概率论练习册答案

1、习题3-11.已知随机变量 Xi和X2的概率分布分别为X1-101P111424X20111P22而且P X1X20 1求Xi和X2的联合分布律解 由PX1X201知PX1X200 因此X1和X2的联合分布11p-j一 1221 注意到 PXi 0, X200,而 PXi 0 PX200,所以 Xi4和X2不独立.2. 一盒子中有 3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律.解 从7只球中取4球只有C； 35种取法在4只球中,黑球有i只,红球有j只(余下为白球4 i j只)的取法为c3c；c；63535 ,c；c；c；3

2、3535c；c；c；33535cic2w 4.3535C3c2c；ij,i 0,1,2,3, j 0,1,2,iPX2c3)cfc|110,Y,PX1,Y3535PX2c3c；c；6 ,01,Y,PX2,Y35352 1 1c；c；c；12PX2,Y1,PX2,Y23535PX0cQ213,Y,PX3,Y3535于是有PX 0,Y0 PX 0,Y1 PX 1,Y0 PX 3,Y20.分布律的表格形式为x*0123320003535612210353535163203535353.设随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)k(6 x y),0 x 2,2 y 4,0,其它.解(1)由f (

3、x, y)dxdy 1，得4241222、41dy 0 k(6xy)dx k 2 (6y)x -x dy k(10yy )8k22202所以k18 .31 1(2)PX1,Y3f(x,y)dxdydy - (6 x2 0 8y)dxx 1,y 381 31 211 3 113-(6 y)x - xdy 2(一y)dy -.8 220 8 2 281.51.5(3)PX1.5fx(x)dxdxf (x, y)dy41.5 12dy0(6 x8y)dx1.51412(6y)x -xdy8220146332 (y)dy8822732 .(4) 作直线x y 4 ,并记此直线下方区域与f (x, y)

4、 0的矩形区域(0,2) (0,4)的交集为 G .即 G :0 x 2,0 y w 4 x .见图 3-8 .因此PX Y w 4P( X,Y) Gf (x, y)dxdy42dyX 1(6 x y)dx8142 (6y)x81482 (6y)(41422(4y)82G1 2x21 2y) 2(4 y)dy-(4 y)2dy24 xdy04.二维随机变量1(4 y)2 1(4 y)38 61bJ2X图3-8第4题积分区域(X,Y)的概率密度为f(x, y)kxy, x2 y1,0 x1,0,其它2试确定 k ,并求 P( X,Y) G, G : x yx, 0 x1.f (x, y)dxdy

5、1dx012kxydyx10x(1x4)dx k6解得k6.因而P(X,Y)1G Qdx 2 6xydy10x(xx4)dx 145.求关于设二维随机变量(X, Y)概率密度为4.8y(2x),f (x, y)0,X和Y边缘概率密度.0 x1,0 y x, 其它.解 (X,Y)的概率密度f (x,y)在区域G : 0 w x w 1,0 w y w x外取零值.因而，有xfx(X)4.8y(2 x)dy, 0 x 1,f (x, y)dy 00,2.4(2 x)x2,0x1,0,其它.4.8y(2 x)dx, 0 y 1, fY(y)f (x, y)dx y0,其它.22.4y(3 4y y)

6、,0 y 1,0,其它.6.假设随机变量U在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量1,若 U 1,1,若 U 1,1,若 U 1,1,若 U 1.试求：X和Y的联合概率分布； PX Y 2 Y 2,Y 2 PX 2,Y1 PX 2,Y2或写成Y k1234PY k|X 21011263(2)注意到PY 2 Y 2,Y w 20.55PY w 20.662.设平面区域D由曲线y1及直线y 0, x21,x e所围成，二维随机而x变量(X, Y)在区域D上服从均匀分布，求(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处 的值.解由题设知D的面积为SD因此，(X,Y)的密度为f(x, y)1dxx120

7、,In x2e1 2.(x,y) D,其它.由此可得关于 X的边缘概率密度fX(x)f (x, y)dy .2x e 时，fx(x)显然，当 xw 1 或 x e2 时,fX (x) 0 ;11故 fx(2)4.3. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为1, 0 x 1,0 y 2x,f (x, y)0,其它.求：(1) (X, Y)的边缘概率密度fx (x), fY (y)；1(2) PYW -2解(1)当 0 x 1 时，fX(x)f (x, y)dy当 xw 0 时或 x 1 时，fX(x)0.2x0dy2x;fx(x)2x,0 x 1,0, 其它.1y当 0y 2 时，fY (y)0

8、 .y1 -,0 y 2,fY(y)20, 其它.(2) 当 zw 0 时,Fz(z)0;当 z2 时,FZ(z)1；当 0z2 时，FZ(z) P2X Y w zf (x, y)dxdy2 x yw zz2x12x2dx 1 dy zdx 1 dy002x-z22zz 一 .4fZ(z)Fz(z)0 z 2,0,其它.1113P X Y-22163114PX 244. 设G是由直线 y=x, y=3, x=1所围成的三角形区域,二维随机变量(X,Y)在G上服从二维均匀分布求：(1) (X, Y)的联合概率密度；(2) PY X W1 ; (3)关于X的边缘概率密度 解(1)由于三角形区域 G

9、的面积等于2,所以(X,Y)的概率密度为记区域D ( x, y) | yPY X 11 f(x, y) 20,x 1与G的交集为Go，则1 1(x,y) G,(x,y) G.G1 1 1 1严泮尹1其中Sg0为Go的面积.因此(3) X的边缘概率密度x 1,3时,fx(X)fx(X)f (x, y)dy.所以,31dyx 212(3 x).fx(x)0.0,习题fx(X)x),3-3x 1,3,其它X1Y0256-120111P1121P236445101.设X与Y相互独立，且分布律分别为下表：求二维随机变量(X ,Y)的分布律.解 由于X与Y相互独立，所以有PX Xi,Y yjPXXi PY

10、yj,i 1, - ,0; j 0,2,5,6.2因此可得二维随机变量（X , Y）的联合分布律112001118122411128122412155151561112030602.设(X, Y)的分布律如下表问，为何值时X与Y相互独立？ 解首先，由分布律求得边缘分布律12p.j1111632112aa+_991133供一181811pi.+ a+ B1332由于边缘分布满足故可得方程组3Pi 1, Pj 1 ,又X, Y相互独立的等价条件为j 1Pij= Pi. p.j (i=1,2； j =1,2,3).2311,1-)9经检验因此当293.设随机变量91 时，91时,9对于所有的X与Y相

11、互独立.f (x, y)0,其它(1)试确定常数b.求边缘概率密度fx(X),fy(y).问X与Y是否相互独立？解(1)由y)f (x, y)dxdy0be(x1be(x0X与Y的概率密度为y), 0 xi =1,2; j =1,2,3 均有 pij= pi. p.j 成立.1,y0,dydx be ydy1xe dx b(10e1),11 e1fx(X)f(x,y)dyfy(y)f(x, y)dx1 e0,e y,1,其它.y其它.4.由于 f (x, y) fx(x)设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 1)上服从均匀分布fY(y)，所以X与Y相互独立.0,0,概率密度为fy(y)

12、1e220,y 0,y Y因X和Y相互独立,故(X, Y)的联合概率密度为f (x, y)fx(x)fy(y)20,(2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零4X2 4Y 0因此事件方程有实根 X 2 Y.下面计算PX2 Y(参见图3-3).2PX Yf(x,y)dxdy1dxx210(1 e 2 )dxx201e0(X,Y)的概率分布为1.设二维随机变量00.4a1b0.10.5.此外,X,Y的分布律分别为X13Px0.30.72.设两个相互独立的随机变量Y24Py0.60.4PX00.4a ,PXY 1PX0,Y1 PX1,Y0PX0,X Y1PX0,Y1a .根据题意有PX0,XY 1

13、PX0PXY若随机事件X=0与X+Y=1相互独立,求常数a, b.解首先,由题设知0.4 a b 0.11.由此得a ba b 0.5,1,即 a (0.4 a) 0.5.解得 a 0.4,b0.1 .求随机变量Z = X+ Y的分布律.解随机变量Z = X + Y的可能取值为3,5,7.Z的分布律为PZ3PX1,Y203.0.60.18,PZ5PX1,Y4PX3,Y20.30.4 l07 0.60.54PZ7PX3,Y40.70.40.28或写为Z357Pz0.180.540.283.随机变量 X与丫相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布 P max X, Y 1 .解 由题意知，X与Y的

14、概率密度均为1,0 x3,f(x) 3 0,其它.又由独立性，有Pmax X+Y 1=PX 1,Y 1= PX 1 P Y0),试求随机变量和解 已知X和Y的概率密度分别为1 导 (厂 , % (11dx0 313,且X服从正态分布Z=X+Y的概率密度.Ng ，丫fx(x);fY(y)2a0,(a,a),由于X和Y相互独立，所以fz (z)fx(z y)fY(y)dy12a(a,a).(Z y -r-21a,厂ea).dy1 Z 口 a Z=()(2a(T(T10.设随机变量 X和Y的联合分布是正方形 上的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 解由题设知(1,X和Y的联合概率密度为

15、f(x, y)记F (u)为U1,1W xW3,1W yW3,40,其它.的分布函数，参见图3-7,则有当 uw 0 时,F(u)当 u 2 时,F(u)当0 u2时，P| X Y| wu=0;1 ;G=(x,y)|1w xw 3, 1 w y 3 f(u).图3-7第8题积分区域F(u) PU w uf (x, y)dxdy| x y |w u11 2-42-(2 u)4211 -(2u)2.4故随机变量U |X Y|的概率密度为1(2u),0 u 2,P(u) 20,其它总习题二1.设随机变量(X, Y)的概率密度为求条件概率密度解首先1, |y| x,0 x 1, f(x, y)0,其它

16、.fY|X (y |x)和fxiY(x| y).fx (x)f (x, y)dy2x,0 x其它.1,0,y,fy(y)f(x, y)dxy,0,0 y 1,1 y0, 其它.图3-9第1题积分区fxY(x| y)1 y0,1y x 1,X 取其它值.y w 0 时，fx|Y(x|y)x 1 时,fYix (y| x)1 y0,-L, lyl2xy x 1,x 取其它值.x,0,y取其它值.2.设随机变量X与Y相互独立，下表列出二维随机变量(X,Y)的分布律及 关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值，试将其余数值填入表中空白处.PY yj PX x,Y yi PX X2,Yyi,所以有PXX,Y

17、 yi PY yi PXX2,Yyj124在此基础上利用X和Y的独立性，有再次,利用最后,PX Xi PX X，丫 yiP X X2X和Y的独立性,PY y?PYyii PX XiPX Xi,Y y?PXXPY y3 i PY y PY241y? iPXX2,Yy?PXPXX2,Y3PXPXX,Yy3PX利用X和Y的独立性，有X2PYX2PYX PYy?3y3434122318丄41因此得到下表f(x, y)ke(3x 4y)x 0, y 0,0,其它.(1)求常数k； (2)求(X,Y)的分布函数； 计算fx(x), fy(y) ； (5)问随机变量(1)由 1f (x, y)dxdy(3)

18、计算 P0 X 1,0 Y2;X与Y是否相互独立？kydy,可得123x Ie dx0 0k 12.所以(X,Y)的分布函数F(x, y)当 x0或 y 0时，有F (x, y)当 x 0,y 0 时，F(x,y)f (u,v)dxdy.(1F(x,y)(0,P0 X 1,0 Y 20;xe03x、e )(112F(1,2)fx(x)f(x, y)dyfx(x)类似地，有3uy 4vdu e dv0e4y),12e00,3e3x,(13x)(1 e4y).x 0,y 其它.3(1 e )(1F(0,0)(3x4y)dy, x 0, 其它.x 0,其它.0,8、e ).0,fY(y)4e4y,

19、y 0,0, 其它.解PX 2Yx y z123101611221116663112160显然f (x, y)fx(x) fY(y), (x, y)2R ,故X与Y相互独立.4解已知(X,Y)的分布律为1 1 1注意到 PX 1 PY 0 $ 方-,而 Px 1,丫 ,(2) ZXY的可能取值为3, 4, 5, 6,且PZ3PX1,Y2PX2,Y11 16 613,PZ4PX1,Y3PX2,Y2PX3,Y1 11112 6123PZ5PX2,Y3PX3,Y21 16 613即Z XY的分布律为可见PX=1, Y=1工PX=1PY=1.因此X与Y不相互独立1Z345111P333 V maxX,

20、Y的可能取值为2, 3,且PV 2 PX 1,Y2 PX 2,Y1 PX 2,Y21PV 31 PV 2-.2即V max(X,Y)的分布律为V2311P22min X ,Y的可能取值为1,2,且UPUPUPX 3,Y2 1 PU11 PX 2,Y1-21PX 1,Y 2 PX 1,Y 3W345111P3330 x 1,0 y 1, 其它.即U min X ,Y的分布律为U12P1122WUV的可能取值为3, 4, 5,且PW3PU1,V2PX1,Y2PX2,Y1PW4PU1,V3PU2,V2PX1,Y3PX3,Y1PX2,y2PW5PU2,V3PX2,Y3PX3,Y213153135.设二

21、维随机变量(X, Y)的概率密度为y,2 xf(x, y)门0,fz.f(x,y)dxdyx 2y(2)方法一：先求Z的分布函数：Fz(z)P(X Y 2Y; (2)求Z = X+Y的概率密度当 z0 时，Fz(z)o；当0w z1时,Fz(z)D1f (x, y)dxdyzdy0 3z y(20 x y)dx=z2-1 3 -z3;311当1 z 2 时,Fz(z) = 1.故Z = X+Y的概率密度为2z z2, 0 z 1,fz(z) Fz(z)(2 z)2, 1 z 2,0,其它方法二：利用公式fZ(z)2 f(x,z x)0,2f (x, z x)dx：x (z x),0 x 1,

22、0 z x 1,其它z, 0 x 1, x z 1 x,0, 其它.当 z 2 时,fz(z) = 0;z当 0z1 时，fZ(z)o(2 z)dx z(2 z);1 2 当 1w z2 时，fZ(z)z/2 z)dx (2 z)2.故Z = X+Y的概率密度为2zz2,0 z1,fZ(z)(z2)2,1 z2,.0,其它.6.设随机变量(X, Y)得密度为2 1x - xy, 0 x 1, 0 y 1, PYX及 PY |X .22(1)当 x0 或 y0 时，x, y) = 0,所以 F(x, y) = 0.10W x1,0 w y2 时，$(x, y) = x2+ - xy3，所以F(x,y)(u,