连续系统的s域分析ppt课件

1、第五章 延续系统的s域分析 本章首先由傅里叶变换引出拉普拉斯变换，本章首先由傅里叶变换引出拉普拉斯变换， 然后对拉普拉斯正变换、拉普拉斯反变换及拉普然后对拉普拉斯正变换、拉普拉斯反变换及拉普 拉斯变换的性质进展讨论拉斯变换的性质进展讨论 本章重点在于，以拉普拉斯变换为工具对系本章重点在于，以拉普拉斯变换为工具对系 统进展复频域分析统进展复频域分析 留意与傅里叶变换的对比，便于了解与掌握留意与傅里叶变换的对比，便于了解与掌握 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 一些常用信号的拉普拉斯变换一些常用

2、信号的拉普拉斯变换 一从傅里叶变换到拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( )( ) jt f tf t edt F ( ) ( ) ) ( ( ) t b tj t j b st t Fjf t e f t Fs eedt f t ed f t edt t F t e两两端端同同乘乘 ( ) t ef t 为为了了满满足足傅傅里里叶叶变变换换 存存在在的的充充分分条条件件，用用 衰衰减减因因子子与与相相乘乘 傅里叶变换傅里叶变换 1 2 1 2 ( ) ( ) ) jt b j st b j f t F s e ds j j Fed 1 1 2 1 2 - ( )( ) ( ) ()

3、t b j t b j t b f t eF s F s ed Fjed F 傅里叶反变换傅里叶反变换 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换 收敛域：使收敛域：使Fb(s)存在的存在的s的区域称为收敛域的区域称为收敛域 记为：记为：ROC (region of convergence) s的虚部对应于振荡频率，收敛与否完全由的虚部对应于振荡频率，收敛与否完全由s 的实部的实部 决议，即收敛域为决议，即收敛域为s平面内以实轴上某平面内以实轴上某 些点为界、而在虚轴方向无限延伸的区域些点为界、而在虚轴方向无限延伸的区域 二双边拉普拉斯变换的收敛域二双边拉普拉斯变换的

4、收敛域 O j 0 收敛坐标收敛坐标 收敛轴收敛轴 收收敛敛区区 例例5-1-1 求因果信号求因果信号f1(t)的双边拉普拉斯变换的双边拉普拉斯变换 1 1 0 0 00 0 1 1 1 () () ( )( ) ( ( ) () lim Re t t st tst b tj t t t f tet et e Fse edt s ee s s s 为为实实数数） 解解： ， 不不定定， 无无界界， 因果信号的收敛域因果信号的收敛域 s 因因 平平面面 果果信信号号双双 中中位位于于实实 边边拉拉普普拉拉斯斯 变变换换的的收收敛敛 轴轴 某某个个值值 域域： 以以右右的的区区域域 例例5-1-2

5、 求反因果信号求反因果信号f2(t)的双边拉普拉斯变换的双边拉普拉斯变换 2 0 0 2 0 00 1 1 1 () () ( ( )() ( ) () lim Re t t st tst b tj t t et ftet t e Fse edt s ee s s s 为为实实数数） 解解： ， （） 不不定定 ， 无无界界， 反因果信号的收敛域反因果信号的收敛域 s 反反因因果果信信号号双双边边拉拉普普拉拉斯斯 变变换换的的收收敛敛域域： 平平面面中中位位于于实实轴轴 某某个个值值以以左左的的区区域域 例例5-1-3 求双边信号求双边信号f (t)的双边拉普拉斯变换的双边拉普拉斯变换 12

6、12 12 0 0 ( )( )( ) ( )( )( ) Re ( ) ( )( ) ( ) t bbb b bb b e tt f tf tft et F sFsFs s F s FsFs F s 解解： 其其收收敛敛域域为为， （1 1）当当时时，在在该该收收敛敛域域内内 存存在在； （2 2）若若，与与没没有有 共共同同的的收收敛敛域域，因因而而不不存存在在。 双边信号的收敛域双边信号的收敛域 双边函数拉双边函数拉 普拉斯变换普拉斯变换 的收敛域的收敛域 三单边拉普拉斯变换三单边拉普拉斯变换 0 1 0 0 1 0 2 - ( )( ) , ( )( ) ( ), st j st j

7、Fsf tf t edt t f tF s F s e dst j L L 00 00 t 单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的下下界界定定义义为为是是考考虑虑到到在在时时刻刻可可能能 存存在在奇奇异异信信号号。但但通通常常就就简简写写为为 。 ( )( ) ( )( )( ( )( ) ) ( ) F sf tf t F F sf tF sf t s L 上上述述形形式式的的拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）变变换换称称为为单单边边拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）变变换换 拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）变变换换象象函函数数 原原 ， 简简称称为为。称称为为的的，则则称称 为为的的，两两者者间间的的关关系系表表示示为

8、为 或或 函函数数 现实中的信号往往为有起始点的信号，设起点为现实中的信号往往为有起始点的信号，设起点为t=0，那么，那么 拉普拉斯变换和逆变换可以表示为拉普拉斯变换和逆变换可以表示为 0 0 0 0 0 lim( ), ( ) Re( )( ) ( ) t t f tatb sf t f t f t e 若若函函数数在在有有限限区区间间内内可可积积，且且存存在在某某个个最最小小 的的，有有 则则对对于于，的的（单单边边）拉拉普普拉拉斯斯变变换换绝绝对对 一一致致收收指指敛敛数数。并并且且称称为为阶阶信信号号。 单边拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域 0 s 只只在在有有限限区区间间

9、不不为为零零的的 可可积积信信号号，其其收收敛敛域域为为 整整个个 平平面面 拉拉普普拉拉斯斯变变换换通通常常作作为为系系统统分分析析的的数数学学工工具具，而而 一一般般不不作作为为信信号号分分析析 3 3. . 工工具具使使用用。 拉拉普普拉拉斯斯变变换换是是信信号号由由时时域域到到复复频频域域的的变变换换（映映射射）， 虽虽然然它它与与傅傅里里叶叶变变换换具具有有某某种种联联系系，但但该该变变换换不不是是一一个个 正正交交变变换换，其其变变换换基基底底不不是是正正交交的的（完完备备但但 2 2. . 有有冗冗余余）。 关于拉普拉斯变换关于拉普拉斯变换 () () ( ) F j F j F

10、 ss 傅傅里里叶叶变变换换的的自自变变量量 具具有有明明确确的的物物理理含含义义 （角角频频率率），故故描描述述了了信信号号的的频频域域分分布布（频频谱谱）。 但但象象函函数数的的自自变变量量 的的物物理理含含义义不不明明显显，拉拉普普拉拉斯斯 变变换换通通常常没没有有“谱谱 1.1. ”的的概概念念。 00 0 0 0 1 ( )Re Re s ts tst eteedtss ss L 00 0 0 0 1 ( )Re Re s ts tst ete edtss ss L 四一些常用信号的拉普拉斯变换四一些常用信号的拉普拉斯变换 0 0 0 1 0( )( )Re s t s tets s

11、 LL， 0 1 st ttedt L 单位冲激信号和冲激偶单位冲激信号和冲激偶 复指数信号复指数信号 00 () stst t ttedts es L 全全s 域平面域平面 收敛收敛 阶跃信号阶跃信号 1 0 20 , , t gt 其其余余 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 00 1 22 s stst e gtgtedtedt s L 全全s s 域平域平 面收敛面收敛 线性线性 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性s域平移特性域平移特性 时域微分特性时域微分特性时域积分特性时域积分特性 卷积定理卷积定理s域微分和积分特性域微分和积分特性 初值定理初值定理终值定理终值定理 一线性一线性 11221

12、2 11221122 ( )( ),( )( ), ( )( )( )( ) f tF sftF sKK K f tK ftK F sK F s LL L 若若为为常常数数， 则则 1 2 ( )cos() j tj t f ttee 111 2 cost sjsj L 22 , 0Re( ) s s s 知知 那那 么么 0 0 0 1 ,Re( )Re() s t ess ss L 同理同理 22 0sin,Re( )ts s L 例例5-2-15-2-1 12 Re max(,)s。是是二二函函数数收收敛敛域域相相重重叠叠的的部部分分， 如如是是两两函函数数之之差差，其其收收敛敛域域可可

13、能能扩扩大大。 二尺度变换二尺度变换 0 0 0 1 ( )( ), Re( ()R ( ) ), e s f a a tFsa f tF s a s a L L若若且且，则则 ， 0 ()() st f atf at edt L at令， 则 0 ()( ) s a f atfed a L 0 1 ( ) s a fed a a s F a 1 证明：证明： 三时移延时特性三时移延时特性 证明略证明略 0 0 000 () ()( ), Re( ) ( ) ( )( ), Re( ) st f tttt f tF s F ts ess L L若若，则则 时移结合尺度变换时移结合尺度变换: :

14、 0 1 00 () ()e, Re( ) b s a s f atbatbFab aa sa L 收敛域不变收敛域不变 0 () ( )f ttt注注意意不不是是 0Re s 收收敛敛域域为为 0 ( )(),( ) n f ttnTF s 已已知知求求。 例例5-2-35-2-3 1 1 1 ( ) ( )()() TsnTs Ts F sttTtnT ee e L 1 ( ) ( )() ( )() s e F stt s stt L 其其收收敛敛域域为为整整个个 平平面面，比比和和的的收收敛敛域域都都宽宽 2 ( )( )()( )f tgtttF s 已已知知矩矩形形脉脉冲冲，求求。

15、 例例5-2-25-2-2 四四s s域平移特性域平移特性 0 0 ( )e(),R ( e( )R )( e() ) Re( ) a s t a f tF f tF ss ssss L L若若，则则 0 ( )( )() aa s ts tst a f t ef t eedtF ss L 证明：证明： 同理：同理： 0 ( )(),Re( )Re() a s t aa f t eF ssss 该性质在利用该性质在利用s域法求系统时域呼应采用拉普域法求系统时域呼应采用拉普 拉斯反变换时经常用到。拉斯反变换时经常用到。 例5-2-4 0 ecos t t 求的拉普拉斯变换 0 22 0 :cos

16、( ) s tt s L已已知知 2 0 20 )(cose s s tt t 所以 2 0 2 0 0 )(sine: s tt t 同理 000 0( ) ststst ft edtft esft edt fsF s 五时域微分特性五时域微分特性 0 0 0 ( )( ),Re( ) ( )( )()Re( )f t f tF ss sF sfs L L ，收收敛敛 若若，则则 域域为为或或更更大大 推行：推行： 证明：证明： 2 1 1 0 00 00 0 ( )() ( )( )()() ( )()() ( )( )() n nnnmm m fts sF sff s F ssff ft

17、s F ssf L L 六时域积分特性六时域积分特性 0 ( )( ),Re( )f tF ssL若若，则则 1 1 0 0 0 ()( ) ( )( ), Re Re t fF s ftfd ss ss LL 收收敛敛域域至至少少为为与与的的重重叠叠部部分分 推行：推行： 1 1 0 0 0 ()( ) ( ), Re Re m n n nn m m fF s ft ss ss L 收收敛敛域域至至少少为为与与重重叠叠的的部部分分 时域积分特性证明时域积分特性证明 证明：证明： 0 0 tt fdfddf 000 00 0 0 1 11 ( ) tt st st t st st fdfded

18、t e fdf t edt ss f t edtF s ss L 1 1 0()( ) ( )( ) t fF s ftfd ss LL 1 0 1 0 0 f fdf s LL 25252 0 36 411 3 1241 52 6 2 25 0 0 113 0 321 3 0 1 0 ( )( ),( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ),( )( ) ()( ) ( (), ( ) ( ( ) ) ) () t t F sf tsF sF sf tsF s f tfx dxfF sf sss f tfx dx F sF sf tf tf tf t s fF s LLL L L

19、L LL L L 但但 1 0( ) s s 微分特性微分特性 对奇特函数运用微分积分特性对奇特函数运用微分积分特性 例5-2-5 求三角脉冲的象函数教材例5.2-7 1 2 2 2 22 12 2 2 2 22 2 2 2 1 2422 1 000 12 1 2 () ( ) () ()() () ( )() ( )() ( )() ( ) ( )() ,()() () ()( )( ) ss s s ftft f tft ftft t F seee ff e ftftF s ss LL 令令， 则则 由由于于， 据据时时移移特特性性 再再用用积积分分特特性性 且且， 得得 七卷积定理七卷积

20、定理 1212 12 ( )( )( )( ) ( )( ) f tf tF s F s F sF s L， 收收敛敛域域至至少少为为、收收敛敛域域的的公公共共部部分分 1212 12 1 2 1 2 ( )( )( )( ) ( )() cj cj f tftF sF s j FF sd j L 12111 222 ( ),( )( )( ) Re( ) ( )( ) Re( ) f tftf tF ss ftF ss L L 设设为为因因果果函函数数，若若， ，则则有有 证明略证明略(1) 时域卷积定理时域卷积定理 1212 Re( ),Re( )scs (2) 复频域卷积定理复频域卷积定

21、理证明略证明略 时域卷积定理是时域卷积定理是 系统复频域分析系统复频域分析 的实践根底的实践根底 八八s s域微分和积分特性域微分和积分特性 0 ( )( ),Re( )f tF ss若若，则则 0 0 0 ( ) ( ),Re ( ) ( ),Re ( ) ( ),Re n n n s dF s tf ts ds d F s tf ts ds f t Fds t 收敛域不变收敛域不变 证明略证明略 0 0 2 0 0 0 00 000 lim ( )( ) ( )( ) Re ( )()lim( ) lim( )()lim( )() lim( )()lim( )()( ( ) ) ts ts

22、 ts f tfsF s f tt f ftfs sF sf ftfs s F ssf tF ss f 若若及及其其对对应应的的各各阶阶导导数数不不包包含含及及冲冲激激偶偶，且且 ， 则则有有 九初值定理九初值定理 初值定理证明初值定理证明 0 ( )( )sF sfftL 0 ( ) st ft edt 0 00 ( )( ) stst ft edtft edt 0 0 ( )( ) st sF sfft edt所所以以 00 0 lim( )( ) lim stst ss ft edtftedt又又 由时域微分特性可知由时域微分特性可知 0 00 ( ) st ffft edt 0 lim

23、( ) s sF sf 所所以以 2 00 00 0 ()lim( )() ()lim( )()() s s fs sF sf fs s F ssff 同同理理可可证证 0( )() F s f tf （1 1）初初值值定定理理提提供供了了一一种种直直接接基基于于象象函函数数求求信信号号 的的时时域域初初值值的的方方法法 0 ( )( ) ( )() F sf tt F s tf （2 2）若若不不是是真真分分式式，即即中中含含有有或或其其导导数数， 则则应应把把化化为为真真分分式式后后才才能能利利用用初初值值定定理理。此此时时 得得出出的的将将是是不不包包括括或或其其导导数数在在内内的的初初

24、值值 10 ( )( ),() m n m n F sF skskmn 11 0()lim( )lim( ) ss fs F ssF s 说说 明明 例例5-2-65-2-6 即单位阶跃信号的初始值为1。 1 :( ), (0 )?F sf s 已知求 1)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 例例5-2-75-2-7 2 0 1 ( ),()? s F sf s 求求不不包包含含冲冲激激在在内内的的 2 1 2 1 2 ss s sF因为因为 2 02 1 ()lim( )lim ss fs F ss s 所所以以 2 1 1 2 lim 1 2 lim s s s ss (0

25、)2f 所以， 项项中中有有ttf 2 00 0 0 ( )( )lim( ) ( ( )lim( ) )( ) Re( ) s t f ttff t f tF ss fsF s 若若当当时时极极限限存存在在，且且 ， 则则有有 十终值定理十终值定理 0 0 ( )( ) st sF sfft edt 000 0 lim( )lim( ) st ss sF sfft edt 0)(lim0ftff t 证明：证明： 根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式 )(limtf t e-st=1 (s0 ( )( ) F s f tf （1 1）终终值值定定理理提提供供了了一一种种直

26、直接接基基于于象象函函数数求求信信号号 的的时时域域终终值值（稳稳态态值值）的的方方法法 00sssF s（2 2）终终值值定定理理是是取取的的极极限限，因因而而应应在在的的 收收敛敛域域内内，否否则则不不能能应应用用终终值值定定理理 说说 明明 ( ) sF sj（3 3）终终值值存存在在的的条条件件：在在右右半半平平面面和和轴轴 原原点点 除除外外 上上无无极极点点 求拉普拉斯逆变换的三种主要方法求拉普拉斯逆变换的三种主要方法 部分分式展开法部分分式展开法 F(s)的两种特殊情况的两种特殊情况 一求拉普拉斯逆变换的三种主要方法一求拉普拉斯逆变换的三种主要方法 (1)(1)部分分式展开法部分

27、分式展开法 (2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法 (3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机 本节主要引见部分分式展开法本节主要引见部分分式展开法 二部分分式展开法二部分分式展开法 1 110 1 110 ( ) ( ), ( ) mm mm nn n b sbsb sbB s F smn A ssasa sa 有理真分式象函数的普通方式有理真分式象函数的普通方式 0 0 0 ( ) ( ) ( )() ( )( ) ) ) (A s B A s F s F s F sF s s 式式中中分分母母多多项项式式称称为为特特征征多多项项式式，方方程程 称称为为特特

28、征征方方程程，其其根根称称为为特特征征根根，也也称称 零零点点 为为的的 （因因为为在在这这些些点点。而而方方程程的的根根称称为为 的的（ 极极 在在这这 点点 因因为为些些点点。 F s 的的特特征征方方程程与与求求解解线线性性常常系系数数微微分分方方程程时时的的 特特征征方方程程在在形形式式上上完完全全一一致致，详详 注注意意： 见见下下一一节节 ( )( )F sF s利利用用的的零零点点和和极极点点，可可以以把把表表示示为为因因式式形形式式 12 12 ()()()( ) ( ) ( )()()() mm n bsssB s F smn A sspspsp ， 12 , m F s 其

29、其中中，是是的的零零点点， 12 , n p ppF s是是的的极极点点。 F s求求出出的的极极点点 F s将将展展开开成成部部分分分分式式 求求每每个个部部分分分分式式的的拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换 用部分分式法求拉普拉斯逆变换的普通步骤用部分分式法求拉普拉斯逆变换的普通步骤 ( )f t 各各部部分分分分式式拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换之之和和 F(s)的极点为互不相等的实数的极点为互不相等的实数 123 , n pppp为为不不同同的的实实数数 12 ( ) ( ) ()()() n B s F s spspsp ， 12 12 ( ) in in KKKK F s spspspsp

30、 F s则则可可以以展展开开为为如如下下部部分分分分式式形形式式 12 12 ( )() ( ) in p tp tp tp t in f tK eK eK eK et 其其中中， ( ) ( )lim ( ) i i iii sp sp B s KspF ssp A s 例例5-3-1 5-3-1 (1)(1)找极点找极点 )3)(2)(1( 332 2 sss ss sF (2)(2)展成部分分式展成部分分式 312 123 KKK F s sss 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 2 32 233 6116 ( )( ) ss F sf t sss 求求的的原原函函数数

31、 23 56 :( )(eee) ( ) ttt f tt得得 (3)(3)逆变换逆变换 求系数求系数 1 e a s t a t ss L根根据据 1 1K 所所以以 1, 1ss 对等式两边同乘以且令 312 1 1 1 123 () s KKK sK sss 右右边边 1 1()( ) s sF s 左左边边 2 1 233 11 123 () ()()() s ss s sss 2 2 25:()( ), s KsF s 同同理理 33 36()( ) s KsF s 156 ( ) 123 F s sss 所以 F(s)有共轭单极点有共轭单极点 2 = ( ) ( ) ()()( )

32、 B s F s sjsjA s 122 2 ( ) ( ) ( ) KKB s F s sjsjA s F s则则可可以以展展开开为为 2 2 ( ) ( ) B s A s j 其其中中可可以以根根据据其其极极点点的的情情况况作作进进一一步步展展开开，这这里里 只只考考察察其其共共轭轭单单极极点点，取取 12 1( ) KK F s sjsj 21 22 2 * ( )() ( )() saj B sBaj KK sajA sjAaj 111 1 2 2 ()() ( ) cos() ( ) cos()sin ( ) ()( ) jjtjj t t t f t K ett eCtDtt K

33、 e eK eet 1121 jj KK eCjDKK eCjD 记记，则则可可以以直直接接写写出出, , 因因此此 1 22 2 ( )() ( )() saj B sBaj K sajA sjAaj 例5-3-2 2 2 3 225 ( )( ) ()() s F sf t sss 求求的的逆逆变变换换 )2)(2j1)(2j1( 3 2 sss s sF 312 12122jj KKK sss 02, , 1 取取 3 2 7 2 5 () s KsF s 5 2j1 )2j1)(2( 3 2j1 2 1 s ss s K 12 55 ,CD 2 724 22 555 eecosesin

34、( ) ttt f tttt F(s)有有r重极点重极点 12 ( ) ( ) ()( ) r B s F s spA s 111212 1 1112 ( ) ( ) ()()( ) r rr KKKB s F s spspspA s F s则则可可以以展展开开为为 2 2 ( ) ( ) B s r A s 只只考考察察其其 重重极极点点部部分分( (但但求求系系数数时时应应把把考考虑虑在在内内) )， 取取 11121 1 1 111 ( ) ()() r rr KKK F s spspsp 1 11111211 1 2 111 2 ()( )()() ( ) ()() ( ) ri i

35、rr r spF sKsp KspK B s spKsp A s 求求系系数数 1 121 ()( ) r sp d KspF s ds 1 111 ()( ) r sp KspF s 2 11211 2 2 111 2 1 1 ()( )()() ( ) ()()() ( ) ri i rr r d spF sKispK ds B sd rspKsp dsA s 1 1 11 1 1 1 ()( ) ()! i r i i sp d KspF s ids 同同理理可可得得， 1 1 11 1 1 11 1 - ( )( ) ()()! rr p tr i ii ri ii KK f ttet

36、 spri L所所以以， 1 11 11 1 11 1 11 1 - - ( ) ()! ( ) ()! n n p tn n tt sn tet sn s p L L 由由 域域平平移移特特性性， （） 1 1 ! ( )( ) n n n ttt ss LL 积积分分特特性性 000 0 1 20( )!( ), , ,( ) tt ni t n ttnx dxintt 重重积积分分 且且均均有有 求求原原函函数数 例5-3-3 2 2 21 ( )( ) ()() s F sf t ss 求求的的原原函函数数 2 2 2 2 1 13 21 () ()() s ds ks dsss 2

37、2 1 2 1 11 21 () ()() s s ks ss 312 2 112 ( ) () kkk F s sss 展成部分分式展成部分分式 求系数求系数 2 3 2 2 24 21 () ()() s s ks ss 2 134 112 ( ) () F s sss 12 34( )( )eee( ) ttt f tF stt L 求原函数求原函数 三三F(s)的两种特殊情况的两种特殊情况 假分式假分式 化为真分式多项式化为真分式多项式 23 795 )( 2 23 ss sss sF 作长除法作长除法 2 3s 462 772 23 79523 2 2 23 232 s ss ss

38、sss sssss 1 3 2 12 2( )( ) s F ssF s ss s 2 1 1 2 )( 1 ss sF 2 22e( )e( ) tt ttf ttt 含含e-s的非有理式的非有理式 2 1 1 1 )( 1 ss sF e s 项项不不参参加加部部分分分分式式运运算算，求求解解时时利利用用时时移移性性质质 s s sF ss 2 1 2 2 e)( 23 e 12 11 ( )( )( ) tt f tF seet L所所以以 222 1 22 ()() () tt f tfteet 所所以以 用拉普拉斯变换求解微分方程用拉普拉斯变换求解微分方程 系统函数系统函数 系统的系

39、统的s s域框图域框图 拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换与傅里叶变换 一用拉普拉斯变换求解微分方程一用拉普拉斯变换求解微分方程 00 LTI ( )( ) ( )( ) nm ij ij ij a ytb ft 系系统统的的微微分分方方程程: : 1 1 0000 0 () ( )()( ) nnim iippj iij iipj a sY sasyb sF s 即即 LTI系统微分方程的拉普拉斯变换系统微分方程的拉普拉斯变换 0 000 1LTI ( ) ( )( ),( )( )( ) ()(, ,), j y tY sf tF sf tt fjm LL 设设。并并设设在在时时刻刻 接

40、接入入，对对系系统统微微分分方方程程两两边边 进进行行拉拉普普拉拉斯斯变变换换，得得 1 1 000 0 () ( )()( ) nim iippj ij ipj as Y ssyb sF s 1 1 0000 0 () ( );()( );( ) nnim iippj iij iipj a sA sasyM sb sB s 设设 0 () ( ): ( ):() ( )( ): i p i i A sa M say B s F sb 微微分分方方程程的的特特征征多多项项式式，仅仅与与系系数数 有有关关； 仅仅与与系系数数 和和初初始始状状态态有有关关, ,与与激激励励无无关关； 仅仅与与系系

41、数数 和和激激励励有有关关，与与初初始始 其其中中， 状状态态无无关关； s域的零输入和零外形呼应域的零输入和零外形呼应 ( )( ) ( )( ) ( )( ) M sB s Y sF s A sA s 即即 ( ) ( )( )( )( )A s Y sM sB s F s则则 0 00 () ( )( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) f p f B s F sYs M sy A s yt ，即即时时，记记 它它仅仅与与激激励励有有关关而而与与初初始始状状态态无无关关，因因而而对对应应于于 零零状状态态响响应应的的象象函函数数 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) x x

42、M s Ys A s yt F s时时，记记 它它仅仅与与初初始始状状态态有有关关而而与与激激励励无无关关，因因而而对对应应 零零输输入入 于于 响响应应的的象象函函数数 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) xf M sB s Y sF sYsYs A sA s 即即 11 1 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xf y tY sYsYs M sB s F s A sA s LL L LTI系统的时域全呼应系统的时域全呼应 562 01015 ( )( )( )( ) (),(),( )cos( ) y ty ty tf t yyf ttt y t

43、 已已知知L LT TI I系系统统， 初初始始状状态态 激激励励， 求求全全响响应应。 例5-4-1 (1)求求微微分分方方程程的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换 22 00502 5656 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ()()() ( ) xf M sB s Y sYsYsF s A sA s syyy F s ssss 526( )( )( )(yf tyy ttt 2 0505062 ( )()( )()( )( )sYs Y ssyyysFYss 4411 22 2143 2233 ( ) jj Y s ss ee sjsssj (2)求求激激励励的的拉拉普普拉拉

44、斯斯变变换换 2 5 5 1 ( )cos( ) s F stt s L (3)全全响响应应的的象象函函数数 2 2 2 5 23 4 13 ( ) () ( )( ) ()() xf s Ys s s Y sYs ssss 部部分分分分式式展展开开，得得 强强迫迫响响应应的的象象函函数数 ( ) f Ys零零状状态态响响应应 自自由由（固固有有）响响应应的的象象函函数数 ( ) x Ys零零输输入入响响应应 2233 422 4 3c( )( )os() tttt y tteeeet (4)全全响响应应 强强迫迫响响应应 ( ) f yt零零状状态态响响应应 自自由由（固固有有）响响应应 (

45、 ) x yt零零输输入入响响应应 23 222 4 ( )cos()( ) tt y teett LTI（1 1）系系统统微微分分方方程程的的特特征征根根就就是是其其固固有有响响应应象象函函数数 的的极极点点，所所以以其其固固有有响响应应的的模模态态完完全全由由其其象象函函数数的的极极点点 所所决决定定 小结小结 0 , s t （3 3）如如果果固固有有响响应应的的所所有有极极点点都都在在 左左半半平平面面，即即极极点点均均 具具有有负负实实部部，则则当当系系统统的的固固有有响响应应，此此时时系系统统 为为稳稳定定系系统统 LTI （4 4）需需指指出出，拉拉普普拉拉斯斯变变换换在在实实际

46、际应应用用中中的的主主要要意意义义并并不不 在在于于利利用用它它来来求求系系统统的的响响应应，而而在在于于它它建建立立了了系系统统时时域域特特 性性与与复复频频域域表表示示之之间间的的关关系系（尤尤其其是是极极点点），从从而而提提供供了了 一一个个分分析析和和设设计计实实际际系系统统的的有有效效工工具具系系统统函函数数 ( )F s（2 2）强强迫迫响响应应的的模模态态完完全全由由外外加加激激励励的的象象函函数数的的极极点点 确确定定 二二. . 系统函数系统函数 00 LTI ( )( ) ( )( ) nm ij ij ij a ytb ft 系系统统微微分分方方程程的的一一般般形形式式为

47、为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ),( ), ( ) f ttF s B s Y s A s 若若激激励励即即且且系系统统为为零零初初始始状状态态，则则可可得得 ( )( ) ( )( ) ( )( ) M sB s Y sF s A sA s 响响应应的的象象函函数数： ( ) ( )( )( ) ( ) B s Y sh tH s A s L 显显然然，此此时时的的响响应应为为单单位位冲冲激激响响应应，即即 LTI ( )( ) ( ( ) ) f YsH s F s H s 系系统统函函数数只只与与描描述述系系统统的的微微分分方方程程系系数数有有关关，即即只只与与系系统统的的 结结

48、构构、元元件件参参数数等等有有关关，而而与与外外界界因因素素（激激励励、初初始始状状态态等等） 无无关关。 对对于于系系统统函函数数为为的的系系统统，其其零零状状态态响响应应的的象象函函数数为为 LTI ( ) ( ) ( ) B s H s A s 就就称称为为原原微微分分方方程程所所描描述述的的系系统统的的系系统统函函数数 ( ) ( ) ( ) f Ys H s F s 即即 因因此此，系系统统函函数数还还描描述述了了系系统统输输入入输输出出象象函函数数之之间间的的 一一种种变变换换关关系系，故故系系统统函函数数也也常常称称为为传传递递函函数数 11 ( )( )( )( )( )*(

49、) ( ) ff ytYsH s F sh t f t f tLL 系系统统在在激激励励下下的的时时域域 零零状状态态响响应应 系系统统函函数数进进一一步步表表明明了了微微分分方方程程的的（即即系系统统函函数数的的 对对系系统统特特性性的的主主导导作作用用。关关于于系系统统函函数数的的零零、极极点点对对系系 统统特特性性的的影影响响将将在在第第七七章章进进 特特征征根根 ）极极点点 一一步步阐阐述述。 223 ( )( )( )( )( )y ty ty tftf t h t 已已知知L LT TI I系系统统， 求求系系统统的的冲冲激激响响应应。 例5-4-2,教材例5.4-5 求求微微分分

50、方方程程零零状状态态下下的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换 2( )(cossin )( ) t h tettt 222 312 221111 ( ) ()() ss H s ssss 2 223( )( )( )( )( )s Y ssY sY ssF sF s 三、系统的三、系统的s s域框图域框图 表5-2 s通通常常考考虑虑零零状状态态条条件件下下的的 域域框框图图 例5-4-3，教材例 5.4-6 ( )( ) ( )( ) ah t f tt 如如图图时时域域框框图图所所示示系系统统，求求系系统统冲冲激激响响应应和和 时时的的零零状状态态响响应应 2 2 2 2 32 32 33 3 32 321 32 2 1 1 2 2 2 1 ( )( ( ) ()( )( ) ()( )( ) ( )( )( )()( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) f f t s X ssX sX sF s ssX sF s YssX sX ssX s s YsF sH s F s sb ss s H s sss t s hee ：系系统统的的 域域框框图图（零零状状态态）如如图图所所示示。 由由左左端端加加法法器器可可得得 即即 由由右右端端加加法法器器可可得得 由由 、 两两式式解解得得 则则 故故冲冲激激响响