数形结合思想例题分析

1、数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：2 .22 厂T 0例1已知X、歹、Z、厂均为正数，且X +丁二Z小七一厂求证：rz = xy.精选文档222I 222分析：由炉+厂=匸、自然联想到勾股定理。由z-5/x-r=对可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图)。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。证明：(略)小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的儿何性质去解决恒等式的证明问题。2、证明不等式：例2已知：0 b 0b 22.证明：如图，作边长为1的正方形ABCD,在AB

2、上取点E,使AE二：在AD上取点G,使AG二b , 过E、G分别作EF/AD交CD于F：作GH/AB交BC于乩设EF与GH交于点0,连接AO、BO、CO、DO、AC、 BD.由题设及作图知AOG、BOE、COF、 DOG均为直角三角形，因此OA = yjarTbTOB = yl（-a）2+b2OC = yl（l-a）2 +（-b）2OD = cr且 AC = BD = y/2由于 OA + OC AC QB + OD BD.所以:如+戻 +J(1 )2+尸+/+(1-疔 + J(l_d)2+(l_b)2 2a/2._1当且仅当a = b= 2时，等号成立。小结：在求证条件不等式时，可根据题设条

3、件作岀对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平而 几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：例3若方程ax2 -2x + l = 0( a 0)的两根满足：旺1, 1兀2o.5解得：“1.例4若关于的不等式0x?+mx + 2AC, CF. BE分别是AB、AC边上的高。试证：AB + CFAC + BE证法一：（三角法）因为0sinA （AB-AC）-sin A AB + AC-sin A AC+AB-sin AAB + CFAC + BE（当上A = 90 时取等号）证法二：（代数法）由ABACCF, ABBE及 s=bcf = ac-beABBEACCF变形

4、得譽AC-CFACABBE AC CF AB + CFAC+BE当ZA = 90 , AB + CF = AC + BE.综上：AB + CF AC + BE.小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7 如图，在正AABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE丄BC, EF丄AC, FD丄AB同时成 立，求点D在AB上的位置.分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列 出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：设 AB=L AD 二 XB因为AABC为正三角形，且 DE 丄 BC, EF 丄 A

5、C, FD 丄 AB,故AF = 2x , CF = l-2x , CD = 2CF = 2-4xBE = l-CE = 4x-l , BD = 2BE = 8x2而 AD-BD = 1 ，即 x + (8x 2) = 111解得：X= 3*即点D位于AB边上5分点处A或角度的大求那些量的小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位宜或线段的长度 小不能依题意画出来，只有根据已知条件求岀某一些量时，图形才能画岀。而F 方法，常常是通过列方程（组人即转化为代数方程求解。例8 如图，AABC三边的长分别是BC二17, CA二18, AB二19.过AABC 内的点P向AABC的三边分别作垂线PD、PE、PF （D、E. F为垂足）若BD+CE+AF = TI.求：BD+BF 的长.解：设 BD = x , CE = y , AF = z ,则DC = 7-x , AE = iS-y ,阳= 19 z连接 PA、PB. PC.在 RtAPBD 和 RtAPFB 中，x2 + pd2 =（19-z）2 + pf2同理：y2 + P2 =（17-x）2 + P2z2+PF2=（18-y）2 + PE2将以上三式相加，得：/ + y 2 + 才=（7 _ 兀）2 + （1 8 _ 刃2 + （1 9 一 z）2/. 17x + 18y + 19z =