1991-2016年全国初中数学联合竞赛试卷汇编

目录

1991年全国初中数学联合竞赛试卷.........................................................3

1991年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解..........................................5

1992年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................12

1992年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................14

1993年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................21

1993年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................24

1994年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................30

1994年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................32

1995年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................39

1995年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................40

1996年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................50

1996年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................52

1997年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................59

1997年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................61

1998年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................65

1998年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................67

1999年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................72

1999年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解.........................................75

2000年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................81

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2001年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................87

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2002年全国初中数学联合竞赛试卷........................................................94

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2003年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................102

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2004年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................111

2004年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解........................................114

2005年全国初中数学联赛初赛试卷.......................................................120

2005年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案及详解........................................121

2006年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................125

2006年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及详解........................................127

2007年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................135

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2008年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................146

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及详解........................................148

2009年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................152

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2010年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................164

2010年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解........................................166

2011年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................173

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2013年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................198

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2014年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................208

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2015年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................217

2015年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解........................................217

2016年全国初中数学联合竞赛试卷.......................................................227

2016年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解........................................229

2

1991年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的.请

把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.设等式J式X-"）+Ja（'-a）=Jx-a-Ja-y在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实

数，则母一丫的值是（）

-xy+y

（A）3（B）-（C）2（D）-

33

2.如图，AB//EF//CD,已知4B=20,CD=80,BC=OO,那么EF的值是（）

(A)10(B)12(C)16(D)18

3.方程x2-|x|-l=0的解是()

(A)萼(B)T土石(C)上正或一"—

222

(D)±7.石

2

4.已知：x=11991"-1991'"（〃是自然数）.那么（x->/1+叶,的值是（

)

(A)1991T(B)-199P1(C)(-l)n1991(D)(-1)"199rl

n

5.若1>2%Xx9O2=M，其中M为自然数,〃为使得等式成立的最大的自然数，则M（）

（A）能被2整除，但不能被3整除（B）能被3整除，但不能被2整除

（C）能被4整除，但不能被3整除（D）不能被3整除，也不能被2整除

6.若a,c,d是整数，力是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+0+c+d的最大值是（）

(A)-1(B)-5(C)0(D)1

7.如图，正方形OPQH内接于△ABC已知△AOR、/XBOP和△CRQ的面积分别是S=1,Sz=3和

3

S3=l.那么，正方形OPQR的边长是（)

(A)5/2(D)3

8.在锐角△ABC中，AC=1,AB=c,NA=60°,△ABC的外接圆半径则（）

(B)0<c<i

(A)-<c<2(C)c>2(D)c=2

22

二'填空题

1.E是平行四边形ABC。中BC边的中点AE交对角线BO于G,如果aBEG的面积是1,则平行

四边形ABCD的面积是.

2.已知关于x的一元二次方程依2+笈+。=0没有实数解.甲由于看错了二次项系数，误求得两根

为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1和4,那么，=.

a

3.设m,”，p,q为非负数，且对一切x>0,至曲二1=红丫恒成立，则

xnxq

（加2+2鹿+〃厂=.

4.四边形ABC。中,NA8C=135°,ZBC£>=120°,A3=#,BC=5—G,CQ=6,则A£>=.

第一—-试p.

4

一、实数X与户使得x+y,x-y,孙，土四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质

y

的数对(x,y).

二、△ABC中，AB<AC<BC,。点在BC上E点在BA的延长线上，JiBD=BE=AC,△BDE的外接

圆与aABC的外接圆交于F点(如图).

求证：BF=AF+CF.

三、将正方形A8CD分割为个相等的小方格(〃是自然数)，把相对的顶点4,C染成红色，把8,

D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数

目必是偶数.

1991年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解

第一试

一'选择题

1.(B)

据算术根性质，由右端知ycacx,又由左端知aNO且“40,故a=0.

由此得x=-y,代入所求式算得值为』.

3

2.(C)

由平行截割定理，有

5

EFBF①

-T6o,

EFFC②

20100

EFEFBF+FC

①+②，得----1--=1.

80---20-----100

A5EF=80,EF=16.

3.(D)

设看是方程的解，则-不也是方程的解，排除(A)、(B)；(D)的两值必是方程的解，否则方程的

解也不是(C).

将刘一⑹代入方程‘左边沟’排除©.

4.(D)

2

22、21\

1+厂=1+—1991〃-2+1991〃1991〃+1991〃

421

所以原式=-1991n=(一1)"1991」.

7

5.(A)

在1X2X3…X100的质因数分解中，2的因子有

100100100

4-

22223++里

=50+25+12+6+3+1=97(个)；

3的因子有

=33+11+3+1=48(个).

所以，Ix2x3xx100=297xS48xP=1248x2P,其中2不整除P,3不整除P,因而M=2P.

6.(B)

(〃+Z?)+(c+d)=c+〃,/.b=-d.

代入Z?+c=d得c=2d,a=c+d=3d,

^La+b+c+d=2d+3d=5d=-5b<-5C：h>l).

故。=-3,b=l,c=—2,d=-l.

7.(C)

6

设正方形。PRQ的边长为x,即OP=PQ=QR=OR=x.作△A8C的高AO,交OR于F,在△AOR

中，AF==2s^-=~?.如图.

ORx

同理可得

BP=-,QC=~,

XX

故—=.衣=龙+薨+工+务扣+10+3

92

另一,方面SMBC=S]+S?+S3+S0PRQ=5+x.

所以;卜+10+?)=5+/,x4=16,x=2.

8.(A)

作CDJ_AB,因△ABC是锐角三角形，故。在AB内，从而c=AB>AO=ACcosA=cos4=1.

2

又由正弦定理，得c=A5=2RsinC<2RV2,

所以,<c<2.

2

二'填空题

1.12

如图，由△BEGS^DAG,得£>G：GB=AD：BE=2：1,

：.DB=3GB.

JC7)X

连接DE,则SABCD=2sAz=2x25岫“=43S^GE=12.

7

2.6

设甲将a看为"，由韦达定理得

上=6,£=8.

dd

于是2=_3.

c4

由于一次项系数匕的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号.于是a'

-=4.

a

由①②得@=-3.所以+3c=y+]2=6.

ba

3.9

由于3+D：_]=（土+1）：对一切Q0恒成立,取户1,则有2"'-l=2J

x"

由于2，'H0,2"'-1为奇数，因此p=0,m=l.

再取尸2,则有±-1=一，即3-2"=2"'.

2"2*

若〃>q,则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾

若〃<4,则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾.

所以，只能是"=（7=1.于是（"/+2〃+/?厂=3。=9.

4.2719

作AE〃BC,交CO于E,自B,C分别作AE的垂直线BF与CG,F,G分别为垂足（如图）.BCGF

AB

为矩形，为等腰直角三角形,BF=AF==6.

正

ZGCE=30°,由CG=6知

在RtZkCEG中，GE=l,CE=2,FG=BC=5-0.

ED=CD—CE=6—2=4.

又/AE£>=/B8=120°,在中应用余弦定理，有

8

ADr=AE1+EDr-2AE-E,Dcosl20o=36+16+24=76.所以">=屈=2柄.

第A?*r一--试XX

一、由于已有意义，所以y#0,从而

y

因此孙=土,即不位-1)=0.

所以工=0或丁=±1.

(1)若A-0,则由xy=x+yf或xy=x-y,得y=0,这样土无意义；

y

(2)若产1,则由xy=x+y得x=x+1,或由xy=x-y得x=x-l,都导致矛盾；

(3)若丫=一1,则由xy=x+y得x,由孙=x-y得工=一；，

所以符合要求的数对只有和卜;,-1).

二、证法1延长4尸到M,使FM=CF.连CM、DF,在与△人?〃中，由于BE=BD,

F=CF,因此△EB。、△尸CM都是等腰三角形.

,?NEBD=NMFC,

：./BED二/CMF

又/BED二/BFD,

:.NCMF=NBFD,

在△5五。与△AMC中，

Z2=Z1,NBFD=NCMF,BD=AC,

：.ABFD^AAMC.

：.BF=AM=AF+FM.

9

又,：FM=CF,

:・BF=AF+CF.

证法2如图，连EF、DF

VZ1=Z2,Z2=Z3,

AZ1=Z3,

VZ4=Z5,Z5=Z6,

・・・Z4=Z6.

JAAFC^AEFD.

工曰EFDEDF,

jTH-----------........=k,

AFACCF

即所尸，DE=kAC,DF=kCF.

由托勒密定理，^BFDE=BDEF+BEDF.

^BF・k-AC=BD-hAF+BE-k-CF.

但是AC=BE=BDWQ,

所以BF=AF+CF.

三、证法1用数代表颜色，将红色记为0,蓝色记为1,再将小方格编号，记为1,2,3,…，n2.

又记第，・个小方格四个顶点数字之和为4,恰有三个顶点同色，则4=1或3为奇数，否则A,为偶数.

在A+4++4,中，有如下事实：

对正方形内部的交点，各加了4次；

原正方形边上非端点的交点，各加了2次（含两个0,两个1）.

因此A+劣++A2=4（内部交点相应的数之和）+2X（边上非端点的交点相应的数之和）+2必为

偶数.

于是，在A，&,…，A.,中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个.

证法2用数代表颜色，红色记为1,蓝色记为-1,将小方格编号，记为1,2,

记第，•个小方格四顶点数字之乘积为4,若恰有三顶点同色，则A=-1,否则4=1.

10

现在考虑乘积Ax&xA2.对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A,B,C,。边上

的不是端点的交点相应的数各出现2次；4,B,C,。四点相应的数的乘积为lxlx(T)x(T)=l.

IXIX(-1)X(-1)=1.

于是Ax&x=1.

因此，AXAXAJ中-1的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个.

证法3考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点

同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色.

注意：除A,B,C,。之外，每一交点必是偶数个小方格的顶点，因此，改变一个交点的染色并不

改变三顶点同色小方格数目的奇偶性.

当〃=1时，结论显然成立.

当时，每次改变一个交点的染色，最终总可以使B,O之外的点皆为红色，这时，三顶点同色

的小方格只有两个，为偶数.

因此，任意染色之下，三顶点同色的小方格有偶数个.

11

1992年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试

一'选择题

本题共有8个题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有一个是正确的.请

把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足|a-b|+“6=l的非负整数(a,b)的个数是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

2.若与是一元二次方程加+bx+c=0(“K0)的根，则判别式A=〃-4〃c与平方式M=(2也+4的

关系是()

(A)A>M(B)b=M(C)A<M(D)不确定

3.若f_i3x+l=0,则/+X-4的个位数字是()

(A)1(B)3(C)5(D)7

4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于则这个多边形的边数必为

()

(A)7(B)6(C)5(D)4

5.如图，正比例函数y=x和)，=以(>0)的图像与反比例函数y=4(&>0)的图像分别相交于A点和

x

C点若Rt/XAOB和RtACOD的面积分别为S和&，则Si与52的关系是()

(A)S]>S2(B)S,=S2(C)S,<S2(D)不确定

6.在一个由8X8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所

有小方格的圆内部分的面积之和记为Si，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,

则3■的整数部分是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

7.如图，在等腰梯形A8CD中，AB〃CZ),AB=C£>,乙4=60°，又E是底边A8上一点，且FE=FB=AC,

12

FA=AB.则AE：EB等于()

(A)1：2(B)1：3(C)2：5(D)3：10

8.设X|,X2,X3,，•,,X9均为正整数，且西<马<<Xg,X,+Xj++内=220,则当X1+%2+覆+匕+*5

的值最大时，玉-%的最小值是()

(A)8(B)9(C)10(D)11

二'填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于

2.若x#0,则川+3+♦一6三的最大值是.

x

3.在△ABC中，ZC=90a,/A和NB的平分线相交于尸点，又于E点，若BC=2,AC=3,

则AE•EB=.

4.若a,6都是正实数，且，--—=0,则⑶+但］=_______.

aba+h\a)\b)

第A/r一―»试v—Il

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程W—6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时,

求”的取值范围.

二、如图，在△4BC中，AB=AC,。是底边BC上一点，E是线段4。上一点，且NBED=2NCED=

ZA.求证：BD=2CD.

13

A

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成，现有四个编

码如下：

A：320651B：105263C：612305D：316250

已知编码4、B、C、。各恰有两个数字的位置与M和N相同.。恰有三个数字的位置与M和N

相同.试求：M和N.

1992年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解

第一试

一、选择题

1.(C)

上

由'\\a-b\=]=>(1,0)(0,1),

[ab=0

_,[\a-h\=0,

又由1=(1,1)..

[ab=1

，共有3对

2.(B)

设与是方程的根，则同+如,+c=0.

2

所以(2aro+〃)~=4ax^+4ahx0+kr

=4。(《鬲+如)+c)+〃-4ac

=Z72-4ac.

3.(D)

14

由f-13x+l-0知xWO.所以x+xT=13,x2+x-2=132-2=167.x4+x-4=1672-2,从而炉+:^4

的个位数字为9-2=7.

4.(C)

若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知

该边长必不大于1；同理，若存在满足条件的四边形，则它至少有一边长不小于0.

5.(B)

设A点的坐标为,。点的坐标为(9,必)，

则EX=x2y2=k.

d=；OB-AB=g玉y=；/%=；OD-CD=S2•

6.(B)

据正方形的对称性，只需考虑它的[部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为

4

S；,圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为S；,则

#=4万-8,5；=15-4乃.

.S；_4£_4乃-84.56

"S；~4S^~15-47r~2A4'

故之的整数部分是1.

S]

7.(B)

解：作高线CN,WtBAB=2BC=2CD,

由题“等腰梯形ABCQ中，AB//CD,AB=2CD,ND4B=6O°”

易证”/ACB为90°设CD=x,贝IAC=6x,AB=2x,

又FE=FB=AC,FA^AB,

:.FE=FB=AC=6x,FA=AB=2x,

△FEB与aAB尸均为等腰三角形，又有NA8尸为同底角，

15

AB:FB=FB:BE=2x:6x=\!^x:BE,

33i

解得：BE=—x,AE=2x——x=—x,

222

13

JAE:EB=-x:-x=l/3.

22

故选&

8.(B)

解：由题意：XI，X2,…，"9均为正整数

得刈最小值为1

;当即,一…，劭取到最小值时,为取到最大值=220-(1+2+3+…+8)=220-36=184,二为的最

大值为184-1=183,

又<1+2+3+・・・+9=45,

.*.220-45=175,

175除以9=19余4,

在这种情况下：将4分配到九个数中，则只能在第六到九个上加，则最大的数必须加一以上，而第

六到九同时加一则元9就大一了.

・・・为田的最小值为9-1+1=9.

故选B.

二、填空题

1.

解：作MV_L3C于N,

•・・AM=MC,MN//AD

:・DN=NC.

：・MN=、AD=9,在RtZkBM中，BM=\5MN=9.

2f

:,BN=V2,而BD=DC=2DN.

：・3DN=12,DN=A,

：.BC=\6,S^BC=171£)-BC=1x18x16=144.

16

2.V3-V2

4

Jl+Y+X，­\J1+XX

X71+x2+x4+A/1+X4

|X|

-=-!-==73->/2.

X43+42

3.解：设RtZiABC内切圆P的半径为人

AB=\lAC2+BC2=^32+22=岳

AE=AM=AC-r=3-r,BE=BN=BC-r=2-r.

AB=AE+BE=(3-r)+(2-r)=5-2r

故答案为3.

4.2石

V--1—=0,即2，=i,

aba+hab

hba\(ba\Abarz

而一+-=J----+4------=\/5.

abb)ah

17

•咽+如（泊）Y.哈力诉―B

第一试

一、设方程X?-6x+o=0有两个正根x”X2,且玉4*2，贝"％=3-19-a,x2=3+j9-a.且0<a49.

（1）当西=々时，符合条件的三角形只有一个，即以N（=々）为边的等边三角形.这时

3-V9^a=3+^/9^a,BP^/9^o=0,：,a=9.

（2）当2百4%时，符合条件的三角形也只有一个，它以X2为腰,xi为底，这时6-2希+工，

解得aW8.

故符合条件的三角形只有一个时，a的取值范围是0<“W8或a=9.

二、证法1如图3,延长交△4BC的外接圆于F.连CF、B尸，贝IJNB以=N8CA=N4BC=NC用,

^\iZBFD=ZCFD.

图3

于是8。：DC=BF：FC.

在△4BC和△E8f1中，

NBAC=NBEF,

ZACB=ZEFB,

：.NABC=NEBF=NEFB.

因此EB=EF.

作ZBEF的平分线EG交BF于G,则BG=GF.

,：NGEF=-NBEF=ZCEF,

2

NGFE=NCFE,EF=EF,

:.丛EFG9丛EFC,GF=CF.

18

从而BF=2FC,所以8C=2CZ).

证法2如图4,作。尸〃CA交AB于尸.在8c上取点G,使8G=OC.

图4

分别连接4G、FG.

'：DF//CA,

：./\FBDs丛ABC,

：.NBFD=NBAC,

FB=FD.

'：AB=AC,ZABG^ZACD,BG=DC,

：.AABG^AACD,AG=AD,ZFAG=ZEAC.

又NABE=ZBED-ZBAE=NBAC-NBAE=NEAC=NFDA,

而

/\ABE^/^ADF.

：.AF-.AD=AE：AB.

EPAF：AG=AE：AC.又/9G=/E4C,

:.△FAGXEAC.ZAFG=ZAEC.

从而NBFG=NDEC=-ZBED=-ABAC=-NBFD.

222

：.FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线.即BG=GD.所以BD=2BG=2DC.

三、对于编码M,考虑编码4中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同.设这两位是

X”及数位.由于B、C中该两数位上的数字均与4在这两数位上的数字不同，因此8,C中这两数

位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与M中数字相同的数位必异于x”及.不妨

设为X3,A4；同理C中与〃中数字相同的数位只能是异于用，X2,X3,后的X5,北两位.关于N也

有类似的结论.这就是说，在每个数位上，A,B,C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该

数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同.

19

由此知，。中的6,0两数字必不是M,N在相应数位上的数字.于是。的3,1,2,5中只有一个

数字与M在相应数位上的数字不同；与IV相比较也有类似的结果.

(A)若3不对，则有610253,013256；(B)若1不对，则有360251,301256；

(C)若2不对，则有312056,310652(D)若5不对，则有310265,315206.

经检验知：该信封上编码M,N或者同为610253,或者同为310265.或者一个是610253,另一个

是310265.

20

1993年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试

一'选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论其中只有一个是正确的.请

把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式--犬+1除以公一1的余式是()

(A)1(B)-1(C)x-1；(D)x+1；

2对于命题

I.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

II.内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是()

(A)I,n都对(B)对，n错(c)i错，n对(D)I,n都错

3.设x是实数，y=|x-l|+|x+l|.下列四个结论：

I.y没有最小值；

II.只有一个x使y取到最小值；

III.有限多个x(不止一个)使y取到最大值；

IV.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是()

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.实数XI，X2,X3,X4,X5满足方程组

xt+x2+x3=q

X?+X3+Z=a2

■X3+匕+%=%

x4+x5+x,=a4

x5+xx+x2=a5

其中“i，ai>«3>«4，。5是实常数，且4>a2>a3>a4>a5,则为，xz，X3,X4,X5的大小顺序是()

(A)x,>x2>>x4>x5；(B)>x2>x,>>x5；

(C)x3>%1>x4>x2>x5；(D)x5>x,>x,>x4>%,.

5.不等式x-l<(x-iy<3x+7的整数解的个解()

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在△ABC中，NA是钝角，。是垂心，AO=BC,则cos(NOBC+N0C8)的值是()

21

_V2

2

7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为〃?，n,p那么，〃叩等于()

(A)—(B)a：b：c(C)cosA:cosB:cosC

abc

(D)sinA:sinB:sinC

8.盯+g可以化简成()

(A)冷陋+1)(B)百(蚯-1)(C)&-1(D)次+1

二、填空题

3Y~-i-6Y+5

1.当X变化时，分式的最小值是.

x2+X+1

2

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里

共有30个小球，那么最右面的盒里有个小球.

3.若方程(产-1)任一4)=人有四个非零实根且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则

k=.

4.锐角三角形ABC中，ZA=30°.以8C边为直径作圆，与A8,AC分别交于。E,连接。E,把

三角形43c分成三角形AOE与四边形BDEG设它们的面积分别为S，S2,则S：S2=.

22

A

BC

第AA,——•^v试_Il

一.设“是等腰三角形48C垂心在底边3c保持不变的情况下让顶点A至底边5c的距离变小，这

时乘积SAA6C・SA〃BC的值变小，大还是不变？证明你的结论.

△ABC中，BC=5,AC=l2fA8=13,在边A8,4c上分别取点D,E,使线段DE将△ABC分成

面积相等的两部分.试求这样的线段。E的最小长度.

三.已知方程f+^x+cu。及“2+CX+力=0分别各有两个整数根％,々及X；,X；，且不七＞°，

r

x[x2>0.

(1)求证：%,<0,x2<0,4<0,芯<0；

(2)求证：b-\<c<b+\.

(3)求b,c所有可能的值.

23

1993年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及详解

第一试

一、选择题

1.(A)；/一炉+1=%616—[)+],.•.余式为1.

2.(B)命题I正确，证明如下：

如图，ABCQE为圆内接五边形，各内角相等.由NA=NB,知BCE=CEA,于是BC=EA.：.BC=EA.

同理可证BC=DE=AB=CD=EA.故ABCDE是正五边形.

命题II不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，NA=NB=NC=N£>=90°,AB=CD,BC=DA,

但A8WBC,显然，ABC。满足命题H条件，但不是正四边形.

3.(D)因为|x-l|、|x=l|分别表示数轴上点x到点1和点-1的距离.

因此，当一时，y=|x-l|+|x+l|=2.

当xv-l时，y=|x-l|+|%+1|=2+2|x+l|>2；

当x>l时，y=|x-l|+|x+l|=2+2|x-l|>2.

而在-1与1之间无穷多个实数心故有无穷多个x使)，取到最小值.

4.(C)给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得

X)-x4=aA-a2,x2-x5=a2-a3,x3-x}=a3-a4,x4-x2=a4-a5,

a1>a2>a3>a4>a5,

24

于是有X,>X,>x4>x2>x5.

(x-2)(x-l)>0

5.(A)注意至llx—1<(x—1)'<3x+71o

(x+l)(x-6)<0

(x-2)(x-l)>0ox<1或x>2.

(x+l)(x-6)<0<=>-1<x<6.