黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期第三次模拟考试试题文₍含解析₎

1、黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已集合Ax|x22x0，Bx|0lgx1，Cx|x，若（AB）Cx|0x3，则a的值为（）A1B3C6D82已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）log2（x+1）+ax，且f（3）a，则a（）ABClog23D23刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）ABCD4三年

2、前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：cm）的社会实践活动利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数则估计的中位数为（）A21.25B22.75C23.25D20.255“xy0”是“ln（x+1）ln（y+1）”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知，则（）ABCD7一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中

3、可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）ABCD8函数f（x）+1的大致图象为（）ABCD9已知m为常数，在某个相同的闭区间上，若f（x）为单调递增函数，f（x+m）为单调递减函数，则称此区间为函数f（x）的“mLD”区间若函数f（x）3sin（2x），则此函数的“LD”区间为（）Ak，k+（kZ）Bk+，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）10已知直线y2x+m与圆x2+y21相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且，则实数m的取值范围是（）A（，+）B（，）C（，+）D，11已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，点M为此渐近线上的一点，O为坐标原点双曲线C

4、的左、右顶点为A、B，焦距为2|OM|，则AMB为（）ABCD12复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y元，则yx的值为（）（参考数据：1.01512

5、1.2）A170B1200C1030D900二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，的夹角为120，|2，|1，若（+3）（2+），则 14在复平面内，已知复数z对应的点在曲线C：+y21上，则|z1|最大值是 15双曲线y21的渐近线与直线x围成的图形绕y轴旋转360，则所得旋转体的体积为 ；表面积为 16已知x表示不超过x的最大整数，例如：2.32，1.52，在数列an中，anlgn，nN+，记Tn为数列an的前n项和，则T2021 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生

6、根据要求作答（一）必考题：共60分17已知锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2bc）cosAacosC0（1）求角A的大小；（2）求cosB+cosC的取值范围18在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A，B两所同类学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80分及以上的学生为优秀学生经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生，且A学校的优秀学生占该校抽取总人数的（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与

7、教学方案有关 优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计（2）在A学校的60名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为6的样本，在6名学生中随机抽取2名同学，求2名同学都是优秀学生的概率附：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2，其中na+b+c+d）19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1AB1ABBC，D为AC的中点，ABB1D，B1BC90（1）求证：平面ABB1A1平面ABC；（2）求直线DB1与平面ABB1A1所成的角20已知抛物线C：y22

8、px（p0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，AOB（点O为坐标原点）的面积为2（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为和，证明：当+时，直线l恒过定点21已知函数f（x）lnx+mx2x的图象在点（1，f（1）处的切线为l（1）当m1时，求直线l的方程；（2）若曲线yf（x）和直线l有且只有一个公共点，求实数m的最大值（二）选考题：共10分请考生在第22、3题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，P为曲线C1：（为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原

9、来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A，B是曲线C2上不同于O的两点，且A（ 1，）、B（）；求|OA|的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）32x，g（x）2x1（1）若h（x）|f（x）|+|g（x）|，且h（x）a恒成立，求实数a的最大值；（2）若（x）+，求（x）的最大值答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已集合Ax|x22x0，Bx|0lgx1，Cx|x，若（AB）Cx|0x3，则a的值为（）A1B3C6D8解：集合Ax|x22x0x|0x2，Bx|

10、0lgx1x|1x10，ABx|0x10，Cx|x，（AB）Cx|0x3，解得a6故选：C2已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）log2（x+1）+ax，且f（3）a，则a（）ABClog23D2解：根据题意，函数f（x）为奇函数，且f（3）a，则f（3）f（3）a，又由当x0时，f（x）log2（x+1）+ax，则f（3）log24+3aa，即2+3aa，解可得a，故选：B3刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆

11、内接正六边形的概率是（）ABCD解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为R2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6R2sin；则所求的概率为P故选：B4三年前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：cm）的社会实践活动利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数则估计的中位数为（）A21.25B22.75C23.25D20.25解：由频率分布直方图可知数据落在10，20）中的频率为（0.07+0.01）50.4，中位数落在20，2

12、5）内，数据落在20，25）中的频率为0.0850.4，中位数为20+521.25故选：A5“xy0”是“ln（x+1）ln（y+1）”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由xy0，得x+1y+10，则ln（x+1）ln（y+1），反之，由ln（x+1）ln（y+1），得，即xy1“xy0”是“ln（x+1）ln（y+1）”成立的充分不必要条件故选：A6已知，则（）ABCD解：因为+，所以cos2（），cos2（），2sin2（）1，2故选：D7一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下

13、列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）ABCD解：中线段为虚线，正确，中线段为实线，正确，故选：D8函数f（x）+1的大致图象为（）ABCD解：根据题意，设g（x）exx1，其导数g（x）ex1，在区间（，0）上，g（x）0，则g（x）为减函数，在区间（0，+）上，g（x）0，则g（x）为增函数，则g（x）ming（0）0，故f（x）+1的定义域为x|x0，且f（x）1恒成立，其图像在y1上方，排除BCD，故选：A9已知m为常数，在某个相同的闭区间上，若f（x）为单调递增函数，f（x+m）为单调递减函数，则称此区间为函数f（x）的“mLD”区间若函数f（x）3sin（2x），则

14、此函数的“LD”区间为（）Ak，k+（kZ）Bk+，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）解：由题意可知，函数f（x）在“LD”区间单调递增，函数f（x+）在“LD”区间单调递减，函数f（x）3sin（2x），则令，解得，故f（x）的单调递增区间为，又f（x+），令，解得，故f（x+）的单调递减区间为，两个单调区间的公共区间为，所以此函数的“LD”区间为故选：C10已知直线y2x+m与圆x2+y21相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且，则实数m的取值范围是（）A（，+）B（，）C（，+）D，解：因为直线y2x+m与圆x2+y21相交于不同的两点A、B，所以圆心到直线的距离，解

15、得，又，所以，即，解得或，由得m（，）故选：B11已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，点M为此渐近线上的一点，O为坐标原点双曲线C的左、右顶点为A、B，焦距为2|OM|，则AMB为（）ABCD解：由题意可得渐近线yx的斜率为，即有，设M（m，n），（m，n0），可得nm，又|OM|c，即m2+n2c2，由可得ma，nb，即M（a，b），又A（a，0），B（a，0），可得ABMB，直线AM的斜率为tanMAB，可得MAB，所以AMB故选：C12复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息

16、周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y元，则yx的值为（）（参考数据：1.015121.2）A170B1200C1030D900解：由题意可得：x10000（1+1.5%）12100001.0151212000，y10000+100001.525%1211830，yx11830120001

17、70，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，的夹角为120，|2，|1，若（+3）（2+），则1解：向量，的夹角为120，|2，|1，若（+3）（2+），则 （+3）（2+）2+（+6）+324+（+6）21cos120+30，1，故答案为：114在复平面内，已知复数z对应的点在曲线C：+y21上，则|z1|最大值是 解：|z1|为曲线C：+y21上复数z对应的点到点（1，0）的距离，点（1，0）在实轴上，|z1|最大值即为点（1，0）到椭圆左顶点的距离+1，故答案为：15双曲线y21的渐近线与直线x围成的图形绕y轴旋转360，则所得旋转体的体积为4；表面积为8

18、解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：yx，与x联立可得y1，双曲线y21的渐近线与直线x围成的图形绕y轴旋转360可得几何体为一个圆柱去掉两个一个同底的圆锥，且圆柱与圆锥的底相等，且圆柱底的半径为，高为2，一个圆锥的高为1，所以V柱26，V锥22，所以旋转体的体积为：V柱V锥624；表面积为圆柱的表面积去掉两个底面积加上两个圆锥的侧面积，圆锥和圆柱的底的半径为，圆锥的高为1，所以母线长为2，所以圆锥的侧面积为：24，圆柱的侧面积为：224，所以旋转体的表面积为：48，故答案分别为：4，8，16已知x表示不超过x的最大整数，例如：2.32，1.52，在数列an中，anlgn，nN+，记Tn为数

19、列an的前n项和，则T20214956解：根据对x的定义，当1n9时，anlgn0，当10n99时，anlgn1，该区间所有项的和为90，当100n999时，anlgn2，该区间所有项的和为90021800，当1000n2021时，anlgn3，该区间所有项的和为102233066，T202190+1800+30664956故答案为：4956三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2bc）cosAac

20、osC0（1）求角A的大小；（2）求cosB+cosC的取值范围解：（1）由正弦定理知，（2bc）cosAacosC0，（2sinBsinC）cosAsinAcosC0，2sinBcosAsinCcosAsinAcosC2sinBcosAsin（A+C）2sinBcosAsinB0，sinB0，cosA，A（0，），A（2）由（1）知，B+C，锐角ABC，解得B，cosB+cosCcosB+cos（B）cosBcosB+sinBcosB+sinBsin（B+），B，B+，sin（B+）（，1，故cosB+cosC的取值范围为（，118在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A，B两所同

21、类学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80分及以上的学生为优秀学生经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生，且A学校的优秀学生占该校抽取总人数的（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关 优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计（2）在A学校的60名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为6的样本，在6名学生中随机抽取2名同学，求2名同学都是优秀学生的概率附：P（K2k0）0.150.100.050.0250.

22、0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2，其中na+b+c+d）解：（1）A学校的优秀学生人数为6040人，补充完整的22的列联表如下，优秀学生非优秀学生合计甲方案402060乙方案322860合计7248120所以K22.222.706，故不能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关（2）设2名同学都是优秀学生为事件M，A学校抽取的6名同学中，优秀学生有4人，记为A，B，C，D，非优秀学生记为E，F，从中选出2名同学，基本事件有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，C

23、D，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中事件M包含的基本事件有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，所以P（M）19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1AB1ABBC，D为AC的中点，ABB1D，B1BC90（1）求证：平面ABB1A1平面ABC；（2）求直线DB1与平面ABB1A1所成的角【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结OD，OB1，在ABA1中，B1BB1A，则OB1AB，因为ABB1D，OB1B1DB1，OB1，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，又OD平面B1OD，故ABOD，由已知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1，因为ABBB1B，AB，B

24、B1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1；（2）解：因为OD平面ABB1A1，则DB1O即为直线DB1与平面ABB1A1所成的角，因为，所以tanDB1O，又0DB1O90，所以DB1O30，故直线DB1与平面ABB1A1所成的角为3020已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，AOB（点O为坐标原点）的面积为2（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为和，证明：当+时，直线l恒过定点【解答】（1）解：根据题意可得焦点F（，0），因此可得，所以，解之可得p2，故可得抛物线的方程为：y24x（2）证明：根据题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），易知直线l的斜率存在，假设直线l的方程为ykx+m，联立抛物线方程得，ky24y+4m0，由韦达定理可得，则，又因为kOPtan，kOQtan，所以，所以当时，解得m4k+4，所以直线l的方程即为：ykx+4k+4y4k（x+4），即得直线l恒过定点（4，4）21已知函数f（x）lnx+mx2x的图象在点（1，f（1）处的切线为l（1）当m1时，求直线l的方程；（2）若曲线yf（x）和直线l有且只有一个公共点，求实数m的最大值解：（1）当m1时，f（x）lnx+x