排列组合解题技巧--课件[共23页]

1、1 2 解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列问题，首先必须认真审题，明确问解排列问题，首先必须认真审题，明确问 题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质 特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解 答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方 法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。 下面就不同的题型介绍几种常用的解题下面就不同的题型介绍几种常用的解题 技巧。技巧。 3 总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，

2、应按元素的性质进行 分类，事情发生的连续过程分步，做到分类标准明 确，分步层次清楚，不重不漏。 解法解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类： 根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有 例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相， 2个个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？ 1）若甲在排尾）若甲在排尾 ， 则剩下的则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方法. 5 5

3、 A 若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，乙位的排法种，乙位的排法 有有 种种, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数 原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。 1 4 A 1 4 A 4 4 A 4 4 1 4 1 4 AAA 再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。 .(1008)(2 4 4 1 4 1 4 5 5 种）AAAA解法解法2 见幻灯片见幻灯片 10 4 （1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字 的五位偶数？的五位偶数？ 个位数为零：个位数为零： 个位数为个位数

4、为2或或4： 4 5 A 3 4 1 4 1 2 AAA 3 4 1 4 1 2 4 5 AAAA 所以所以 练练 习习 1 （2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数 字且能被五整除的五位数？字且能被五整除的五位数？ 分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0： 个位数为个位数为0： 4 5 A 个位数为个位数为5： 216 3 4 1 4 4 5 AAA 3 4 1 4 AA 5 （3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数 字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？ 分类：分类： （4）31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的

5、无重复组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数？数字的五位数中从小到大第几个数？ 3251 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 AAAAAA 275325 4 5 1 5 AA 275122 1 2 2 3 3 4 4 5 AAAA 方法一：（排除法）方法一：（排除法） 方法二：（直接法）方法二：（直接法） 6 （一）特殊元素的（一）特殊元素的“优先安排法优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重

6、复数字 的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优 先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类； 0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个； 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排 十位有十位有 个；个； 由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 3

7、0 个个. 2 A4 111 233A A A B 解题技巧解题技巧 7 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重这六个数字可组成多少个无重 复数字的五位数？复数字的五位数？ 4 5 1 5 AA （2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数 字的五位奇数？字的五位奇数？ 3 4 1 4 1 3 AAA 练练 习习 2 8 例例3 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复 数字的三位数，其中数字的三位数，其中1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。 （二）总体淘汰法（二）总体淘汰法(间接法）间接法） 对于含有否定词语的问题，还

8、可以从总体中把不 符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。 3 5 A 分析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0排在首位的排在首位的 有有 个个 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排 法数，再加回百位为法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？） 故共有故共有 种。种。 2 4 A 2 4 A 3 5 A 1 3 A 392 1 3 2 4 3 5 AAA 2 4 A 2 4 A 1 3 A 种排法。 各不能排某位，则有 、个位，个不同元素排若 2 2 1 1 2 m n

9、 m n m n AAA b amn 9 （1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不 在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？ 5 5 6 6 7 7 2AAA （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头， 乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72 782 3 3 4 4 5 5 AAA间接 4113 4333 78 AA A A 种直接 练练 习习 3 10 （3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复

10、数字这六个数字可组成多少个无重复数字 且个位数字不是且个位数字不是4的五位数？的五位数？ 个）(2 3 4 4 5 5 6 AAA 种）(1008) ! 4! 52! 6(2 （4）用）用间接法解例间接法解例1“6个同学和个同学和2个老师排成一排个老师排成一排 照相，照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不 站排尾，共有多少种不同的排法？站排尾，共有多少种不同的排法？” 一 11 （三）相邻问题（三）相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相 邻的元素邻的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一

11、个在一起，看作一个“大大”的元的元 （组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组） 内部进行排列。内部进行排列。 例例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻， 分别有多少种站法？分别有多少种站法？ 分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素， 与其余与其余4人共有人共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，然后种排法，然后 对甲，乙，丙三人进行全排列。对甲，乙，丙三人进行全排列。 5 5A 由分步计数原理可得：由分步计数原理可得： 种不同

12、排法。种不同排法。 53 53A A 12 （四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它 元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。 例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？分别有多少种站法？ 分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在 这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”

13、中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、 乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不 同的排法。同的排法。 4 4A 3 5A 3 5 4 4 AA 13 （1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女）三个男生，四个女生排成一排，男生、女 生各站一起，有几种不同方法？生各站一起，有几种不同方法？ 2三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、 女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？ 捆绑法：捆绑法： 4 4 3 3 2 2 AAA 4 4 3 3 AA 插空法：插空法： 3如果有两个男生、四个女生排成一排，要

14、如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男求男 生之间不相邻，有几种不同排法？生之间不相邻，有几种不同排法？ 2 5 4 4 AA 插空法：插空法： 练练 习习 4 14 例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等， 将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？ （五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进

15、行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数. 所以共有所以共有 种。种。 4 7 3 3 7 7 A A A 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中 3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只 对应一种排法，对应一种排法， 3 3 A 7 7 A 15 （1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？五人排队，甲在乙前面的排法有几种？ 练练 习习 5 2三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙 三人的顺序不变，有几种不同排法

16、？三人的顺序不变，有几种不同排法？ 4 7 3 3 7 7 A A A 分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，种排法，而甲， 乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种 符合条件，故符合条件，故 符合条件的排法有符合条件的排法有 种种. 5 5A 2 2A 5 5 2 2 A A 3 5 A即 16 （六）分排问题用（六）分排问题用“直排法直排法” 把把n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理. 例例7

17、 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有不同的坐法有 种种. 7 7A 17 （1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种不同排法？ 或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件， 所以所以 两排可

18、看作一排来处理两排可看作一排来处理 不同的坐法有不同的坐法有 种种 7 7 A 7 7 4 4 3 7 AAA （2）八个人排成两排，有几种不同排法？八个人排成两排，有几种不同排法？ 8 8 7 A 练练 习习 6 18 （七）实验法（七）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐 步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例例8 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的的 四个方格内，每个方格填四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号个，则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法种数有（

19、与所填的数字均不相同的填法种数有（ ） A.6 B.9 C.11 D.23 分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难， 可用实验法逐步解决。可用实验法逐步解决。 第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。 若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。 若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。 同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填1，第四方格应，第四方格应 填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。 不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。 19 （八）住店法（八）住店法 解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作的元素看作“客人客人