系统模型与模型化

1、系统模型与模型化系统模型与模型化 虽然没有统一的定义，但如果把虽然没有统一的定义，但如果把 某种或某些事物所构成的体系或系统某种或某些事物所构成的体系或系统 叫做一个现实原型，那么模型就是对叫做一个现实原型，那么模型就是对 这种现实模型的这种现实模型的抽象或模仿抽象或模仿。注意。注意 模型既反映原型，又不等于原型，或模型既反映原型，又不等于原型，或 者说它是原型的一种近似。如，者说它是原型的一种近似。如， 地地 球仪是地球原型的本质和特征的一种球仪是地球原型的本质和特征的一种 近似或集中反映。近似或集中反映。 什么是模型什么是模型 什么是模型什么是模型 1 1、系统模型一般不是系统对象本身，而

2、是、系统模型一般不是系统对象本身，而是 现实系统的描述、模仿和抽象。现实系统的描述、模仿和抽象。 2 2、系统模型是由反映系统本质或特征的主、系统模型是由反映系统本质或特征的主 要因素构成的。要因素构成的。 3 3、系统模型集中体现了这些主要因素之间、系统模型集中体现了这些主要因素之间 的关系。的关系。 模型的含义很广泛模型的含义很广泛： 自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等。自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等。 社会科学中：学说、原理、政策、小说、美术、语言社会科学中：学说、原理、政策、小说、美术、语言 Newton第二定律是物体在力的作用下，其运动规律这个第二定律是物

3、体在力的作用下，其运动规律这个 原型的一种模型；原型的一种模型； 计算机是人的某些功能或智能这个原型的一种模型；计算机是人的某些功能或智能这个原型的一种模型； 一张照片是某种实体（如人）的反映；一张照片是某种实体（如人）的反映； 一场戏剧是某类事件的再现；一场戏剧是某类事件的再现； 吃饭这句话是人往嘴里面送东西，达到充饥的动作的抽吃饭这句话是人往嘴里面送东西，达到充饥的动作的抽 象象 人类认识和构造客观世界的两种研究方法人类认识和构造客观世界的两种研究方法实实 验法和模型法。验法和模型法。 使用系统模型的目的使用系统模型的目的: : 系统开发的需要（预测、分析、优化和评价）系统开发的需要（预测

4、、分析、优化和评价） 经济上的考虑经济上的考虑 安全性、稳定性上的考虑安全性、稳定性上的考虑 时间上的考虑时间上的考虑 系统模型容易操作，分析结果易于理解系统模型容易操作，分析结果易于理解 注意：模型经过了分析人员对客体的抽象，因而注意：模型经过了分析人员对客体的抽象，因而 必须再拿到现实中去检验。必须再拿到现实中去检验。 为什么要使用系统模型为什么要使用系统模型 系统模型的分类系统模型的分类 序号序号分类原则分类原则模型种类模型种类 1 2 3 4 5 6 7 8 9 按建模材料不同按建模材料不同 按与实体的关系按与实体的关系 按模型表征信息的程度按模型表征信息的程度 按模型的构造方法按模型

5、的构造方法 按模型的功能按模型的功能 按与时间的依赖关系按与时间的依赖关系 按是否描述系统内部特性按是否描述系统内部特性 按模型的应用场合按模型的应用场合 数学模型的分类数学模型的分类 按变量形式分类按变量形式分类 按变量之间的关系分类按变量之间的关系分类 抽象、实物抽象、实物 形象、类似、数学形象、类似、数学 观念性、数学、物理观念性、数学、物理 理论、经验、混合理论、经验、混合 结构、性能、评价、最优结构、性能、评价、最优 化、网络化、网络 静态、动态静态、动态 黑箱、白箱黑箱、白箱 通用、专用通用、专用 确定性、随机性、连续型、确定性、随机性、连续型、 离散型离散型 代数方程、微分方程、

6、概代数方程、微分方程、概 率统计、逻辑率统计、逻辑 系统模型的分类系统模型的分类 系统模型与模型化系统模型与模型化 模型化模型化构建系统模型的过程及方法。构建系统模型的过程及方法。 u 要注意兼顾到现实性和易处理性。要注意兼顾到现实性和易处理性。 系统建模系统建模 系统建模既是一种技术又是一种艺术！是系统建模既是一种技术又是一种艺术！是 一种创造性劳动一种创造性劳动. 1. 系统建模应遵循的原则系统建模应遵循的原则 （1）切题（抓住主要矛盾）切题（抓住主要矛盾） （2）清晰（关系、结构）清晰（关系、结构） （3）精度要求适当）精度要求适当 （4）花费要少）花费要少 2.2.建模一般过程建模一般

7、过程 （1）明确建模目的和要求；）明确建模目的和要求； （2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系 ； （3）选择模型方法；）选择模型方法； （4）确定模型结构；）确定模型结构； （5）估计模型参数；）估计模型参数； （6）模型试运行；）模型试运行； （7）对模型进行实验研究；）对模型进行实验研究； （8）对模型进行必要修正。）对模型进行必要修正。 3. 3. 建模的主要方法建模的主要方法 (1)推理分析法（推理分析法（“白箱白箱”问题）问题） (2)实验法（实验法（“黑箱黑箱”或或“灰箱灰箱”问题）问题） (3)混合法混合法 (4)老手法老手法

8、(5)辩证法辩证法 (6) 4.模型的简化模型的简化 减少变量，去掉次要变量。减少变量，去掉次要变量。 改变变量性质（如连续变量离散化）改变变量性质（如连续变量离散化） 合并变量合并变量 改变函数关系改变函数关系 改变约束条件。改变约束条件。 几种典型的系统模型几种典型的系统模型 1. ISM（Interpretative Structural Modeling） 2. SS （State Space） 3. SD （System Dynamics） 4. CA （Conflict Analysis） 5. 新进展新进展软计算或软计算或“拟人拟人”方法（人工神经方法（人工神经 网络、遗传算法等

9、）；网络、遗传算法等）； 新型网络技术（新型网络技术（Petri网等）；网等）； 结构模型化技术结构模型化技术 结构模型化基础结构模型化基础 结构分析：是系统分析的重要内容，是对结构分析：是系统分析的重要内容，是对 系统全面认识的基础，是系统优化分析、设系统全面认识的基础，是系统优化分析、设 计与管理的基础。计与管理的基础。 比较有代表性的比较有代表性的系统结构分析方法系统结构分析方法有：有：关关 联树（如问题树、目标树、决策树）法、解联树（如问题树、目标树、决策树）法、解 释结构模型化（释结构模型化（ISM）方法、系统动力学）方法、系统动力学 （SD）结构模型化方法等。）结构模型化方法等。

10、本部分要求大家主要学习和掌握本部分要求大家主要学习和掌握ISM方法方法 （实用化方法实用化方法、规范方法）。、规范方法）。 所谓结构模型，就是应用有向连接图来所谓结构模型，就是应用有向连接图来 描述系统各要素间的关系，以表示一个作描述系统各要素间的关系，以表示一个作 为要素集合体的系统的模型。为要素集合体的系统的模型。 描述形式：有向连接图、矩阵形式描述形式：有向连接图、矩阵形式 结构模型 示例示例 总人口 期望寿命 死亡率 出生率 医疗水平 结构模型的特征结构模型的特征 结构模型是一种图形模型（几何模型）结构模型是一种图形模型（几何模型） 结构模型是一种定性为主的模型结构模型是一种定性为主的

11、模型 结构模型可以用矩阵形式描述，从而使得结构模型可以用矩阵形式描述，从而使得 定量与定性相结合定量与定性相结合 结构模型比较适宜于描述以社会科学为对结构模型比较适宜于描述以社会科学为对 象的系统结构的描述象的系统结构的描述 解释结构模型法解释结构模型法 Interpretative structural modeling，简称，简称ISM 特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型, , 最后用文字加以解释说明。最后用文字加以解释说明。 可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良 好结构关系的模型。好结构

12、关系的模型。 ISMISM实用化方法实用化方法 设定设定 问题问题 、形、形 成意成意 识模识模 型型 找出找出 影响影响 要素要素 要素要素 关系关系 分析分析 （关（关 系图系图 ） 建立可建立可 达矩阵达矩阵 (M)和缩和缩 减减 矩阵矩阵 （M/） 矩阵矩阵 层次层次 化处化处 理理 (ML/) 绘制绘制 多级多级 递阶递阶 有向有向 图图 建立建立 解释解释 结构结构 模型模型 分析分析 报告报告 比较比较/ F 学习学习 初步分析初步分析规范分析规范分析综合分析综合分析 ISMISM实用化方法原理图实用化方法原理图 ISMISM 图的基本概念图的基本概念 图图: 由点和点与点由点和

13、点与点 之间的连线组成。若之间的连线组成。若 点与点之间的连线没点与点之间的连线没 有方向，称为边，由有方向，称为边，由 此构成的图为无向图。此构成的图为无向图。 G=（V，E） 次：一个点关联的边数称为该点的次。次：一个点关联的边数称为该点的次。 链：是一个点链：是一个点、边交错序列边交错序列, 如（如（ v1,e2,v2,e3,v4). 中间点中间点 圈：链中，若起始点和终了点是同一个点，则称为圈。圈：链中，若起始点和终了点是同一个点，则称为圈。 例如例如(v1,e2,v2, e3,v4,e4,v3,e1,v1)。 例例 v1 v2 v3v4 v5 v6 e2 e4 e5 e6 e7 e8

14、 e1 e3 e9 e10 若点与点之间的连若点与点之间的连 线有方向，称为弧，线有方向，称为弧， 由此构成的图为有向由此构成的图为有向 图。图。 D=（V，A） v1 v2 v3v4 v5 v6 e2 e4 e5 e6 e7 e8 e1 e3 例例 树：一个无圈的连通图称为树。树图树：一个无圈的连通图称为树。树图G=（V,E） 的点数记为的点数记为p，边数记为，边数记为q，则，则q=p-1。 例如例如 树树 图的矩阵表示法图的矩阵表示法 图图G=（V，E），构造矩阵），构造矩阵 其它 其中 0 Ev,v 1 a ,)(aA ji ij ijnn 称矩阵称矩阵A为为G的邻接矩阵。的邻接矩阵。

15、其邻接矩阵为：其邻接矩阵为： 01000 00100 10001 01100 11010 A v4 v5 v2 v1 v3 系统结构的基本表达方式系统结构的基本表达方式 集合表达集合表达 有向图表达有向图表达 矩阵表达矩阵表达 系统结构的集合表达系统结构的集合表达 某系统由某系统由n个要素（个要素（S1，S2，Sn n）组成。）组成。 其集合为其集合为S,则有：则有： S=S1，S2，Sn n 系统中诸多要素有机的联系在一起，并且系统中诸多要素有机的联系在一起，并且 一般都以两个要素间的二元关系为基础。一般都以两个要素间的二元关系为基础。 系统中两要素（系统中两要素（Si，Sj）之间的二元关系

16、）之间的二元关系Rij (简记为简记为R)存在以下几种情况：影响关系、存在以下几种情况：影响关系、 因果关系、先后关系、隶属关系因果关系、先后关系、隶属关系 一般的，二元关系存在以下几种情形：一般的，二元关系存在以下几种情形： S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j有某种关系。有某种关系。 S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j无该种关系。无该种关系。 S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j的关系不确定。的关系不确定。 二元关系的传递性：二元关系的传递性： 通常二元关系具有传递性，即：通常二元关系具有传递性，即： 如

17、果如果S Si iRSRSj j ，且，且 S Sj jRSRSk k ，则有，则有 S Si iRSRSk k 强连接关系强连接关系 如果对某两个要素，既有如果对某两个要素，既有S Si iRSRSj j ，又有，又有S Sj jRSRSi i ，即，即S Si i与与 S Sj j和和S Sj j和和S Si i互有关系互有关系, ,则称这种相互关联的二元关系为则称这种相互关联的二元关系为 强连接关系，具有强连接关系的各要素之间存在互替强连接关系，具有强连接关系的各要素之间存在互替 性。性。 为便于表达所有要素之间的二元关系，我们把满为便于表达所有要素之间的二元关系，我们把满 足某种二元关

18、系足某种二元关系S Si iRSRSj j的要素对记为（的要素对记为（ Si，Sj），）， 而把系统中的二元关系的集合记为而把系统中的二元关系的集合记为 一般情况下，（一般情况下，（ Si，Sj）和）和 （ Sj，Si）表示不同）表示不同 的要素对。的要素对。 这样，我们就可以用系统的要素集合和这些要素这样，我们就可以用系统的要素集合和这些要素 之间的某种二元关系集合来表示系统的某种基本之间的某种二元关系集合来表示系统的某种基本 结构结构 S=S1，S2，Sn n (,)(,),j=1,2,. bijijij RS SS SS S RS in、 (,)(,),j=1,2,. bijijij R

19、S SS SS S RS in、 系统结构的有向图表达系统结构的有向图表达 用节点表示构成系统的各个要素，用有向用节点表示构成系统的各个要素，用有向 弧表示要素间的二元关系（例：如果弧表示要素间的二元关系（例：如果S Si iRSRSj j ， 则有向弧从则有向弧从i节点指向节点指向j节点），即形成了系节点），即形成了系 统结构的有向图表达。统结构的有向图表达。 例4-1 某系统由七个要素（S1，S2，S7）组成。 经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4 影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样， 该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系 集合Rb来表达，其中： S = S

20、1，S2，S3，S4，S5，S6，S7 Rb = （S2，S1），（S3，S4），（S4，S5）， （S7，S2），（S4，S6），（S6，S4） 5 1 6 2 3 7 4 系统结构的矩阵表达系统结构的矩阵表达 邻接矩阵邻接矩阵 可达矩阵可达矩阵 邻接矩阵邻接矩阵 图的基本的矩阵表示，描述图中各节点两图的基本的矩阵表示，描述图中各节点两 两间的关系两间的关系 邻接矩阵邻接矩阵A A的元素的元素a aij ij 定义： 定义： 1 0 ijij ij ijij RR RR s ss s a s ss s 表示 与有关系 表示 与没有关系 邻接矩阵示例邻接矩阵示例 S1 S2 S3 S4 S5

21、S6 源点 汇点 000001 000001 110100 000011 000100 000000 aij A 5 1 6 2 3 7 4 邻接矩阵特点邻接矩阵特点 汇点：矩阵汇点：矩阵A A中元素全为零的行所对应的节中元素全为零的行所对应的节 点点 源点：矩阵源点：矩阵A A中元素全为零的列所对应的节中元素全为零的列所对应的节 点点 对应每节点的行中，元素值为对应每节点的行中，元素值为1 1的数量，就的数量，就 是离开该节点的有向边数；列中是离开该节点的有向边数；列中1 1的数量，的数量， 就是进入该节点的有向边数就是进入该节点的有向边数 可达矩阵可达矩阵 用矩阵形式来描述有向连接图各节点

22、之间，经过用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过 一定长度的通路后可以到达的程度。即描述系统要一定长度的通路后可以到达的程度。即描述系统要 素之间经过任意长路经可以到大的程度，也即两要素之间经过任意长路经可以到大的程度，也即两要 素之间是否存在一条有向通路。素之间是否存在一条有向通路。 可达矩阵可达矩阵M=(mM=(mij ij) )n n* *n n 1,() 0,() t ij ij t ij S R S m S R S 存在i至j的通路 不存在i至j的通路 可达矩阵的构造可达矩阵的构造 对邻接矩阵对邻接矩阵A A通过布尔代数运算得到。通过布尔代数运算得到。 可达矩阵可达矩阵R R可用

23、邻接矩阵可用邻接矩阵A A加上单位阵加上单位阵I I，经，经 过演算后求得过演算后求得 设设A A1 1=(A+I) A=(A+I) A2 2=(A+I)=(A+I)2 2=A=A1 12 2 A Ar-1 r-1=(A+I) =(A+I)r-1 r-1=A =A1 1r-1 r-1 如：如：A A1 1AA2 2AAr-1 r-1=A =Ar r (rn-1) (rn-1) 则：则：A Ar-1 r-1=M =M 称为可称为可 达矩阵，表明各节点间经过长度不大于（达矩阵，表明各节点间经过长度不大于（n-1n-1）的通路可）的通路可 以到达的程度，对于节点数为以到达的程度，对于节点数为n n的

24、图，最长的通路其长度的图，最长的通路其长度 不超过（不超过（n-1n-1） 缩减可达矩阵缩减可达矩阵 在可达矩阵中存在两个节点相应的行、列在可达矩阵中存在两个节点相应的行、列 元素值分别完全相同，则说明这两个节点元素值分别完全相同，则说明这两个节点 构成回路集，只要选择其中的一个节点即构成回路集，只要选择其中的一个节点即 可代表回路集中的其他节点，这样就可简可代表回路集中的其他节点，这样就可简 化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。 邻接矩阵示例邻接矩阵示例 S1 S2 S3 S4 S5 S6 源点 汇点 000001 000001 110100 000011 00010

25、0 000000 aij A ISMISM的工作程序的工作程序 组织实施ISM的小组。 设定问题。 选择构成系统的要素。 根据要素明细表作构思模型，并建立邻接矩阵和 可达矩阵。 对可达矩阵进行分解后建立结构模型。 根据结构模型，在各个要素位置填上对应的文字 内容建立解释结构模型。 建立递阶结构模型的规范方法建立递阶结构模型的规范方法 建立反映系统问题要素间层次关系的递阶 结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行， 一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩 阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。 这是建立递阶结构模型的基本方法。 现以例4-1所示问题为例说明： 与图4-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为

26、i） 为： 5 1 6 2 3 7 4 1000011 0111000 0010000 0111000 0111100 0000011 0000001 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 M = 返回 1.区域划分 区域划分即将系统的构成要素集合S， 分割成关于给定二元关系R的相互独立的区 域的过程。 首先以可达矩阵M为基础，划分与要素 Si（i = 1，2，n）相关联的系统要素的 类型，并找出在整个系统（所有要素集合S） 中有明显特征的要素。 有关要素集合的定义如下： 可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有 向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（

27、Si）。 其定义式为： R（Si）= Sj | SjS，mij = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n 先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有 向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。 其定义式为： A（Si）= Sj | SjS，mji = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n 共同集C （Si）。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和 先行集的共同部分，即交集，记为C （Si） 。其定义式 为： C（Si）= Sj | SjS，mij = 1， mji = 1， j = 1，2，n i = 1，2，n 示例 系统要素Si的可达集R（Si） 、先行

28、集A（Si） 、共 同集C （Si）之间的关系如图4-7所示： 图4-7 可达集、先行集、共同集关系示意图 Si A（Si） C （Si） R（Si） 起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始 集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影 响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B （S）。 B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而 无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为： B（S）= Si | Si S， C（Si）= A（Si） ， i= 1，2，n 如在图4-5所对应的可达矩阵中， B（S）=S3，S7。 当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4-7 中

29、的阴影部分C（Si）覆盖到了整个 A（Si）（ R（Si） 区域。 这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研 究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止 集E（Si）中的要素及其先行集要素 ）能否分割（是否 相对独立）就行了。 利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下： 在B（S）中任取两个要素bu、bv： 如果R（bu） R（bv）（为空集），则bu、bv及 R（bu）、 R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和 v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。 如果R（bu） R（bv）=，则bu、bv及R（bu）、 R （bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可 被划

30、分为两个相对独立的区域。 利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判 定“A（eu） A（ev）” （eu、ev为E （S）中的任意 两个要素）是否为空集即可。 区域划分的结果可记为： （S）=P1，P2，Pk，Pm （其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域 划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P）。 为对给出的与图4-5所对应的可达矩阵进行区域划分，可 列出任一要素Si（简记作i，i=1，2，7）的可达集R （Si） 、先行集A（Si） 、共同集C （Si），并据此写出系 统要素集合的起始集B（S），如表4-1所示： 表4-1 可达集、先行集、共同集和起始集例表 SiR（Si

31、）A（Si）C （Si）B（S） 1 2 3 4 5 6 7 1 1，2 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 1，2，7 1，2，7 2，7 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6 7 1 2 3 4，6 5 4，6 7 3 7 因为B （S ） = S3，S7 ,且有R（S3） R（S7） = S3， S4， S5， S6 S1， S2， S7 =，所以S3及S4， S5， S6， S7与 S1， S2分属两 个相对独立的区域，即有： （S）=P1，P2 = S3， S4， S5， S6 S1， S2， S7 。 这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵： O O 111 011 0

32、01 1110 0100 1110 1111 3 4 5 6 1 2 7 3 4 5 6 1 2 7 M（P）= P1 P2 2.级位划分 区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处 层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的 关键工作。 设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1， L2，Lk表示从高到低的各级要素集合（其中k 为最大级位数），则级位划分的结果可写出： （P）=L1，L2 ，Lk。 某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集 要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要 素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它 们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最 高级要素，依次类

33、推，直到确定出最低一级要素 集合（即Lk）。 为此，令LO=（最高级要素集合为L1，没有零级要 素），则有： L1=Si|SiP-L0，C0（Si）= R0（Si），i=1，2，n L2=Si|SiP-L0-L1，C1（Si）= R1（Si），in Lk=Si|SiP-L0-L1-Lk-1，Ck-1（Si）= Rk-1（Si），in （4-3） 式（4-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集 合P-L0-L1-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图） 求得的共同集和可达集。 经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角 矩阵，记为M（L）。 如对例4-1中P1=S3，S4，S5，S6进行级位

34、划分的 过程示于表4-2中。 表4-2 级位划分过程表 要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S） = R（S） （P1） P1-L0 3 4 5 6 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6 3 4，6 5 4，6 L1 =S5 P1-L0-L1 3 4 6 3，4，6 4，6 4，6 3 3，4，6 3，4，6 3 4，6 4，6 L2 =S4， S6 P1-L0-L1-L23333L3 =S3 对该区域进行级位划分的结果为： （P1）=L1，L2 ，L3=S5，S4，S6，S3 同理可得对P2=S1，S2， S7进行级位划分的结果为： （P

35、）=L1，L2 ，L3 = S1 ，S2 ，S7 这时的可达矩阵为： 111 011 001 1111 0111 0111 0001 5 4 6 3 1 2 7 5 4 6 3 1 2 7 M（L）= L1 L2 L3 L1 L2 L3 0 0 3.提取骨架矩阵 提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M（L）的缩约和检出，）的缩约和检出， 建立起建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A。这里的骨。这里的骨 架矩阵，也即为架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区 域和级位划分后的可达矩阵域和级位划

36、分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：）的缩检共分三步，即： I. 检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减）的缩减 矩阵矩阵M（L） 如对原例如对原例M（L）中的强连接要素集合）中的强连接要素集合S4， ，S6作缩减处 作缩减处 理（把理（把S4作为代表要素，去掉作为代表要素，去掉S6）后的新的矩阵为：）后的新的矩阵为： 111 011 001 111 011 001 5 4 3 1 2 7 5 4 3 1 2 7 M（L）= L1 L2 L3 L1 L2 L3 0 0 去掉M（L）中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元 关系，得到经进一

37、步简化后的新矩阵M（L）。 如在原例的M（L）中，已有第二级要素（S4，S2） 到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二 级要素的邻接二元关系，即S4RS5、 S2RS1和S3RS4、 S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关 系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将 M（L）中35和71的 “1”改为“0”，得： 100 110 11 100 11 0 0 011 5 4 3 1 2 7 5 4 3 1 2 7 M（L）= L1 L2 L3 L1 L2 L3 0 0 进一步去掉M（L）中自身到达的二元关系， 即减去单位矩阵，将M（L）主对角线上的 “1”全变

38、为“0”，得到经简化后具有最小二元 关系个数的骨架矩阵A。 如对原例有： 000 100 010 000 100 010 5 4 3 1 2 7 5 4 3 1 2 7 A=M（L）- I = L1 L2 L3 L1 L2 L3 0 0 4.绘制多级递阶有向图D（A） 根据骨架矩阵A，绘制出多级递阶有 向图D（A），即建立系统要素的递阶结 构模型。绘图一般分为如下三步： 1. 分区域从上到下逐级排列系统构成要素。 2. 同级加入被删除的与某要素（如原例中的 S4）有强连接关系的要素（如S6），及表 征它们相互关系的有向弧。 3. 按A所示的邻接二元关系，用级间有向弧 连接成有向图D（A）。 原

39、例的递阶结构模型： 以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建 立过程： M M（P ） M（L） M（L） M（L） A D（A） S1 S2 S7S3 S4 S5 S6 第1级 第2级 第3级 区域 划分 级位 划分 强连接 要素 缩减 剔出 超级 关系 去掉 自身 关系绘图 （块三角） （区域 块三角） （区域 下三角） 结束 另一种方法 1、可达矩阵、可达矩阵 2、缩减可达矩阵（如果可达矩阵中不同元素对应的行和列都、缩减可达矩阵（如果可达矩阵中不同元素对应的行和列都 相同，则其有向图中这些元素构成回路相同，则其有向图中这些元素构成回路,只需在这些元素中任意只需在这些元素中任

40、意 选择其中一个，去掉组成回路的其它元素，同时在可达矩阵中选择其中一个，去掉组成回路的其它元素，同时在可达矩阵中 把这些被去掉元素所对应的行和列删除，形成不存在回路的可把这些被去掉元素所对应的行和列删除，形成不存在回路的可 达矩阵）达矩阵） 3、层次级别的划分、层次级别的划分 4、根据级别划分结果，按级别由高到低划出每一级别中的节、根据级别划分结果，按级别由高到低划出每一级别中的节 点，相同级别的节点在同一水平线上。点，相同级别的节点在同一水平线上。 5、按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连接，、按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连接， 找出在两级关系分块矩阵中的找出在两级

41、关系分块矩阵中的1元素所对应的节点对，由下级元素所对应的节点对，由下级 到上级在他们之间画一根带有箭头的连线。到上级在他们之间画一根带有箭头的连线。 6、对于跨级连线的画法同上一步，但每画一条线前均需判断、对于跨级连线的画法同上一步，但每画一条线前均需判断 该边是否能根据已画出的连线由传递性推出，若能则不必画出该边是否能根据已画出的连线由传递性推出，若能则不必画出 这条线。这条线。 7、把有向图中因为构成回路而去掉的那些元素加入到结构模、把有向图中因为构成回路而去掉的那些元素加入到结构模 型中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。型中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。 8、最后，根据各要素

42、的实际意义，将多级递阶有向图直接转、最后，根据各要素的实际意义，将多级递阶有向图直接转 化为解释结构模型。化为解释结构模型。 值得指出的是，对于一般的工程系统来说，它是值得指出的是，对于一般的工程系统来说，它是 由许多要素根据一定的工艺机理组合而成，这样由许多要素根据一定的工艺机理组合而成，这样 系统的邻接矩阵不难得到。对于社会经济系统，系统的邻接矩阵不难得到。对于社会经济系统， 一般来说，可达矩阵容易得到。因为根据人们的一般来说，可达矩阵容易得到。因为根据人们的 实践经验和直觉判断，比较容易知道两个要素有实践经验和直觉判断，比较容易知道两个要素有 无关系，至于这种关系是直接的还是间接的，则无

43、关系，至于这种关系是直接的还是间接的，则 不需十分清楚，也不容易判断，也就是说邻接矩不需十分清楚，也不容易判断，也就是说邻接矩 阵不易得到。在这种情况下，可直接构成可达矩阵不易得到。在这种情况下，可直接构成可达矩 阵，经过处理直接得到结构模型，然后在结构模阵，经过处理直接得到结构模型，然后在结构模 型上填入要素名称，即为解释结构模型。型上填入要素名称，即为解释结构模型。 123456789 101112 13 14 15 11000000000 00000 20100000000 00000 31111100110 00000 41101100010 00000 50100100000 000

44、00 60100010000 00000 71111101110 00000 81111100110 00000 91101100010 00000 100100110001 00000 111111101110 10000 121111101110 01000 131101100010 00100 140100110001 00010 150100110001 00001 R 根据可达矩根据可达矩 阵画出结构阵画出结构 模型模型 . . . 1 5 4 3 13 7 11 12 8 9 2 6 10 00 00 0 14 15 第 1 级 第 2 级 第 3 级 第 4 级 第 5 级 第

45、6 级 图图3.16 由可达矩阵作出的结构模型图由可达矩阵作出的结构模型图 讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，也即考讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，也即考 虑总人口的变化受哪些因素的影响。经过广泛讨论虑总人口的变化受哪些因素的影响。经过广泛讨论,主要考虑主要考虑 以下因素：以下因素： 期望寿命；期望寿命； 医疗保健水平；医疗保健水平； 国民生育能力；国民生育能力； 计计 划生育政策；划生育政策； 国民思想风俗；国民思想风俗； 食物营养；食物营养； 环境污染环境污染 程度；程度； 国民收入；国民收入； 国民素质；国民素质； 出生率；出生率；死亡率。死亡率。 如果把总人口考虑

46、进去，则构成了第如果把总人口考虑进去，则构成了第12个因素。个因素。 根据有关人员的经验和对话过程，根据有关人员的经验和对话过程，并经过多次的讨论以确并经过多次的讨论以确 定它们之间的关系，如下图所示。定它们之间的关系，如下图所示。 试建立该问题的解释结构模型。试建立该问题的解释结构模型。 结构模型应用实例：结构模型应用实例： V V 1234567891011 12 1100000000011 2111000000111 3001000000101 4000110000101 5000110000101 6101001000111 7100000100011 8101110010111 90

47、00110001101 10000000000101 11000000000011 12000000000001 SiR(Si)A(Si)C(Si) C(Si) =R(Si) 11,11,121,2,6,7,81 21,2,3,10,11,1222 33,10,122,3,6,83 44,10,124,8,94 61,3,6,10,11,1266 71,7,11,1277 81,3,4,8,10,11,1288 94,9,10,1299 10 10,123,4,6,8,9,1010 11 11,121,2,6,7,8,1111 12 12ALL12 SiR(Si)A(Si)C(Si) C(Si

48、) =R(Si) 11,111,2,6,7,81 21,2,3,10,1122 33,102,3,6,83 44,104,8,94 61,3,6,10,1166 71,7,1177 81,3,4,8,10,1188 94,9,1099 10 103,4,6,8,9,1010 11 111,2,6,7,8,1111 去掉要素去掉要素12后后 SiR(Si)A(Si)C(Si) C(Si) =R(Si) 111,2,6,7,81 21,2,322 332,3,6,83 444,8,94 61,3,666 71,777 81,3,4,888 94,999 去掉要素去掉要素10，11后后 SiR(Si

49、)A(Si)C(Si) C(Si) =R(Si) 2222 6666 7777 8888 9999 去掉要素去掉要素1，3，4后后 12 10 11 3 4 17 9 26 8 1210 0 0 0 00 0 00 0 1011 0 0 0 00 0 00 0 1110 1 0 0 00 0 00 0 311 0 1 0 00 0 00 0 411 0 0 1 00 0 00 0 110 1 0 0 10 0 00 0 710 1 0 0 11 0 00 0 911 0 0 1 00 1 00 0 211 1 1 0 10 0 10 0 611 1 1 0 10 0 01 0 811 1 1

50、1 10 0 00 1 R 根据排序根据排序 的可达矩的可达矩 阵画出结阵画出结 构模型构模型 L1 L2 L3 L4 8 9 12 10 11 3 4 5 1 2 6 7 结构模型结构模型 解释结构模型解释结构模型 总人口总人口 死亡率死亡率出生率出生率 国民生育能力国民生育能力计划生育政策计划生育政策国民思想风俗国民思想风俗期望寿命期望寿命 医疗保健水平医疗保健水平食物营养食物营养环境污染程度环境污染程度国民收入国民收入国民素质国民素质 总人口系统是一个具有总人口系统是一个具有4级（层）级（层） 的多级递阶系统。直接因素是的多级递阶系统。直接因素是 出生率和死亡率出生率和死亡率 状态空间模

51、型状态空间模型 状态空间模型状态空间模型 研究动态系统的行为，有两种既有联系又 有区别的方法输入输出法和状态变量 法。 输入输出法适用于对一类十分复杂、内部 结构不清楚、物理法则不适用的系统建模， 通过输入输出的观测数据来建模，这种情 况下的建模又称为系统辨识，多重回归分 析就是这种建模方法之一。 输入输出法输入输出法 通过考察输入输出关系建立模型，例如通过考察输入输出关系建立模型，例如回归分析回归分析 设设 令令 有有a a和和b b，即可写出回归方程。，即可写出回归方程。 bXaY 22 )() (),(bXaYYYbaF 0, 0 b F a F 通常用于黑箱通常用于黑箱 输入输出法不便

52、于探讨系统内部有何种行输入输出法不便于探讨系统内部有何种行 为，有时不仅要考虑输入输出，还要考虑为，有时不仅要考虑输入输出，还要考虑 系统内部状态及其变化，状态空间法就是系统内部状态及其变化，状态空间法就是 这类方法。此外，有时系统的输出不仅取这类方法。此外，有时系统的输出不仅取 决于输入，还取决于系统的状态，这时也决于输入，还取决于系统的状态，这时也 需要有状态变量来描述系统的状态。需要有状态变量来描述系统的状态。 考虑一个离散系统，在任一时刻的输出等考虑一个离散系统，在任一时刻的输出等 于在这以前系统输入的最大值与最小值之于在这以前系统输入的最大值与最小值之 差。显然，此系统是动态的，因为

53、它在时差。显然，此系统是动态的，因为它在时 刻刻t的输出，不仅取决于该时刻的输入的输出，不仅取决于该时刻的输入x(t)。 现在要问：要计算输出现在要问：要计算输出y(t)，应知道系统在，应知道系统在 过去有多少输入过去有多少输入?令令x1(t)和和x2(t)分别表示分别表示 x(0)、x(1)、x(t-2)、x(t-1)中最大值和最中最大值和最 小值，则在时刻小值，则在时刻t的输出值是：的输出值是： 状态空间模型状态空间模型 定义系统的状态是影响到将来行为的历史定义系统的状态是影响到将来行为的历史 总结。因此，知道系统在任一时刻的状态，总结。因此，知道系统在任一时刻的状态， 就能知道该时间后的

54、系统行为就能知道该时间后的系统行为(当输入已知当输入已知 时时)。系统的状态可由一些称为状态变量的。系统的状态可由一些称为状态变量的 变量来描述。对应地，系统的模型称为状变量来描述。对应地，系统的模型称为状 态空间模型。态空间模型。 系统的状态变量系统的状态变量 系统的状态变量，是能够完整的确定系统状态所系统的状态变量，是能够完整的确定系统状态所 必需的一组必需的一组最少最少的变量。的变量。 为完全描述为完全描述tt0时系统行为所需变量的最小集合，时系统行为所需变量的最小集合， 构成状态空间，完全描述的条件包括：构成状态空间，完全描述的条件包括： tt0时系时系 统的输入；统的输入； t0时刻

55、系统中所有变量的值（初始条时刻系统中所有变量的值（初始条 件）件） 知道初始条件，如何刻画状态？只需知道状态变知道初始条件，如何刻画状态？只需知道状态变 量的变化，如何知道？（状态变量的导数）量的变化，如何知道？（状态变量的导数） 状态空间模型举例 M F(t) Kx1(t)Bx2(t) 12 ( )( )x tx t 例1 连续系统 设位移为x1(t)，速度为x2(t)，则有 )()()()( 212 tFtBxtKxtxM )( 1 )()()( 212 tF M tx M B tx M K tx )( 1 0 )( )( 10 )( )( 2 1 2 1 tF M tx tx M B M

56、 K tx tx 即即 写成矩阵形式写成矩阵形式 状态方程状态方程 )( )( )01 ( 2 1 tx tx y 输出方程输出方程 微方方程与连续变量的状态空间表达式微方方程与连续变量的状态空间表达式 连续动态系统的数学模型是微分方程，刻划系统连续动态系统的数学模型是微分方程，刻划系统 的动态变量的动态变量(状态变量的导数或高阶导数状态变量的导数或高阶导数)对状态对状态 变量有依存关系以及状态变量之间相互影响。变量有依存关系以及状态变量之间相互影响。 有状态方程有状态方程 线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一 元高阶方程

57、，也可以使用多元一阶联立方程组来描述。其一般元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组来描述。其一般 形式为：形式为： 若若U=0，即系统未加输入，则该系统为自由系统；否则为强，即系统未加输入，则该系统为自由系统；否则为强 制系统。若制系统。若A、B、C、D矩阵中的元素有些或全部是时间的矩阵中的元素有些或全部是时间的 函数，则为线性时变系统；否则为线性定常系统。函数，则为线性时变系统；否则为线性定常系统。 离散系统的状态空间描述 在状态空间描述中，系统的模型通常分为两部分：在状态空间描述中，系统的模型通常分为两部分： 联系状态变量、输入变量与输出变量的一组方程，称为输联系状态变量、输入变量与输出变量的一组方程，称为输 出方程；出方程；联系状态变量与输入变量的一组方程，称为状联系状态变量与输入变量的一组方程，称为状 态方程。态方程。 设离散系统的状态变量为设离散系统的状态变量为x1(t)、 x2(t)、xn(t)，在任，在任 一时刻一时刻t