定积分的概念和基本性质

1、 43題删綁駄漲4.3.1定积分的定义 4.3.2定积分的基本性质4.3.1引出定积分定义的例题例：求曲线尸以、直线*1和兀轴所围成的曲边三角形的面积。3分割J将区间0分成个相等的小区间。直线12屮-1)把曲边三角形分成刃个小曲边梯形。nS = $ + +/+ + $ ”_+ 打近似J第2个小曲边梯形面积：，JX1n2nn n（3 nAs. q ( )2 (i = 1,2,. ,n)n n(3)求和J小矩形面积的总和：c 11/1、21/2、21/ ri 1、2SfJ = 0 一 H()+ 一 (一)+. + 一 ()n nn n n n n（i-丄）（i-寺）。5 n Ins 7o取极限取$

2、”的极限,得曲边三角形面积： S= liin sn = lim 丄(1 _ -)(1 -) msms 3 n2n35分割J将区间0分成斤个相等的小区间。直线% = (/ = 1,2,屮-1)把曲边三角形分成Z7个小曲边梯形。nS = $ + + + +“_+近似J第i个小曲边梯形面积：1 i-l 9As, a ()2 (i = l，2，)n n求和小矩形面积的总和：(-)2+-(-)2+. n n n1 )oSn =0-+-n n3 n 2n1 一 H+/-I i /? -1 1 . n nn#分割J将区间0分成斤个相等的小区间。啓限取s的极限，得曲边三角形面积：鬥曖几巳曖和-叙1-知冷7分割

3、J将区间0分成刃个相等的小区间。直线% = (/ = 1,2,屮-1)把曲边三角形分成Z7个小曲边梯形。nS = $ + + + +“_+恥限取S的极限，得曲边三角形面积： 亠辄S”巳嘿存-轨-圭)例：求曲线尸严、直线兀=1和兀轴所围成的曲边三角形的面积。把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”，求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；一般地，求由连续曲y(x)(f(x)0),直线ua、x=b及兀轴所围成的曲边梯形的面积的方法是:1)用直线兀*m 把曲边梯形分割为斤个小曲边梯形。每个小曲边梯形的底的宽度记为Ax, = %,- - xi_ (z = 1?2,.?h)o2

4、在第i个小区间x_1?xl上任取一点刍,用第i个小矩形的面积近似替代 第i个小曲边梯形的面积：AA. Ax. (i = 120)引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程例2.设物体沿直线作变速运动，速度为v =v （0,假定卩是t的连续 函数，求此物体在时间区间a, S内运动所走距离S。解：（4用分点t=ti，i=l, 2,，n-1）把分割成n个小的时间段，第，个时间段为心，卩 长度记为am_i。在第订i=l, 2,，）个时间段匕1，可上任取一时刻中用讯耳）0近似替代物体在第i个时间段所走距离：山严（劄“ o3将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区 间為方内所走距离S的

5、近似值：4记2=max&42，4小 取极限兀力则物体在时间区间 b内运动的距离：c 总/、Z = 1Oa =/q 实例一：求曲边梯形的面积实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”或以“不变代变”求出局部的近似 值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；13、魁1定积分的定义一定义4. 3. 1:设函数/(x)在区间a.b上有界,将a,b区间任意分成n份，分点依次为a = xq x X2 Xi_i Xi xn_t xn = b,在每一个小区间氏一z，曲上任取一点Cj,作乘积/(C J Ax, (Ax;.=无一无_1)(i = 1,2,屮)b 二工

6、/c)xi=l无论区间的分法如何，0在兀汕曲上的取法如何，如果 当最大区间长度几=inaxAxzli0), 轴所围成的曲边梯形的面积为f(x)dxJa 设物体运动的速度v=v(O,则此物体在时间区间a创内运动的距离s为5= v(t)dtJa#规定:当b时fx)dx =-Ja当时fx)dx = 0Ja19Jbf(x)dx;崖积分的几何意义当时，积分在几何上表示由yh(x)、X =/(X) 0时厂/(x) n 0,设以y = /(JC)为 曲边 的曲边 梯形面积为S,则nns = -/c)a =_ 出茗-rc)aZ=1i=lJrb=- f(x)dxyabr从而有oSXf fx)dx = -SJay

7、=fM17、定积分的几何意义函数心丿在区间a切上的定积分表示为直线x二b, y=0所由成的几个曲边梯形的面积代数和。f (x)dx = S S2 + S3课本例题：例3:利用定积分几何意义验证:f1 Jl-x2dx =-Jj2利用定积分例4：在区间&方上，若爬丿0,(x)X 几何意义验证：f(a)(b-a) C f (x)dx f (b)(b - a)194.3.2定积分的基本性质性质1: 有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和， 即若/心丿（A 1, 2,在匕切内可积，则有rbMl，2土土九必arbfidx办必土人力eb性质2： 个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且 常数

8、引资可以提到积分符号外面，即若心丿在匕切上可 积，则 g丿在a切上也可积a为常数）,且满足cf(x)dx- f(x)dxJaJa性质3:积分的可加性定理 设在匕切内可积，若acb,则/匕丿在a c和c,切上可 积；反之，若/在a d和匕切上可积，则/匕丿在a切内 可积，且有brcfbf(x)dx- f(x)dx+ f(x)dxaJaJc性质4：积分的可加性定理raf(x)dx交换积分上下限，积分值变号，即bJbf(x)dx-a特别地，若0=6则af(x)dx-a/dx f(x)dx-0JaJa性质5: 设加丿和gd丿在S，切上皆可积，且满足条件/匕丿g(x),则 有bJa9bg(x)dxJa234.3.2定积分的基本性质254.3.2定积分的基本性质性质6:#4.3.2定积分的基本性质#4.3.2定积分的基本性质bdx-Jabdx-b-aJa#4.3.2定积分的基本性质#4.3.2定积分的基本性质性质7:若函数加丿在a切上可积，且最大值与最小值分别为m和 m,则rbm(b-a) f(x)dxM(b-a)推论:若函数加丿在a,切上可积，则rb-念）Jarbrbdx f(x)dx f(x)dxJa274.3.2定积分的基本性质性质8:定积分中值定理 设加丿在区间匕