弹塑性力学试题

1、考试科弹塑性力学试题班号 研 班姓名 成绩一、概念题（1）最小势能原理等价于 弹性力学平衡微分 方程和 静力边界条件， 用最小势能原理求解弹 性力学近似解时，仅要求位移函数满足 已知位移 边界条件。（2）最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件， 用最小余能原理求解弹性力 学近似解时，所设的应力分量应预先满足 平衡微分 方程 和静力 边界条件。（3）弹性力学问题有 位移法和应力法两种基本解法， 前者以位移为基本未知量， 后者以 应 力为基本未知量。二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：urA2 2C ,r1 E 2 rA(1 1E r 1AA2 2C , r 0

2、r) 2Cr(1利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，的应力和位移分量的解。 解：边界条件为：r a 时： r p ； r0 。r b 时： ur 0 ； u 0 。将上述边界条件代入公式得：A2 2C p a厚壁圆筒承受内压 p 作用，试求该问题pur r b1bA(1 1) 2Cb(1)01pa2b2 1 2解上述方程组得：AAb2 1 2a22pa22b2 1 2a2 则该问题的应力和位移分量的解分别为：pa2b2 1 2 1 pa2rb2 1 2a2 r 2 b2 1 2a2pa2b2 1 2 1pa2b2 1 2a2 r2 b2 1 2a2r0ur12Epa2b2(1 2 )

3、 ra2 b2 (1 2 )2pra a2 b2(1 2 )u0三、已知弹性半平面的o 点受集中力2P3 xx2 2 2(x2 y2)2y2P2 xy(x2 y2 )22P2 xyxy(x2 y2)2n个集中力 pi 构成的力系，y利用上述解答求在弹性半平面上作用着这些力到所设原点的距离分别为yi , 试求应力 x , y , xy 的一般表达式。y解：由题设条件知，第 i 个力 pi 在点（ x， y）处产生的应力将为：2P3 xax a 2 y y i222Px a y yi2x a y yi222P2x a y yix a 2 y yi22xy ixyyi故由叠加原理， n 个集中力构成

4、的力系在点(x，y)处产生的应力为：xnxi2Pni1i1ynyi2Pni1i1xynxyixy2Pni1i1x a 2 y yi 2x a 2 y yi 2x a y yi 2 x a y yix a 2 y yi3 xa2四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为 l ，抗弯刚度 EI 为常数，弹簧系数为 k , 承 受分布荷载 q(x) 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力 边界条件。2dx解：第一步：全梁总应变能为： U vwdv 21 0lEI ddxw2l 1 2外力做功为： T qwdx kw2 |x l1l总势能为： U T EI20d 2wdx22

5、l 1 2 dx qwdx kw |x l第二步：由最小势能原理可知：0等价于平衡微分方程和静力边界条件。d 2wl 1 22 dx q wdx kw |x l1 0 EI20ldx q wdx kw w |x l0l EI ddx2w20 dx 2*）其中 0 EI ddxw2ld 2wdx0EI dx2 dx dxdw dx将其代入（ * ）式并整理可得：EIdw |l0 l dx |0 0EIddxwEIddwx |l0|l0ld0dx EI dx2 dxdw dxdx2 EI dx2 q wdxd EI d w2w |l0 kw w |l0 0dxdx 22所以平衡微分方程为：q( x

6、) 0由于当 x 0 时， dwdx0l ddx EI0dxwdx0 xl )静力边界条件为：kw ddx EI ddxw2xl 0d 2w20五、已知空间球对称问题的一般解为：uRARBR2R122E(1 )R3E12E(1 )R3其中 R 是坐标变量， u R是径向位移，匀内外压 qa ,q b时的解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a ，内壁受 有均匀压力 q 时的解答。解：（1）相应空心球受均匀内外压 qa ,qb 时的边界条件为：R a ： RqaR b ： Rqb将上述边界条件代入得：E121 E2122E(1 )a32E(1 )b3BqaBqb可解得：qbb3 q

7、aa3 1 2 a3 b3 Eqb qa 1a3b32a3 b3 E故空心球受均匀内外压 qa ,qb 时的解为：3 3 3 3 qbb3 qa a3 1 2qb qa 1 a3b3uRb a3a b3 E R b aqbb3 qa a3qb qa a3b312 a3 b3 ER2a3 b3a 3 b3qbb3 qaa3 qb qa a3b33 3 3 3a b2 a b1R31R32）当无限大体中有球形孔洞， 半径为 a ，内壁受有均匀压力 q时，即在上式中令 qa q 、qa3 1 uRqb 0、 b，则可得：2ER23 qa R33 qa 2R3六、已知ij , jFi 01ij2 (u

8、i, j u j,i )ij e ij 2 ij 推导以位移分量表示的平衡微分方程。1解：由 ij (ui, j u j,i) 得21e kk2 (uk,k uk,k ) uk,k将上述两式代入 ij e ij 2 ij ，得到ij ji uk,k ij ui,j u j,i 代入 ij , j Fi 0 得uk,kj ij ui,jj u j,ijFi0而 uk,kj ij uk,kiuj,ji ， uj,ji uj,ij故平衡方程可写成ui ,jjuj ,ji Fi 0i , jj j , ji ie 222由因为 uj,ji (uj,j)i (e),i； ui,jj (ui),jj (

9、2 22)uiuixix2y 2 z2所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：2ui ( ) e Fi 0 。xi七、证明弹性力学功的互等定理(用张量标记) 。证明：(1)先证可能功原理 考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的 联系。第一状态全用力学量( Fi s 、 Pi s 、 ij s )来描述，它在域内满足平衡方程ij, j s Fi s 0并在全部边界条件上满足力的边界条件：ij s j Pi s第二状态全用几何量( ij k , ui k )来描述。它在域内满足几何方程ij k12(ui,j k uj,i k )从而利用力的边界条件和高斯积

10、分且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。 定理，可得SPi suik dS S ij sui k jdS V ij suik ,jdV V ij,j sui kdV V ij sui,jkdV利用平衡方程，式( * )右端第一项可化为V ij,j sui k dV V Fi sui k dV 第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成V ij sui,j kdVV ij s 21 (ui, j k ui,j k )dVV ij s 1 (ui,j k u j,i k )dV V ij s ij k dV即式( * )成为SPi sui kdS VFi suik dV V ij s i

11、j kdV V Fi s ui k dV S Pi s u i k dS V ij s ij k dV V S V式(* )即为可能功原理。Fi 1 和 Pi 1 ， 相应的应 力 、 应 变 状 态 为 ij 1 , ij 1 , ui 1 ； 第二 状 态 则 为 Fi 2Pi 2 和2)考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为ij 2 , ij 2 , ui 2 。由于都是真实状态， 所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可 能状态，且都满足广义虎克定律ij Cijkl kl根据可能功原理（令 s=1、 k=2）有VFi1ui 2dV SPi1ui 2dS V ij 1

12、ij 2dVVFi 2ui1dV SPi 2ui1dS V ij 2 ij1dV对于线弹性体，有弹性张量的对称性得ij ijCijkl kl ijC klij ij klkl 2 kl 1 ij 2 ij 1kl即积分后（ a）（ b）两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到VFi 1ui 2dVSPi 1ui 2 dS VFi 2ui1dVSPi 2ui1dS八、证明受均匀内压的厚壁球壳， 当处于塑性状态时， 用 Mises 屈服条件或 Tresca 屈服条件 计算将得到相同的结果。证明： 1、厚壁球壳的弹性应力分布（采用球坐标系）d平衡方程：d r 2 r几何方程：dr du dr物理方程 ：(1 )(1 2 ) 1 r 2 Er(1 )(1 2 ) rdu du 2u 0 ，特征方程为： k 2 k 2 0 dt dtBu Aet Be 2t Ar 2r2解得：引入边界条件： r |r ap1 ，r |r b 0 可得：a3 r 3 b3r r3 b3 a3 p3 3 3 a 2 r b 2r3 b33