18二次函数的图象和性质1

1、2010中考数学分类汇编 一、选择题1（2010安徽蚌埠）已知函数，并且是方程的两个根，则实数的大小关系可能是 A B C D【答案】D2（2010安徽省中中考） 若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）A）0.5 B）0.1 C）4.5 D）4.1【答案】C3（2010甘肃兰州） 二次函数的图像的顶点坐标是 A（-1，8） B（1，8） C（-1，2） D（1，-4）【答案】A4（2010甘肃兰州） 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2【答案】B

2、5（2010甘肃兰州） 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为xxxxx第15题图【答案】D6（2010江苏盐城）给出下列四个函数：；时，y随x的增大而减小的函数有A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C7（2010山东烟台）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为【答案】D 8（2010台湾）坐标平面上有一函数y=24x2-48的图形，其顶点坐标为何？ (A) (0，-2) (B) (1，-24) (C) (0，-48) (

3、D) (2，48) 。【答案】C 9（2010台湾） 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？ (A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。【答案】D 10（2010浙江杭州）定义为函数的特征数, 下面给出特征数为 2m，1 m , 1 m 的函数的一些结论： 当m = 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； 当m 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m 时，y随x的增大而减小； 当m 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A

4、. B. C. D. 【答案】B11（2010 嵊州市）已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( )A. B. C. D.、大小关系不能确定【答案】C 1210（2010 浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为() yxO（第10题） A3 B1 C5 D8 【答案】D13（2010浙江金华） 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，3） ,那么该抛物线有（ ）A. 最小值 3 B. 最大值3 C. 最小值2 D. 最大值2【答案】B 14（20

5、10 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）A3B2C1D0【答案】B 15（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x0时，y随x的增大而增大的是（）Oyx11AOyx11COyx11DOyx11B【答案】C 16（2010 浙江衢州） 如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）(第10题)ABCDABCD【答案】C 17（2010江苏泰州）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 二、填空题1（2010安徽蚌埠）已知抛物线经过点A(4

6、,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为。 【答案】2,-62（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，1)的一个函数关系式 【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x，答案不唯一3（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 .【答案】1x34（2010浙江宁波） 如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当P与轴相切时，圆心P的坐标为 .【答案】或(对一个得2分)5（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y12x2向右平移

7、2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线xt平行于y轴，分别与直线yx、抛物线y2交于点A、B若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t Pyx【答案】（1）2(x2)2 或 （2）3、1、6（2010浙江金华）若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ；y(第15题图)Ox13【答案】-1三、解答题1(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4) (1)求抛物线的解析式； (2)设M(m，n)是抛物

8、线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM228是否总成立?请说明理由【答案】2（2010广东广州，21，12分）已知抛物线yx22x2（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小【答案】解：（1）x1；（1，3）（2）x10123y12321（3）因

9、为在对称轴x1右侧，y随x的增大而减小，又x1x21，所以y1y23（10湖南益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为，连结C、D，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.【答案】解： 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，解得抛物线的解析式为4分 的坐标为 5分直线的解析式为直线的解析式为由求得交点的坐标为 8分连结交于，的坐标为又，且四边形是菱形12分4（2010江苏南京）

10、（7分）已知点A（1，1）在二次函数图像上。（1）用含的代数式表示；（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。【答案】5（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由AxyOB【答案】解：

11、（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点(1分)当a0时，=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=x2+x+1（3分） （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PCx 轴于点C是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）（4分）以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PBAB 则PBC=BAO RtPCBRtBOA ，故PC=2BC，（5分）设P点的坐标为(x，y)，ABO是锐角，PBA是直角，PBO是钝角，x-2BC=-2-x，PC=-4-2x，即y

12、=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，-4-2x=x2+x+1（6分）解之得：x1=-2，x2=-10x PQ时，则点P在线段OC上， CMPQ，CM = 2PQ ，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，t = + 0 2 = 2 . - 2分2）当CM PQ时，则点P在OC的延长线上， CMPQ，CM = PQ，点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，解得： x = . -2分 当x = 时，得t = 2 = 8 , 当x=时， 得t =8. -2分15（2010浙江嘉兴）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A

13、，交y轴于点B（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设（）是直线上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值（第24题）【答案】（1）令，得，即，解得，所以令，得，所以设直线AB的解析式为，则，解得，所以直线AB的解析式为 5分（2）当点在直线AB上时，解得，当点在直线AB上时，解得所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则 4分（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上），解得当时，直

14、线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，（第24题）此时，又，所以，从而，因为，所以当时，当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，（第24题 备用）此时，又，所以，即其中当时，综合得，当时， 5分16（2010浙江宁波）如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积.(第20题)【答案】 解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入 得: 1分 解得 这个二次函数的解析式为. 3分 (2) 该抛物线对称轴为直线 4分 点C的坐标为(4，0)

15、AC=OCOA=42=2 6分17（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是2.第24题图 （1）求的值及点B的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点的直线为,且与x轴交于点N. 若过DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； 若与DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.【答案】解：（1） 点A在抛物线C1上， 把点A坐标代入得 =1. 抛物线C1的解析式为, 设B(2,b)， b4, B(2,4) . （2）如图1， M(1, 5)，D(

16、1, 2), 且DHx轴， 点M在DH上，MH=5. 过点G作GEDH,垂足为E,第24题图1由DHG是正三角形,可得EG=, EH=1， ME4. 设N ( x, 0 ), 则 NHx1,由MEGMHN,得 , , , 点N的横坐标为 第24题图2 当点移到与点A重合时,如图2，直线与DG交于点G,此时点的横坐标最大过点,作x轴的垂线,垂足分别为点,F,设（x，0）， A (2, 4), G (, 2), NQ=，F =, GQ=2, MF =5. NGQNMF， ,第24题图3图4 , . 当点D移到与点B重合时,如图3，直线与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小. B(2, 4)

17、, H(2, 0), D(2, 4),设N（x，0）， BHNMFN， ， , . 点N横坐标的范围为 x. 18（2010 嵊州市提前招生）（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示：抛物线经过点B。（1）写出点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请

18、说明理由。【答案】（1）B（3，1） （2） （3）略 （4）P（1，1）19（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。连结OB，AB (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：OAB是等腰直角三角形； (3)将OAB绕点0按顺时针方向旋转l35得到0AB，写出0AB的中点 P的出标试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由【答案】20（2010 浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、C

19、B以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）用含S的代数式表示，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，

20、请求出t的值；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）对称轴：直线解析式：或 顶点坐标：M（1，） （2）由题意得 3得： 得： 把代入并整理得：(S0) (事实上，更确切为S6)当时， 解得： 把代入抛物线解析式得 点A1（6，3）（3）存在 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为CBAOyx图1-1DMEPQFGBD=5，DE=，DP=5t，DQ= t 当时， 得 2分 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G当时，如图1-1 FQEFAG FGAFEQ DPQDEB 易得DPQDEB 得 (舍去)3分CBAOyx图1-2DMEFP

21、QG 当时，如图1-2FQEFAG FAGFQE DQPFQE FAGEBDDQPDBE 易得DPQDEB ， 当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似4分 (注:未求出能得到正确答案不扣分) 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 , , , .21（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰的顶点在第四象限，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止 （1）

22、求在运动过程中形成的的面积与运动的时 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边的边上（点除外）存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图(2)，现有，其两边分别与， 交于点，连接将绕着 点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由【答案】解：（1）过点作于点（如图）26题答图， ， 在Rt中，（1分） （）当时，,；过点作于点（如图） 在Rt中，26题答图 即 （3分） （）当时，（如图），即故当时，当时，（5分）26题答图（2）或或或（9分）（3）的周长不发生变化延长至点，使，连结（如图），（10分） 又 （11分）的周长不变，其周长为4（12分）22（2010重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否