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1、-作者xxxx-日期xxxx利用勾股定理列方程解决问题【精品文档】利用勾股定列方程解决问题abc图(1)勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。如图(1)即:a2+b2=c2 我们可以发现:直角三角形的三条,只要知道其中的两条的长,就可以用勾股定理去求第三条边的长。但有时我们会遇到这样的问:如图(1)在直角三角形中,一条边a=3,另外两条边b+c=9,求b的长?方法:遇到这样的问题,我们可以将勾股定理和方程集合起用,通常叫我们求哪一条边长,我们就设哪一条边长为x(即b=x),则另一条边长可以用含有x的代数式来表示(即c=9x),现在三条边都表示出来了,我们可以利用勾股定理
2、列方程:32+x2=(9x)2。下面我们就列用这样的方法来解决两个例题:例1、一张直角三角形的纸片,如图2所示折叠,使两个锐角的顶点A、B重合,若B=30,AC=,求DC的长。分析:1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;2、利用折叠,找全等。(1)你能从中找到全等三角形吗?(2)折叠后出现的相等的线段有哪些?(3)折叠后出现的相等的角有哪些?图23、将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理,列方程,解方程,得解。解:由折叠可知, DEADEB,B=DAB=30在RtABC中,C=90 DAC=180-B- C -DAB =30在
3、RtDCA中,DAC=30设DC=x,则DA=2x在RtDAC中,根据勾股定理得DC2CA2= DA2,即x2()2= (2x)2,3x2=3,x2=1,x是正数 x=1 DC=1。例2、如图3所示,将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠,点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm,BC=AD=10cm,求EC的长。分析:明确EC在RtEFC中,把重点放到RtEFC的三条边上,根据折叠可以知道AFEADE,其中AF=AD=10cm,EF=ED,AFE=90,并且EFEC=DC=8cm。在RtABF中,根据勾股定理可以得出BF=6,则FC=4,在RtFEC中,可以设EC=x,则EF=8x,根据
4、勾股定理可以得EC2FC2=EF2,即x242=(8x)2。解:由折叠可得,AFEADE,AF=AD=10cm,EF=ED,AB=8 cm,EFEC=DC=8cm,图3在RtABF中,根据勾股定理得,FC=BC-BF=4cm,设EC=xcm,则EF=DCEC=(8x)cm,在RtEFC中,根据勾股定理得EC2FC2=EF2,即x242=(8x)2,x=3cm,EC的长为3cm。解题步骤归纳:1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;2、利用折叠,找全等。3、将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理,列出方程,解方程,得解。练习:1、如图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=_。2、在ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AB上移动,则CP 的 最小值是_。3、一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示正方形 DEFH的边长为2米,坡角A=30,B
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