数学文化第五讲幻方

1、2021/3/271 数学文化的起源 幻方 2021/3/272 一、幻方基本知识 1、从河洛文化说起 相传,在上古伏羲时代,洛阳东 北孟津县境内的黄河里跃出一匹 龙马,背上驮了一幅图,上面有黑白 点55个,用直线连成10数献给伏羲。 后人称之为河图,伏羲依此而演绎 成八卦,后为周易来源。 2021/3/273 又传,大禹治水时,有灵龟自洛水出,背上排列成“带九 履一,左三右七,四二为肩,八六为足,五居中央”的图形,献给 大禹,后人称之为洛书。大禹依此治水成功,遂划天下为九 州。又依此定“九章大法”治理社会,流传下来收入尚书 中,名为洪范。在中国历史中, 大禹的功劳极其巨大,因为他治水 以后,

2、中国九州才开始以农业立国。 而他成功治水的智慧就来自“洛 书”的启示。 2021/3/274 （1）两图的结构对称。 （2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中, 其中由黑点构成的数为偶数,白点构成的数为奇数。 2021/3/275 2、幻方 在一个方阵中,如果每行、每列以及对角线上自 然数之和分别都等于某一个定值,则称此方阵为幻方。 这个特定值称为幻和,每格内的自然数称为元素。幻 方每边格数n称为幻方的阶。 如果每一对角线上的元素之和也都等于幻和,则 称该方阵为完美幻方。幻方内元素全体的和称为幻 方和。在幻方中所有与其中心对称的两元素的和如 果都相等,则该幻方称为对称幻方。 2021/3/2

3、76 二、妙趣横生的幻方 1、洛书图 2021/3/277 2、九九图 我国宋朝数学家杨辉在续与摘奇算法中给出了一个9阶幻方。 2021/3/278 该幻方中蕴含着许多奇特的性质 1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。 2、将幻方按图中粗线分为九块,即为九个三阶幻 方。 2021/3/279 2021/3/2710 该幻方中蕴含着许多奇特的性质 1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。 2、将幻方按图中粗线分为九块,即为九个三阶幻 方。 3、若把上述九个三阶幻方的每个“幻和”值写 在九宫中,又构成一个新的三阶

4、幻方。并且幻方中的 九个数分别是首项为111,末项为135,公差为3的等差 数列。将这些数按大小顺序的序号写在九宫格中,它 又恰好是“洛书”幻方。 2021/3/2711 2021/3/2712 （4）将幻方对角线上的数全部圈起来,再从外向里用方框 框上,则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41又分 别构成三阶幻方。 2021/3/2713 2021/3/2714 3、素数幻方 尾数全是9,幻和为 1077。 尾数全是7,幻和为 798。 2021/3/2715 4、黑洞数幻方 （1）该幻方中,4行4列4斜对角线及4副对角线上的4个四位 数的和统统是6174。每一个田字格中的四数之和都是61

5、74。若 再有规律地截得的长方形、平行四边形、梯形等几何图形的4 角中的四数之和也是6174。 （2）任何一个元素,通过一定的四则运算它们个个可以变 成6174。 2021/3/2716 2021/3/2717 5、回文数幻方 该四阶完美幻方的幻和是13992。 2021/3/2718 6、马步幻方 2021/3/2719 2021/3/2720 2021/3/2721 7、方中含方 2021/3/2722 7、方中含方 2021/3/2723 7、方中含方 2021/3/2724 2021/3/2725 2021/3/2726 2021/3/2727 8、和、积幻方（也叫加乘幻方） 该幻方每

6、一行和、列和,对角线和均为840;且每行积、每列积、 对角积均为26000 2021/3/2728 该幻方每一行和、列和,对角线和均为2215;且每行积、每列积、 对角积均为4515840000 2021/3/2729 9、二次幻方 该幻方本身是一个幻方,同时幻方中各数的平方仍组成一个 幻方。图中幻方幻和为20049. 2021/3/2730 10、雪花幻方（全对称幻方） 该幻方中的数字对称中心41等距离的两数之和相等;将幻方左边第一列 移动到最右边。上面第一行移动到最下边所组成的图形仍是一个9阶幻方。 2021/3/2731 三、幻方的构造 1、杨辉与奇数阶幻方的构造方法 三阶幻方的构造方法

7、:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维 挺出”。 2021/3/2732 类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方 2021/3/2733 类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方 2021/3/2734 类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方 2021/3/2735 2、奇数阶幻方的罗伯构造 原理:1居首列正中央,下数依次左上放;左出格时右边写,上出 格时下面填;遇到有数无处填,就在此数右邻放。 2021/3/2736 3、偶数阶幻方的海尔构造 根数:指在一个n阶幻方的构造过程中,数字k （k=1,2,3,n）的根数为n(k-1)。例如,在四阶幻方中,1的 根数为0,3的根数为8;在10阶

8、幻方中,3的根数为20。 2021/3/2737 以4阶幻方为例来说明: （1）将1到4这4个数字分 别从左到右（从小到大） 填入方阵的两条对角线中, 得方阵A。 （2）把A中每一行的空格中 填入1到4在该行没有的数字 （左大右小）,使每行每列数 字之和均为10,得方阵B 2021/3/2738 （3）把方阵B转置,即交 换行列,得到方阵C,C中的 数叫做原始数。 （4）把C中各原始数分 别用其相应的根数替换, 得方阵D。 2021/3/2739 （5）最后将B,D两方阵中 对应数分别相加,便得到一 个4阶幻方。 2021/3/2740 4、双偶阶幻方的构造 定义:在一个n阶幻方的构造过程中,

9、数字k（ k=1,2,3,n） 的补数为n2+1-k.例如,在四阶幻方中,1的补数为16,3的补 数为14。 2021/3/2741 以8阶幻方为例来说明双偶阶幻方的构造方法: （1）将从1到82这64个自然数依次连续填入方阵各方格 内。 2021/3/2742 （2）然后将两条对角线及方阵内与对角线平等间隔为 两格的斜线上的数字分别替换为各自的补数,得到的方 阵即是一个8阶幻方。 2021/3/2743 （2）然后将两条对角线及方阵内与对角线平等间隔为 两格的斜线上的数字分别替换为各自的补数,得到的方 阵即是一个8阶幻方。 2021/3/2744 四、幻方的应用 1、幻方在艺术等方面的应用

10、建筑学家索力拉东发现幻方的对称性相当丰富,他采用 幻方组成许多美丽的图案,把幻方中的那些阵内的线条称为 “魔线”,并应用于轻工业。封面包装设计中,加拿大滑铁 卢大学的一位专家发现了幻方与“拉丁方”的内在联系,由 于“拉丁方”在实验设计领域中有着无比的重要性,从而幻 方原理成了正交试验设计的新思路。 2021/3/2745 2、幻方与科学技术 幻方在计算机、图论、实验统计等方面都有出色的应用。 幻方因具有一种自然的属性,虽是数字关系,但往往抽象概括特 别方便。当人们反复思考后,就可能对某个学科理论产生出灵感 来,从而推动其发展。 在中国的传统文化中,我们能看到洛书运用于军事、中医、 天文、气象等领域,大量的资料说明幻方与各种学科密切相关。 如今,幻方在图论、人工智能、博弈论、组合分析、实验设计 等方面有着广泛运用。幻方引出了电子方程式、自动控制论, 从而促进了电子计算机的诞生。 2021/3/2746 1977年,人类向太空送去寻求太空理性生物的使者宇宙 飞船旅行者一号,为了使语言不通的太空理性生物知道人类已 高度了解宇宙的某些奥秘,特别是数的奥秘,飞船上载有一块永 不生锈,极难变形的