概率论与数理统计第七章抽样分布及其上分位数ppt课件

1、7.3 7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数 为了进一步研讨未知参数的统计为了进一步研讨未知参数的统计 推断问题，本节引见几个重要的抽样推断问题，本节引见几个重要的抽样 分布及其定理分布及其定理. . 一一 抽样分布抽样分布 统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为 “抽样分布抽样分布 . . 研讨统计量的性质和评价一个统计推断研讨统计量的性质和评价一个统计推断 的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质. . 抽样分布抽样分布 准确抽样分布准确抽样分布 渐近分布渐近分布 22 1 11 ,() 1 nn niin ii XXSXX nn

2、= = 1 1 分别表示样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差. 时，也称时，也称 是来自总体是来自总体 的样本，仍用的样本，仍用 假设假设 是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当 12 , n XXX 2 ( ,)XN 12 , n XXX 2 ( ,)N 统计上的三大分布统计上的三大分布 2 ( )n 记为记为 定义定义3.1: 3.1: 假设随机变量假设随机变量 有概率密度有概率密度 分布分布( (卡方分布卡方分布) )1、 2 1 22 2 1 ( ),0 2(2) nu n p uueu n 称称 服从自在度为服从自在度为n n的的 分布分布. . 2 来定义来定义. .

3、其中伽玛函数其中伽玛函数 经过积分经过积分 1 0 ( ),0 x xedx ( ) 分布的密度函数图形自在度依次分布的密度函数图形自在度依次 为为n=1,3,5,7n=1,3,5,7 2 ( )n n= 1 n= 3 n= 5 n= 7 分布的性质分布的性质 2 定理定理3.1: 3.1: 假设假设 是来自是来自 总体总体N(0,1)N(0,1) 的样本的样本, , 那么平方和那么平方和 12 , n XXX 2222 12 ( ) nn XXXn 22 (2)(1)(1)nSn 2 n XS和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 那么那么 有有 2 (1). n XS和独立

4、 定理定理3.2: 3.2: 假设假设 是来自是来自 总体总体N(0,1)N(0,1) 的样本，的样本， 12 , n XXX 推论推论3.3: 3.3: 假设假设 ，那么，那么 22 ( ),( )nm 2 (2) ()nm 当和独立时，有 (1)( ),Var( )2Enn 这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性. . 2 12 ,(0,1) n X XXN证证明明：( ( 1 1设设是是来来自自总总体体的的) )样样本本，则则 2422 Var()() ()3 12,1,2, iii XE XE Xin 22 11 ( )()(). nn ii ii EEXE Xn 所所以以 2

5、2 11 Var( )Var()Var()2 . nn ii ii XXn 22 E()0, E()Var() (E()1 iiii XXXX 2222 12 3.1( ) n XXXn 根根据据定定理理 ，有有 12 ,(0,1) n m X XXN 设设是是来来自自总总证证明明：( ( 2 2体体) )的的样样本本 222222 1212 ()() nm nnnn m XXXXXX 令令 则则 与与.同同分分布布 nm .因因此此结结论论成成立立 那么那么 有有 2 nm （n n+ + m m ） 定理定理 3.4 2 2 22 1 (1)1 (2)()(1) n jn j nS XXn

6、 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),( 2 N 的样本的样本, 2 n XS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 那么那么 有有 2 (1). n XS和和独独 立立 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(student)分布分布. 记做记做Tt(n). 定义3.2: 假设随机变量T具有概率密度 称称T服从自在度为服从自在度为 n的的 t 分布分布. 2、t 分布分布 1 2 2 1 2 ( )1,(,) 2 n n n u p uu nn n 外形外形: :中间高中间高, ,两边低两边低, ,左右对称左右对称. .当当n n充分大时，充分大时，t t 分布近

7、似分布近似N (0,1)N (0,1)分布分布. . 但对于较小的但对于较小的n n，t t分分 布与布与N (0,1)N (0,1)分布相差很大分布相差很大. . t分布的图形分布的图形(红色的是规范正态分布红色的是规范正态分布) n = 1 n=20 -3-2-1123 0.1 0.2 0.3 0.4 t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 2 2 , 1 lime( ) 2 u n n n puu 特特别别, 当, 当时时 有有 33, ( )(0,1) .33, ( ) nt nN n x 当当时时分

8、分布布的的密密度度和和 的的密密度度几几乎乎没没有有差差别别 而而且且当当时时 对对标标准准正正态态密密度度函函数数有有 sup( )( )0.0041 n x pxx t分布的性质分布的性质 ( ) Z t n n 定理3.5: 假设ZN(0,1) , 且Z与 相互独立，那么有 2 ( ),n 定理定理 3.6 假设假设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),( 2 N 的样本的样本, 2 n XS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, , 那么那么 有有 (1) n X t n Sn 2 2 2 (1) (0,1),(1). / n XnS ZNn n 且它们独立

9、且它们独立. 那么由定理那么由定理3.5得到得到 2 2 (1) (1) /(1) n XZnS n nn 证明：由定理证明：由定理3.4 (1) / n X t n Sn 具有自在度为具有自在度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T 的数学期望和方差为的数学期望和方差为: E(T)=0; Var(T)=n/(n-2) , 对对n 2 t分布的性质分布的性质 1 2 22 2 ( )1,0. 22 n nn m n m nn p uuuy nmmm 3、 F(n,m)分布分布 定义定义3.3 假设随机变量假设随机变量F有概率密度有概率密度 称称F服从自在度为服从自在度为(n, m )的的F分

10、布，记做分布，记做 FF(n,m). 其中其中n称为第一自在度，称为第一自在度，m称为第二自在度称为第二自在度. 图形：图形：m=10 m=7 m=3 m=1 F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,10 F分布的性质分布的性质 22 ( ),( ),nm : : 如如果果定定理理3 3. .和和7 7独独立立，则则 ( ,) n FF n m m 1 ( , ) m F m n Fn 12 12 , ,. . 设是来自总体的样本， 是来自总体 的样本 如果总体和总体独立，则来自这 两个总体的样本也相互独立 于是 n m XXXX Y YYY XY 1212 , nm XXXYYY

11、， 是相互独立的随机变量. 2 121 2 122 ,(,) ,(,). ,2 n m X XXN Y YYN n m : : 设设是是来来自自总总体体的的样样本本， 是是来来自自总总体体的的样样本本 又又设设这这两两个个总总体体相相互互独独立立 定定理理3 3. . 8 8 ，则则当当时时 22 (1,1) XY SSF nm 22 11 22 11 11 () , 1 11 () , 1 nn Xinni ii mm Yimmi ii SXXXX nn SYYYY mm 其其中中 由由定定证证明明： 理理3 3. .4 4 22 22 22 (1)(1) (1),(1) XY nSmS n

12、m 而而且且 和和 独独立立，根根据据定定理理3 3. . 7 7得得到到 2 2 /(1) (1,1) /(1) X Y Sn F nm Sm 2 121 2 122 ,(,) ,(,). n m X XXN Y YYN : : 设设是是来来自自总总体体的的样样本本， 是是来来自自总总体体的的样样本本 又又设设这这两两个个总总体体相相互互 补补充充定定理理 独独立立，则则 12 () (2) 11 nm W XY t nm S nm 22 22 (1)(1) , 2 XY WWW nSmS SSS nm 其其中中 22 12 (,) nm XYN nm 由由已已知知可可得得证证： 明明 12

13、 ()() (0,1) 11 nm XY ZN nm 所所以以 22 22 1222 12 (1)(1) (1),(1), XY nSmS nm 且且 与与 相相互互独独立立. . 2 12 (2)nm 则则 2 WW SS 其其中中 12 12 3.5 ()() ()/(2)1/1/ nm W XYZ nmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 22 2 (1)(1) 2 XY W nSmS S nm 记记 12 3.4Z由由定定理理得得 ， ，独独立立. . 例例1 设设X 与与Y 相互独立，相互独立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与与 Y1, Y

14、2 , Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本, 求统计量求统计量 129 222 1216 XXX YYY 所服从的分布所服从的分布 解解 129 (0,9 16)XXXN 129 1 () (0,1) 34 XXXN 1 (0,1) ,1, 2,16 3 i YNi 2 16 2 1 1 (16) 3 i i Y 129 2 16 1 1 34 1 3 16 i i XXX Y (16)t 129 222 1216 XXX YYY 从而从而 例例2 2 设总体设总体(0,1)XN 的样本的样本, , 22 123456 ()()YXXXXXX 126 ,X

15、XX 为总体为总体 X X 试确定常数试确定常数c c 使使cY cY 服从服从 2 分布分布. . 解解 123456 (0,3),(0,3)XXXNXXXN 123456 11 ,(0,1) 33 XXXXXXN 22 123456 11 33 XXXXXX 故故 因此因此 1 3 c 2 1 (2) 3 Y 二二 抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数 (0,1). 设设正正数数 ()P Zz (0,1),ZNz1 1. .，有有唯唯一一的的使使得得 2 ( ) n Pn 22 ( )( ), n nn2 2. .，有有唯唯一一的的使使得得 ( ) n P Ttn ( )( ), n Tt

16、 ntn3 3. .，有有唯唯一一的的使使得得 , ( ,) n m P FFn m , ( ,)( ,), n m FF n mFn m4 4. .，有有唯唯一一的的使使得得 2 2 ,( )( )( ,) (0,1)( )( )( ,) . zntnFn m Nnt nF n m 称称，和和 分分别别为为，和和 分分布布的的 定定义义3 3. . 4 4: : 上上分分位位数数 2 14,( )( )( ,).CCzntnFn m 对对于于某某些些固固定定的的 ，可可以以查查书书后后的的表表 得得到到，和和 上上分分位位数数是是 的的减减函函数数. . (0,1).N正态分布的上 分位数

17、1- 2 ( ).n分布的上 分位数 1- 0.0250.05 1.961.645zz ，例例： 解解： ()(1.96)P ZzP Z 1(1.96) 1(1.96)P Z 10.9750.025 0.025 1.96z 因因此此 根根据据定定义义3 3. . 4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下结结论论 ()11()P ZzP Zz 22 1(1( )() nn PnnP 1()1) nn PnP TTtnt , ( ,1(,)()1 nmmn P FF nP FFmmn /2/2 (), ()1,P ZzP Zz /2/2 ( ), ( )1 nn P TtnP Ttn 证证明明：

18、/2/2/2 ()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2 ()1()1,P ZzP Zz (0,1), ( ) n ZNTt n 例例 对对4 4，有有 2 , ( ),( ,) nn m n FF n m 例例 对对5 5，有有 22 /21/2 ( )( ) nn PnPn ,/2,1/2 ( ,)( ,) n mn m P FFn mP FFn m 22 1/2/2 ( )( )1, n Pnn 1/2,/2 ( ,)( ,)1 n m P Fn mFFn m 1 , 1 , , F n mFn m Fm n Fn m 对对的的上上 分分位位数数，有有 例例6 6： ( ,)FF n m对对，则则根根据据定定理理证证明明：3 3. . 7 7得得到到 1/(, )FF m n (, )FF m n于于是是对对1 1/ /得得到到 1 (, )PFm n