金融工程作业一二三

1、作业1、一只股票现在价格是 100元。有连续两个时间步，每个步长 6 个月，每个单 步二叉树预期上涨 10%，或下跌 10%，无风险利率 8%（连续复利），运用无套 利原则求执行价格为 100 元的看涨期权的价值。2、假设市场上股票价格 S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报 价欧式看涨期权的价格是 3 元，试问存在无风险的套利机会吗如果有， 如何套 利3、股票当前的价格是 100 元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的 价格分别是 3元和 7元。如果买入看涨期权、 卖出看跌期权， 再购入到期日价 值为 100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可

2、以叫做合成 股票）。试问无风险债券的投资成本是多少如果偏离了这个价格，市场会发生 怎样的套利行为作业解答：1、按照本章的符号，u=,d=,r=,所以p=（ x。这里p是风险中性概率。期权的价值是：2（0. 70412x21+2xxx0+x0） = 。2、 本题中看涨期权的价值应该是 S-Xe =。显然题中的期权价格小于此数， 会引 发套利活动。 套利者可以购买看涨期权并卖空股票， 现金流是 20-3=17。 17以 10%投资一年，成为 17 =。到期后如果股票价格高于 18，套利者以 18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利 二元。若股票价格低于18元（比如17元）， 套利者可以购

3、买股票并将股票空头平仓，盈利是二元。3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。第一，若投资成本低于 96元（比如是93元），则合成股票的成本只有 97元 （7-3+93），相对于股票投资少了 3元。套利者以97元买入合成股票，以100元 卖空标的股票，获得无风险收益3元。第二，若投资成本高于 96元（比如是98元），则合成股票的成本是102元，高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来2元的无风险利润。作业二：1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入 5年期本金为2000万美元的贷 款，需支付的年利率分别为：固定利率浮动利率

4、A公司%LIBOR+%B公司%LIBOR+%A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。 请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。2. X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元,而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下:日元美元X公司%Y公司%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是 50个基点，而且要求互换 对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有 10月的期限。这笔互换规定以 6 个月的LIBOR利率交换12%的年利率（每半年计一次复利）。

5、市场上对交换6个 月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10%（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少对支 付固定利率的那一方价值为多少 作业答案：1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款 上的年利差是%在浮动利率贷款上的年利差是。 如果双方合作，互换交易每年的 总收益将是- %=%因为银行要获得 勺报酬，所以A公司和B公司每人将获得% 的收益。这意味着 A公司和B公

6、司将分别以LIBOR-呀口 13%勺利率借入贷款。合 适的协议安排如图所示。% %12% A f |金融中介-TBLIBOR+%LIBORLIBOR2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款 上的利差为%在美元贷款上的利差为 %因此双方在互换合作中的年总收益为 % -%=%因为银行要求收取 勺中介费，这样X公司和Y公司将分别获得 勺合作收 益。互换后X公司实际上以%-%=的利率借入美元，而 Y实际上以%- %=借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担日元%日元5%金融中介評美元1

7、0%日元5%美元%美元10%3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR的收益率曲线的期限结构是平的，都是10% （半年计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为6e 0.3333 0.1 106 e 0.8333 0.1103.33 百万美元互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为100 4.8 e 0.3333 0.1101.36百万美元因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33 101.36 1.97百万美元，对支付固定利率的一方的价值为一百万美元。加元5%加元%力口元5%1金融中介B美元LIBOR+1%美元 LIBOR+%美元 LIBOR+1%本金的支付方向在互换幵始时与箭头指

8、示相反，在互换终止时与箭头指示相同。金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵 作业三：1假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%年波动率30%该股票当天收盘价为50元，求：第二天收盘时的预期价格，第二天收 盘时股价的标准差，在量信度为95%青况下，该股票第二天收盘时的价格范围。2 .某股票市价为70元，年波动率为32%该股票预计3个月和6个月后将 分别支付1元股息，市场无风险利率为10%现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不 是最优的，并请计算该期权价格。3.某股票目前价格为 40元，假设该股票1

9、个月后的价格要么为 42元、要 么38元。连续复利无风险年利率为 8%请问1个月期的协议价格等于 39元欧式 看涨期权价格等于多少 习题答案：1、由于一（ t,、，t）S在本题中，S= 50，= ,=,t=1/365=. 因此，S/50,因此，第二天预期股价为元，标准差为元，在95%的置信水平上第 2天股价会落在至+,即元至元之间。2、D=D=1,t 1=,T=,r=,X=65可见，显然，该美式期权是不应提早执行的。红利的现值为： 该期权可以用欧式期权定价公式定价:S= 70 = , X= 65, T=,r=, c =N(d1)=,N(d 2)=因此,看涨期权价格为：3、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42