）=匕，选d. 5555【答案】d（7）已知a为第二象限角， sin a + cos a =(a) 4(b) 4(d)乎【解析】因为sin。所以两边平方得所以2sinacosa = 0 ,因为已知a为l + 2sin oleosa 0cos2a = cos2 a-sin? a = (cos

6、a - sin a/cos a + sin z)= -xe=_e，选 a.33【答案】a(8)已知fi、f2为双曲线c： x2 -y2 =2的左、右焦点，点p在c上，ipf1i=i2pf2i,则coszf1pf2=(a)；(b) |(c)|(d)|【解析】双曲线的方程为= 所以。必=2,因为ipfil=l2pfd,所以点p在双曲 线的右支上，则有ipfmpf2l=2a=2氏所以解得 ipf2i=2v2, ipf11=472,所以根据余弦定理得 *环=迫”33,选c.-2x272x4 及4【答案】c(9)已知 x已n1, y=logs2, 则(a)xyz (b) zxy (c)zyx(d)yzx

7、【解析】最3 z =, 底所以 yz =cosk (owx v2r取得最大值时,【解析】函数为ksinx-v3cosx = 2sin(x ) ,0x c,已知 cos (a-c) +cosb=l, a=2c,求 c.(17)解:由 8三元-(4 + c 得 ccsr = cos(/ c).2 分于是cos(a - c) cqs z? = cos(zl -c) - cos(4 + c) s2sin/fsinc .由已知得sin jsinc=i-6 分2由“ =2c及正弦定理得sinzf =2sim6 .由、得sin： c t l4是 sinc (舍去，或$inc： = l22乂。二2c所以 c=

8、i - a10分(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为菱形, paj_底面 abcd, ac=2&, pa=2, e 是 pc 上 的一点，pe=2ec.(i )证明：pc j_平面bed；(ii)设二面角a pb-c为90 ,求pd与平面 pbc所成角的大小. = 20,打=2,pe = 2ec 故 2 pcs . c=. fc = j2 .太.pc r: ac n: 从而=j6 ,= v6 .fc ec因为/户c = /。，.所以 fc ec4fce s pci . zfec = /ptc = 90 . 由此如 pc 1 ef

9、.pc与平面附外内两条相交“线用t部垂口 所以pci.平面bezx6分（ii ）在平面pab内过点4作ag 1pb. g为乖足.因为二面油,pb-c为9y.所以平面e48l平面pbc.乂平面山八平面*? = /3.故/g.平面pc ag 1 bc .bc与平面pab内两条相交直线pa. ag郃垂直，故3cl平面pab.于是bc1ah,所以底（fti/lpc为诙方形，） = 2.加=268分设。到平面户瓦的距离为d.因为力力/?。，l/c（血防0）,其中）0，则于是pc = (2五.0, - 2). be =(与,瓦 |) de =，-方一 j), 从而 fc-fle = 0,4丽=。， 故 p

10、c 1 be、pci de .又becde=e,所以尸c j.平面。区 6分11j? = （0.0.21机。）.设加= 为平面mh的;上向量.则zn - jp = 0 . m .4/? = 0 即 2: =0 且 2v- m =0.令h .则 m =（a.jz.o）.8 分设”（. pc = 0. 丽=0.h：j 2/2p 2/ = 0 pl/ +- -/ = （）,令 jp = l,则 r=y2, q =* t n p （j j士）.bb因为面巴山上面6c,故e力=0.bpfr- =0w故b二行,于是 b宿=（-、；3-石.2）.cos （ n. z）7*=，-双t - l , i 用 wl

11、 2小/汴二60。.因为尸。与平面prc所就他和5.1点）工余.故pd与平面prc所成的角为30。.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负 方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中甲先发球.（i ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率;(ii )；表示开始第4次发球时乙的得分，求二的 期望.(儿)/(7)= 0.16/0 4 k8，“ 0.4)= 0.3:52,6 分 i

12、p m66：=036.上的可济:取值为01二.5. /4 = 0)； p( 4：/)=，(&)，(“) = 0.36乂0.4 =0.144，(2)=p() = o.352,/(； = =p(d 二i)ob = 0.16x04 =0,096,汽；=i)=】-代=3-=2) -= 3)i - 0,144 - 0.3-52 - 0,096= 0.408,10 分党=0x/(4 =0) =i)+2(2)43xp(匚3)=0.405 +2x0,352+3x0096=1.400 .12 分(20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 设函数 f (x) =ax+cosx, xg0,冗.(i )

13、讨论f (x)的单调性；(ii )设 f (x) wl+sinx,求a的取值范目(20)解:(1 ) /(.y) = a-sinx .2 分(i )当“hi时,/3)川，ii.仅当u = l，时/侪=0，所以/(x)在似时是增函数：(ii )当awo时,/。)忘0，il仅当 =0，x = o或、=兀时,八机0,所以 /(x)在位是减函数；(iii)当 0 “ 1 时.由 / )=。端沟 * = urcsin a . *；二 st - arcsina .当 xww，x)时，sinx 0 , /*)是增函数：或“日出，&)时，sin.r z?. fxx) 0. /。)是给函数，6分2(h )由/(

14、jo於1 + sinx得/(丸) 0 当 xc (arcces一二)时,gx*) 当 0w了；时,一xwsint，cos x i .所以/(t) w i *sinx：(ii ) 当 twaw 汉时./a)(2x$ssrl/g-：)tin(rt)wl*inx.2n穴 22综上，。的取值范围是(-%. .12分兀21.(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答 无效) 已知抛物线c： y=(x+l)2与圆m： (x-1)2+；)2=r2(r0)有一个公共点，且在a处两曲 乙线的切线为同一直线1.(i)求门(ii )设m、n是异于1且与c及m都相切的两条直线，m、n的交点为d,求d至心的 距离.)解:

15、：( )+ l广)对畔。-i求导/尸2(/1).故/的斜率4 = 2( % ：1).当,=1时.不信速卷，所以xjl圆心为.1个，一),的我率父=一一 2% -由r a而知h* = t -2(5+1) 为% = 0 ,枚工(0j) r =| ali|= j(l-0)2 + (i-l):二一.(11)设。.(n lf)为c上一点，则在该点处的切线方程为 y-(r + i): =2(/+ l)(x-r).j = 2(/ -t l)x + 1若该直线与eim相切则!心m到该切线的距离为丁 即i2a + l)x；-r| _石题后)、(一炉2化简得-中6) = 0,解得，o=。，(二2+而，4=2 而，

16、”抛物线c在点(的亿+严)=，1-2)处的切线分别为，?，其方程分别为y = 2/ + i，y = 2 + 1*t +1 .y = 2(f j + l)xt； + 1，-得”号u2将x =2代入御y=-l，故(2.-1).所以d到/的距离|2*2-(-1)刊 6.犷+(川522 （本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无 效）函数f（x）=x2.2x.3,定义数列xn如下：x1=2, xn+1 是过两点 p（4,5）、qn（xn,f（xn）的直线 pqn 与x轴交点的横坐标.（i ）证明：2 xnxi1+l3;（id求数列xn的通项公式. 1 ）用敢学/纳法证明:2 43.t i=1时.玉:2 . it续外的方程为2-4令1二0.解得乩二l!,所以2v七、32分4假设”=七时，结论成支，即2（4v人“v3.汽线pr，的方程为